2024-2025学年湖南省衡阳市衡阳县高一下册第一次月考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年湖南省衡阳市衡阳县高一下册第一次月考数学检测试卷（附解析），共12页。试卷主要包含了 设集合，则， 把化成弧度是， 在中，，则是， 已知点是角终边上的一点，则， 下列各式中能化简为的是， 已知，则等内容，欢迎下载使用。
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据交集的概念求解出结果.
【详解】因为，所以，
故选：C.
2. 把化成弧度是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据角度与弧度换算关系即可得答案.
【详解】由角度与弧度换算公式有.
故选：B
3. 在中，，则是（ ）
A. 直角三角形B. 等边三角形
C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形
【正确答案】B
【分析】利用平面向量的加法，可得答案.
【详解】由题意可得，则为等边三角形.
故选：B.
4. 已知点是角终边上的一点，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】利用三角函数的定义即可求解.
【详解】根据三角函数的定义，可得.
故选：A.
5. 在中，角所对三条边为，已知，则角（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由余弦定理计算角的余弦值，再结合角的范围即可求角.
【详解】，
所以，且，
所以.
故选：B.
6. 将函数图象向右平移个单位得到奇函数，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】先根据平移得出，再应用函数是奇函数得出进而求出最小值即可.
【分析】根据题意可得：
为奇函数，
，
故选：B
7. 在中，角所对边分别为，若，则一定是（ ）
A. 直角三角形B. 等腰三角形
C. 等边三角形D. 等腰或直角三角形
【正确答案】B
【分析】利用正弦定理化边为角，逆用和角公式即得结论.
【详解】由，利用正弦定理，，
即，因，则或（不合题意舍去），
故△ABC一定是等腰三角形.
故选：B.
8. 设的内角的对边分别为，且，为的平分线且与BC交于点D，，则面积的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】将已知条件化简可求得的值，再利用三角形面积的关系列出关于的等式，最后利用基本不等式即可求解.
【详解】，
，即，
，，，
为的平分线且与BC交于点，，
，即，
又，解得，当且仅当时等号成立，
的面积，
的面积的最小值为.
故选：B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 下列各式中能化简为的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】ACD
【分析】由平面向量的加法与减法运算求解即可.
详解】对于A，
，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确．
故选：ACD
10. 已知，则（ ）
A. B.
C. ∥D. ⊥
【正确答案】ABC
【分析】根据两个平面向量的坐标，算出模和的坐标，再通过向量平行的坐标运算和向量数量积的坐标运算即可判断是否平行和垂直.
【详解】对于A，，所以正确；
对于B，，所以正确；
对于，由于，所以∥，所以正确；
对于，由于，所以与不垂直，所以不正确．
故选：．
11. 函数（其中）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数的最小正周期是
C. 函数的图象关于点对称
D. 函数的图象关于直线对称
【正确答案】AD
【分析】根据给定的图象，结合“五点法”作图求出解析式，再利用正弦函数的图象性质逐项判断即可.
【详解】由图象可知，函数的最小正周期，解得，
由，可得，即，
而，则，因此，
对于A，，A正确；
对于B，函数的最小正周期是，B错误；
对于C，，函数的图象关于点不对称，C错误；
对于D，，函数的图象关于直线对称，D正确.
故选：AD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12 已知，则____________.
【正确答案】
【分析】已知，可借助两边平方带入、即可完成求解.
【详解】将两边平方，得，得.
故答案为.
13. 函数的单调递增区间为___________
【正确答案】
【分析】利用正切型函数的单调性可求得函数的单调递增区间.
【详解】对于函数，由，
可得，
所以，函数的单调递增区间为.
故答案为.
14. 已知函数在区间上有零点，则的取值范围为________．
【正确答案】
【详解】因为连续函数在区间上有零点，所以，故答案为.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值；
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用向量平行的坐标运算即可求出，再用求模公式即可；
（2）利用得到，再利用数量积的坐标形式求解.
【小问1详解】
若，则，即，则，.
【小问2详解】
，则，则，
，得.
16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
【正确答案】（1）；
（2）
【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化即可得解；
（2）根据余弦定理求出边长，然后利用面积公式求面积即可得解.
【小问1详解】
由正弦定理得.
因为，所以，，.
因为在中，，所以，.
【小问2详解】
由，及余弦定理.
得，解得或（舍）
所以，.
17 已知函数，
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
【正确答案】（1） （2）最大值为，最小值为
【分析】
（1）根据正弦函数周期公式求解；
（2）根据正弦函数单调性求最值.
【详解】解：（1）最小正周期为.
（2），
.
即在区间上的最大值为，最小值为.
本题考查正弦函数周期以及最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
18. 如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N.
（1）设，，试用，表示；
（2）求；
（3）设，，求的最小值.
【正确答案】（1）；
（2）；
（3）.
【分析】（1）利用给定的基底表示向量.
（2）利用向量的数量积定义、运算律及夹角公式求解.
（3）利用共线向量的推论及基本不等式求出最小值.
【小问1详解】
由，得，所以.
【小问2详解】
在等边中，，
由（1）得，
，，，
，
所以.
【小问3详解】
由（1）知，，而，，
因此，而共线，则，
又，于是，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
19. 已知函数．
（1）求函数的解析式及对称中心；
（2）若，且，求的值．
（3）在锐角中，角、、分别为、、三边所对的角，若，求周长的取值范围．
【正确答案】（1）,对称中心为
（2）
（3）
【分析】（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可；
（2）由得出，再根据两角差的正弦公式计算即可；
（3）由得出，根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将转化为三角函数，根据为锐角三角形得出A的范围，结合三角函数的性质得出范围即可求解．
【小问1详解】
.
令，则，，
函数的对称中心为，.
【小问2详解】
由可知，，
化简得，
，，，
.
小问3详解】
由可得， 即，
又，则，则，所以.
由正弦定理有
所以
，
因为为锐角三角形，所以，解得.
所以，则，
所以，则，
所以的周长的取值范围为.