四川省泸州市泸县第五中学2025-2026学年高二下学期第一学月检测数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省泸州市泸县第五中学2025-2026学年高二下学期第一学月检测数学试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写
在答题卡上．
2．考生必须保持答题卡的整洁．
第 I 卷 选择题（58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 数列 的一个通项公式 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对数列的前几项变形，找出规律，从而写出数列的一个通项公式.
【详解】数列 ，
可写为 ， ， ， ， …，
所以数列的一个通项公式 .
2. 在等差数列 中， ， ，则公差 （ ）
A. 2 B. 1 C. -1 D. -2
【答案】A
【解析】
【详解】
3. 已知函数 可导，且满足 ，则函数 在 处的导数为（ ）
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A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数的定义及已知求导数值.
【详解】由题意，知 .
故选：B
4. 记 为等差数列 的前 项和.若 ，则 （ ）
A. 50 B. 44 C. 40 D. 36
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列性质计算可得 ，得出首项和公差，再由等差数列前 项和公式计算即
可,
【详解】根据题意可知 ，
又 ，可得 ，
所以公差 ，可知首项 ；
.
故选：B.
5. 曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，然后再求切线与两坐标轴围成的三角形的面积.
【详解】当 时， ，又因为 ，所以 ，
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所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ，
因为 与两坐标轴的交点坐标为 和 ，
所以此切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 .
故选：B.
6. 设公比为 的等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 =（ ）
A. 6 B. 3 C. 4 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用等比数列的定义求解即可.
【详解】因为 ，所以 .
7. 过抛物线 E： 的焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB，CD，设 P 为抛物线上的一动点，
．若 ，则 的最小值是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】设出直线方程，由焦半径公式得到 ，从而根据 求出 ，从而通过
焦半径公式转化得到 ，由几何关系得到距离和最小值，
【详解】设直线 的方程为 ，与 联立可得 ，
设 ，则 ，
因为 ，则 ，
则 ，
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因为 ，所以直线 的直线方程为 ，
故可得 ，
因为 ，所以 ，
即 ，解得 ，
故抛物线方程为 ，故焦点为 ，准线方程为 ，
设 P 到准线 的垂线段为 ， 为垂足，
则 ，故 ，
表示点 到准线的距离与到点 的距离之和，
故当 三点共线时，距离和最小，
此时 点坐标为 ，故 ，
即 ， 的最小值为 4.
8. 已知数列 满足递推公式 ，且 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
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【解析】
【分析】对 两边取对数得 ，令 ，则可得 是以
为首项，2 为公比的等比数列，求出 ，从而可求出 ，进而可求得结果.
【详解】由题意可得 ，则由 ，得 ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以数列 是以 为首项，2 为公比的等比数列，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以
.
故选：A
【点睛】关键点点睛：此题考查等比数列的判定及等比数列的求和公式的应用，解题的关键是对已知递推
式两边取对数变形构造等比数列，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
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【解析】
【分析】根据基本初等函数求导公式、导数的四则运算法则及复合函数求导法则即可求解.
【详解】A 选项， ，故 A 错误；
B 选项， ，故 B 错误；
C 选项， ，故 C 正确；
D 选项， ，故 D 正确.
故选：CD.
10. 已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，若 ，则（ ）
A.
B. 中 最大
C. 使得 的 的最大值为 13
D. 数列 是递减数列
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据等差数列下标和性质可得 ，求得 判断 A；根据等差数列的前 n 项和的定义
及项的符号判断 B；根据等差数列前 n 项和公式和性质判断 C；根据数列单调性定义判断 D.
【详解】由 ， ，知 ，所以 ，A 正确；
由 知 中 最大，B 正确；
由 ， ，
知使得 的 的最大值为 14，C 错误；
因为 ，所以 ，
第 6页/共 19页
所以数列 是递减数列，D 正确.
故选：ABD.
