四川省泸县第五中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题（Word版附解析）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.
2．考生必须保持答题卡的整洁.
第I卷 选择题（58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某班级有名学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这名学生中抽取人进行家访，则同学被抽到的可能性为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件，利用简单随机抽样的定义，即可求解.
【详解】总体有个个体，每个个体被抽到的概率相同，均为，
故选：D.
2. 某学校有高中学生1500人，初中学生1000人．学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查．已知在初中学生中随机抽取了100人，则在高中学生中抽取了（ ）
A 150人B. 200人C. 250人D. 300人
【答案】A
【解析】
【分析】根据各层的抽样比相同求解出结果.
【详解】因为初中学生人抽取了人，所以抽样比为，
所以高中生抽取人，
故选：A.
3. 某口罩生产商为了检验产品质量，从总体编号为001，002，003，…、499，500的500盒口罩中，利用随机数表（以下摘取了随机数表中第12行至第13行）选取10个样本进行抽检，选取方法是从随机数表第12行第5列的数字开始由左向右读取，则选出的第3个样本的编号为（ ）
16 00 11 66 14 90 84 45 11 65 73 88 05 90 52 27 41 14 86 22 98
12 22 08 07 52 74 95 80 35 69 68 32 50 61 28 47 39 75 34 58 62
A. 116B. 148C. 445D. 222
【答案】B
【解析】
【分析】按随机数表法逐个读取数字即可得到答案
【详解】根据随机数表法读取的数字分别为：116，614（舍），908（舍），445，116（舍），
573（舍），590（舍），522（舍），741（舍），148，
故选出的第3个样本的编号为148.
故选：B.
4. 若数据、、、的平均数是，方差是，数据、、、的平均数是，标准差是，则下列结论正确的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】设数据、、、的平均数为，标准差为，利用方差公式和平均数公式可求得结果.
【详解】设数据、、、的平均数为，标准差为，
则，可得，
，可得，
由方差公式可得
，
，解得.
故选：A.
5. 若，则为整数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】使用列举法求出样本空间，列举出满足条件的样本点，然后可得概率.
【详解】从中任取两个数的样本空间为：
，共25个.
使为整数的样本点有，共8个.
所以为整数的概率为.
故选：C
6. 已知随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（ ）
A. 0.2B. 0.5C. 0.6D. 0.9
【答案】B
【解析】
【分析】根据对立事件得到，根据互斥事件得到，计算得到答案.
【详解】因为事件与事件互为对立，所以，
因为事件与事件互斥，则，
故选：B
7. 已知与是两个不共线的向量，且向量同向，则的最小值为（ ）
A. B. 6C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量同向可得存在正实数使得，再利用基本不等式即可求解.
【详解】已知向量同向，所以存在正实数使得，
比较系数可得，即，所以，当时取等号，
所以的最小值为.
故选：C.
8. 在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图，取的中点D，连接和，则为二面角的平面角，即，过点D作平面的垂线，过点作平面的垂线，则交点为球心，连接，，然后在、中分别运用勾股定理、余弦定理可得，从而可求得球的表面积.
【详解】
如图，因为，，所以，
因为，所以为等边三角形，所以.
取的中点D，连接和，则为二面角的平面角，即.
因为为直角三角形，所以D为的外心.设的外心为，
过点D作平面的垂线，过点作平面的垂线，则交点为球心，连接，.设三棱锥外接球的半径为R.
在中，，
由已知得，在中，由余弦定理得，
即，解得，
故三棱锥外接球表面积为.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题的关键是准确画出图形然后根据找到外接球心的位置，最终根据解三角形知识确定球的半径即可顺利求解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，从参赛选手的答卷中随机抽取了100份，将成绩分成6组，第1组为，第2组为，…，第6组为，画出如图所示的频率分布直方图，则（ ）
A.
B. 第6组有15个样本
C. 从第5，6组中，按组别分层抽取6个样本，则应在第5组抽取3个样本
D. 估计参赛选手成绩的中位数在内
【答案】AD
【解析】
【分析】由矩形的面积和为1可得A正确；计算频数可判断B，由中位数的计算可得D正确；根据频率及分层抽样的概念直接判断C选项.