11. 关于切线，下列结论正确的是（ ）
A. 与曲线 和圆 都相切的直线 l 的方程为
B. 已知直线 与抛物线 相切，则 a 等于
C. 过点 且与曲线 相切的直线 l 的方程为
D. 曲线 在点 处的切线方程为 ．
【答案】ABD
【解析】
【分析】对 A，由导数法求出曲线 在切点 处的切线方程，再由直线与圆相切与
圆心到直线距离的关系列式即可求；
对 B，直线与抛物线相切，即两方程联立有唯一解；
对 C，点 不在曲线上，设切点坐标为 ，结合导数法建立方程组求出切点坐标，即可进一步
求出切线方程；
对 D，由导数法直接求切线方程即可.
【详解】对 A，设直线 l 与曲线 相切于点 ，则由 知曲线 在
点 P 处的切线方程为 ，即直线 l 的方程为 ．
由直线 l 与圆 相切得 ，解得 . 故直线 l 的方程为 ．A 正确；
对 B，由 消去 y 得 ，所以 解得 ．B 正确；
第 7页/共 19页
对 C，因为点 不在曲线 上，所以设切点坐标为 .
又因为 ，所以 解得
所以切点坐标为 ，所以 ，所以直线 l 的方程为 ，即 ．C 错误；
D 中 ， ， 所 以 ， 所 以 切 线 方 程 为 ， 即
．D 正确．
故选：ABD
第 II 卷 非选择题（92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知双曲线 C： 的离心率为 ，则双曲线 的渐近线方程为___．
【答案】
【解析】
【详解】已知双曲线 中， ， ，离心率 ，
，
，两边平方得 ，
交叉相乘得 ，解得 ，即 ，
双曲线渐近线方程为 ．
13. 在直三棱柱 中，已知 ， ，则异面直线 与 所成角的
余弦值为________．
【答案】 ##
【解析】
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【分析】结合题意进而建立空间直角坐标系，进而利用异面直线夹角 向量求法求解即可.
【详解】作 ，因为 ，所以 是 的中点，
过 作 ，由直三棱柱性质得 面 ，
如图，作出符合题意的图形，以 为原点建立空间直角坐标系，
因为 ，所以 ，由勾股定理得 ，
则 ， ， ， ，
可得 ， ，
设异面直线 与 所成角为 ，
则 .
14. 用半径为 的圆形铁皮剪出一个圆心角为 的扇形，制成一个圆锥形容器．当该容器的容积最大时，
扇形的圆心角 __________．
【答案】
【解析】
【 分 析 】 设 圆 锥 底 面 半 径 为 ， 高 为 ， 那 么 ， 再 根 据 ， 代 入 得 到
，利用导数求得函数的最大值，以及 和 ，而圆心角 .
【详解】设圆锥的底面半径为 ，高为 ，体积为 ，则 ，
因此 ，
则 ，令 ，解得 ，
第 9页/共 19页
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以当 时容积最大，
把 代入 ，得
由 ，得 ，
即圆心角为 时容积最大.
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设 为等差数列 的前 项和，已知 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的基本量运算列方程求出首项与公差即得其通项公式；
（2）先求出数列 的通项，裂项后求和即得.
【小问 1 详解】
设等差数列 的公差为 ，
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由条件可知，
解得 ， ，
所以 的通项公式为 ．
【小问 2 详解】
因为 ，
所以数列 的前 项和为 .
16. 如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 底面 ， ， 为线段
的中点.
（1）求证：当点 在线段 上移动时， 为直角三角形；
（2）若 为线段 的中点，求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）证明出 平面 ，利用线面垂直的性质得出 ，即可证得结论成立；
（2）以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，利用空间
向量法可求得平面 与平面 夹角的余弦值.
【小问 1 详解】
因为 ， 为 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为四边形 为正方形，所以 ，
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因为 ， 、 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ， ， 、 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
所以，当点 在线段 上移动时， 为直角三角形.
【小问 2 详解】
因为 底面 ，底面 为正方形，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设 ，则 、 、 、 、 ，
， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，
， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，可得 ，取 ，可得 ，
所以 ，
故平面 与平面 夹角的余弦值为 .
第 12页/共 19页
17. 设 为数列 的前 项和，已知 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ，并证明： .
【答案】（1） 1.
（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用 与 的关系求解.利用等差数列的通项公式求解.
（2）法一：利用错位相减法求出 ，法二：利用裂项相消法求出 ，求出 ，得到 是单调递增
数列，从而得到 ，由 和 得到 的范围，从而得证.