【详解】对于A，由，得，故A正确；
对于B：第6组有个样本，B错误；
对于C，由频率分布直方图可知第5组与第6组的频率分别为与，
则第5组内抽取为个样本，故C错误；
对于D，因为，，
所以估计参赛选手得分的中位数在内，故D正确．
故选：AD.
10. 从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为3，4）的口袋内任取2个球，甲表示事件“恰有1个白球”，乙表示事件“恰有2个白球”，丙表示事件“编号之和为偶数”，丁表示事件“取到了编号为1的小球”，则（ ）
A. 甲和乙为互斥而不对立事件B. 丙和丁为互斥而不对立事件
C. D. 甲和丁为独立事件
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意，列出试验的样本空间，利用互斥、对立事件的定义即可判断A，B两项；通过枚举法计算出相应事件的概率，利用独立事件的乘法公式判断即可.
【详解】因在一次取球中，甲事件与乙事件不可能同时发生，除了这两个基本事件外，还有事件“恰有2个红球”，
故甲和乙为互斥而不对立事件，即A正确；
而在一次取球中，丙事件与丁事件可以同时发生，如同时取到了编号为1和3的小球，则两事件都发生了，
即丙和丁不是互斥事件，即B错误；
因为从袋子中随机地取出2个球，共有等6种情况，
且，，，
所以甲和丁为独立事件，故C错误，D正确．
故选：AD.
11. 如图所示，已知点A为圆台下底面圆周上一点，S为上底面圆周上一点，且，则（ ）
A. 该圆台的体积为
B. 直线SA与直线所成角最大值为
C. 该圆台有内切球，且半径为
D. 直线与平面所成角正切值的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，根据圆台的体积公式，可得答案；
对于B，根据异面直线夹角的定义，作图，利用三角函数的定义，可得答案；
对于C，研究圆台的轴截面，结合等腰体形存在内切圆的判定，可得答案，
对于D，根据线面角的定义，作图，利用线面垂直判定定理，结合函数的单调性，可得答案.
详解】对于A选项，，则A选项正确.
对于B选项，如图（1），
过作垂直于下底面于点，则，
所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角，
即为所求，而，
由圆的性质得，，
所以，因为，
则B选项错误.
对于C选项，设上底面半径为，下底面半径为，
若圆台存在内切球，则必有轴截面的等腰梯形存在内切圆，如图（2）所示，
梯形的上底和下底分别为2，4，高为，易得等腰梯形的腰为，
假设等腰梯形有内切圆，由内切圆的性质以及切线长定理，可得腰长为，
所以圆台存在内切球，且内切球的半径为，则C选项正确；
对于D选项，如图（3），
平面即平面，过点做交于点，因为垂直于下底面，
而含于下底面，所以，又，且平面，所以平面，
所以直线与平面所成角即为，且.
设，则，
所以，
其中，所以，当时，，
当时，.
根据复合函数的单调性，可知函数，在上单调递增，
所以当时，有最大值，最大值为，所以D选项正确.
故选：ACD.
第II卷 非选择题（92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知a是实数，并且是实数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用复数除法计算，再利用复数类型列式求解.
【详解】依题意，，
由是实数，得，所以.
故答案为：
13. 已知一组数据，则这组数据的分位数是_________.
【答案】13
【解析】
【分析】利用百分位数位置公式确定百分位数的位置，再求解百分位数即可.
【详解】由题意得数据共个数，
由百分位数位置公式得，而不是整数，向上取整为，
而的第个数是13，则这组数据的分位数是13.
故答案为：13
14. 直角梯形中，，，，点，为的中点，在边上运动(包含端点)，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，再利用向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】
建立平面直角坐标系如图，则，，，，
点，为的中点，，，
，，，
在边上运动(包含端点)，设，
，，
，
，，
的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某公司招聘员工需要经过笔试和面试两个流程，且两个流程都通过才能被公司录取.现有甲、乙两人参加应聘，其中甲通过笔试和面试的概率分别为0.8、0.5，乙通过笔试和面试的概率分别为0.6、0.7，两人是否通过笔试与面试及是否被公司录取均相互独立.
（1）试通过计算比较甲、乙两人谁被公司录取的概率更大；
（2）求甲、乙两人中仅有1人被该公司录取的概率.
【答案】（1）乙 （2）
【解析】
【分析】（1）记甲被公司录取为事件A，乙被公司录取为事件B，利用独立事件的概率乘法公式，分别求得和，比较大小，即可得到结论；
（2）由（1）得到和，结合独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.
【小问1详解】
解：记甲被公司录取为事件A，乙被公司录取为事件B，
则，，
因为，故乙被该公司录取的概率更大.
【小问2详解】
解：由（1）可知，，，
故甲、乙两人中仅有1人被该公司录取的概率：
.
16. 已知中，分别为内角的对边，且，
（1）求角的大小；
（2）设点为上一点，是的角平分线，且，求的长度．
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）由正弦定理进行角化边，然后利用余弦定理即可得到答案
（2）利用三角形的面积关系解出即可
【小问1详解】
在中，由正弦定理及得：，
化简可得：，
由余弦定理得，
又，所以
【小问2详解】
是的角平分线，则，
由可得
因为，，即有，
故.
17. 2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升，于2025年2月6日登顶中国影史票房榜，根据网络平台数据，截至2025年5月5日，总票房（含港澳台和海外票房）已超158.24亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房榜的亚洲电影.某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了100名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值与样本中年龄的第85百分位数.
（2）从样本中年龄为，，的三组观众中，按比例用分层随机抽样的方法抽取10人，则年龄在中的观众应抽取多少人？
（3）若样本中年龄在的观众年龄的平均数是6，方差是2，年龄在的观众年龄的平均数是57，方差是5，求这两组样本总的平均数和方差.
【答案】（1）；
（2）4 （3）23；581
【解析】
【分析】（1）利用所有小长方形的面积和为1计算可得，百分位数频率分布直方图求法计算可得第85百分位数；
（2）利用分层抽样的概念求解即可；
（3）由平均数和方差公式计算即可.
【小问1详解】
由题意可得，解得，
由频率分布直方图可知的频率为，而的频率为，
所以第85百分位数在区间内，设第85百分位数为，
则，解得，
所以第85百分位数为；
【小问2详解】
由频率分布直方图可知年龄为，，的三组观众频率之比为：，
所以按比例用分层随机抽样的方法抽取10人，则年龄在中的观众应抽取4人；
【小问3详解】
由频率分布直方图可知的频率为，的频率为，
所以，
.
18. 如图，在直四棱柱中，底面是菱形，.

（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的正切值；
（3）若点P在上，，直线与平面交于点F，求证：.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明结论；
（2）根据面面角定义作出二面角的平面角，求出相关线段长，结合正切函数定义即可求得答案；
（3）证明平面平面，再根据面面平行的性质定理即可证明结论.
【小问1详解】
因为直四棱柱中，底面，底面，
所以.
因为菱形，所以，平面，
所以平面.
【小问2详解】
设，连接，
因为平面，
所以，且，，
所以是二面角的平面角.
因为，，
所以是正三角形，
所以，.
因为，在直角三角形中，
所以二面角的正切值为.
【小问3详解】
如图，连接，.

在直四棱柱中，，，
所以四边形是平行四边形，
所以，平面，平面，
所以平面.
同理，平面
因为，，平面，
所以平面平面，
因为平面平面，平面平面，
所以.
19. 如图，在中，，点为和的交点，设．
（1）已知，求的值；
（2）若，，与的夹角为，求；
（3）若，，在边上，，为的夹角，，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）通过向量得，根据向量基本定理列方程求解即可；
（2）先应用三角形面积公式，根据有，即可求面积；
（3）已知向量的长度，以及，利用向量的正交条件和长度关系得确定比例得，然后利用余弦函数的值域及分式不等式求解范围.
【小问1详解】
因为，，
所以，，
所以，
所以，解得.
【小问2详解】
因为，，与的夹角为，
所以，
由（1）知，，
所以.
【小问3详解】
由（1）知，，
所以.
设与的夹角为，其中，
则
，
而，
因为，所以，
即，
所以，所以.
因为，所以，所以，又，解得，
所以的取值范围为.