【小问 1 详解】
因 ，所以 ①，
当 时，由①得： ②，
则① ②得： （ ），
即 ，则 （ ），
则 是等差数列，且公差为 2，又 ，则 ，
即 1.
【小问 2 详解】
法一：
，
③，
④，
第 13页/共 19页
③ ④得：
，
，
，
，
单调递增数列， ，
， ， .
综上： .
法二：
，
，
，
，
是单调递增数列， ，
， ， .
综上： .
第 14页/共 19页
18. 已知函数
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 的图象上存在两个点，在该两点处的切线的斜率都为 ，求实数 a 的取值范围；
（3）当 时， 若对 ， 有 恒成立，求实数 m 的取值范
围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求导得 ，对 分类讨论可得函数 f（x）的单调性；
（2）由题意可得 在区间 上有两个不相等的实数根，进而利用一元二次方程
根与系数的关系求解即可；
（3）由（1）知函数 单调递增，进而有 且 对 恒成立，利用基本不等
式可求得实数 m 的取值范围.
【小问 1 详解】
函数 的定义域为 ，
由 ，
①当 时， ，则函数 上单调递减；
②当 时， ，则函数 在 上单调递增；
③当 时， ，令 ，得 ，令 ，得 或 ，
故函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
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④当 时， ，令 ，可得 ，令 ，得 或 ，
故函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
综上所述：当 时，函数 在 上单调递减；
当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增 ，
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
【小问 2 详解】
由函数 的图象上存在两个点在两点处的切线的斜率都为 ，
可知， 在 上有两个不相等的实数根，
即关于 x 的方程 在 上有两个不相等的实数根 ，
上述方程可整理为 .
则 ，解得 或 ，
故实数 a 的取值范围为 .
【小问 3 详解】
当 时，由（1）可知函数 上单调递增，
不等式 可化为 ，
因 恒成立，则可得 且 对 恒成立.
又由
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.
当且仅当 ，即 或 时取等号，
故实数 m 的取值范围为 .
19. 已知 是椭圆 的右焦点， 为坐标原点， 为椭圆上一点， 的最小
值为 1，当 轴时， ．
（1）求椭圆 的方程；
（2） 为椭圆的左、右顶点，点 满足 ，当 与 不重合时，射线 交椭圆 于
点 ，直线 相交于点 ．
（i）求证：点 在定直线上；
（ii）求 的最大值．
【答案】（1）
（2）（i）证明见详解；（ii） .
【解析】
【分析】(1)利用椭圆的几何性质和基本关系，解出椭圆参数，得到方程.
(2)(i)先确定定点 ，设过 的直线联立椭圆，结合韦达定理联立两条直线方程，发现交点横坐标恒为定值，
从而证明在定直线上.
(ii)设点 坐标，用斜率表示角度的正切值，通过基本不等式求正切最大值，结合正切单调性得到角度的最
大值.
【小问 1 详解】
已知椭圆 ，右焦点 ，椭圆上点 到 的最小距离为 (当 为右顶
点时取得)，故 ，当 轴时， 的横坐标为 ，代入椭圆方程得 ，
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故依据题意得 ，解得 ．
故椭圆 的方程为
【小问 2 详解】
(i) ， ，因为点 满足 ，设 ，得：
，所以 ，
设直线 方程为 ，设 ，
联立 ，得 ，
易得 ，直线与椭圆恒有两个不同交点，则
，
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立得 ，
由韦达定理得 ，则 ，
若 ，代入 ，得 ， ，
将所求值代入 中，得 ，
简后得 ，矛盾，因此 ，
所以 ，解得 .
第 18页/共 19页
因为 与 不重合，所以动点 在定直线 上.
(ii)由椭圆的对称性不妨设 ，直线 的倾斜角分别为 ，
， ，斜率 ， ， ，
斜率为负，则直线 的倾斜角 均在 内，由于 ， 比 更靠近 ，故
，因此 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
依据基本不等式可知 ，
所以
因为正切函数在 内单调递增，因此 ，
当且仅当 时，等号成立，此时 ，
所以 的最大值为 .
第 19页/共 19页