2022年中考数学一轮复习4.3《全等三角形》讲解（含答案）学案

第三节 全等三角形

课标呈现　指引方向

1．理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角．

2．掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．

3．掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．

4．掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等．

5．证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，

考点梳理　夯实基础

1．全等图形：能够完全重合的两个图形叫做＿＿全等图形＿＿．

注：能够完全重合即形状、大小完全相同．

2．全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做＿＿全等＿＿三角形．

3．全等三角形的性质：

  (1)全等三角形的对应边＿＿相等＿＿；全等三角形的对应角＿＿相等＿＿．

  (2)全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高线）＿＿相等＿＿，周长＿＿相等＿＿，面积＿＿相等＿＿．

4．一般三角形全等的判定：

  (1)若两个三角形的三条边分别＿＿对应相等＿＿，那么这两个三角形全等，简记为“SSS”；

  (2)若两个三角形的两边及其＿＿夹角＿＿分别相等，那么这两个三角形全等，简记为“SAS”：

  (3)若两个三角形的两角及其＿＿夹边＿＿分别相等，那么这两个三角形全等，简记为“ASA”：

  (4)若丙个三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为＿＿“AAS"＿＿．

5．直角三角形全等的判定：

  (1)两直角边对应相等的两个直角三角形全等；

  (2)一边一锐角对应相等的两个直角三角形全等；

  (3)若两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记为＿＿“HL”＿＿．

6．寻找对应边、对应角的方法：

  (1)有公共边的，公共边一定是对应边；

  (2)有公共角的，公共角一定是对应角；

  (3)有对顶角的，对顶角一定是对应角；

  (4)两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）．

7．证明三角形全等的思路：

  (1)已知两边：①找夹角（SAS）；②找直角（HL）；③找第三边( SSS)．

  (2)已知一边和一角：①边为角的对边，找任意一角(AAS)；②边为角的邻边，找夹角的另一边（SAS）；③找夹边的另一角（ASA）；④找边的对角（AAS）．

  (3)已知两角：①找夹边（ASA）；②找角的对边（AAS）．

考点精析　专项突破

考点一　三角形全等判定方法的选择

【例l】（云南）如图，已知∠ABC= ∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是    (  A  )2

A．AC = BD

B．∠CAB=∠DBA

C．∠C=∠D

D．BC=AD

觯题点拨：本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

【例2】（泰州）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是    (  D  )

A．1对B．2对  C．3对D．4对

解题点拨：根据已知条件“AB=AC．D为BC中点”，得出△ABD≌△ACD，然后再由AC的垂直平分线

分别交AC、AD、AB于点E、O、F，推出△AOE≌△EOC，从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏．

考点二　全等三角形的性质与判定综合

【例3】如图，在平行四边形ABCD中，∠B= ∠AFE，EA是∠BEF的角平分线．求证：

  (1)△ABE≌△AFE；

  (2)∠FAD= ∠CDE．

解题点拨：此题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角

形的判定与性质，(2)问关键是正确证明△AFD≌△DCE．

证明：(1)∵EA是∠BEF的角平分线，

∴∠1=∠2．

在△ABE和△AFE中，

∴△ABE≌△AFE(AAS).

(2)∵△ABE≌△AFE，

∴AB=AF，

∵四边形ABCD是平行四边形．

∴AB=CD，AD∥CB，AB∥CD，

∴AF=CD，∠ADF= ∠DEC，∠B+∠C=180°，

∴∠B= ∠AFE，∠AFE+∠AFD=180°，

∴AFD= ∠C，

在△AFD和△DCE中，

∴△AFD≌△DCE(AAS) ，

∴∠FAD= ∠CDE.

课堂训练　当堂检测

1．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是    ( C)

A．CB= CDB．∠BAC= ∠DAC C．∠BCA=∠DCAD．∠B=∠D= 90°

2．如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使△4BE竺△CDF．则添加的条件不能是(　A　)

A．AE=CFB．BE= FD　C．BF= DED．∠1= ∠2

3．（成都）如图，△ABC≌△A'B'C'，其中∠A= 36°，

∠C'＝24°，则∠B= ＿＿120°＿＿．

4．已知，如图．AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC

于点F，求证：DE=DF．

证明：连接AD，

在△ACD和△ABD中，

△ACD≌△ABD(SSS)，

∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，

∵DE⊥AE．DF⊥AF．

∴DE=DF．

中考达标　模拟自测

A组　基础训练

一、选择题

1．如图，△ABC和△DEF中，AB= DE，/B= LDEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF  (  C  )

A．AC∥DFB．∠A =∠D  C．AC=DFD．∠ACB= ∠F

2．（陕西）如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点、，则图中的全等三角形共有    (  C  )

A．2对B．3对C．4对D．5对

3．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC= BD，AB= ED，BC= BE，则∠ACB等于    (  C  )

A．∠EDBB．∠BEDC．∠AFBD．2∠ABF

4．将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°，把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连接D1B则∠E1D1B的度数为    (  D )

A．10°B．20° C．7.5°D．15°

二、填空题

5．如图，AC、BD相交于点O，∠A=∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件＿＿AB=CD＿＿（填出一个即可）．

6．如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC= 70°，则∠ADC的度数为＿＿130°＿＿．

7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F．若EF= 5cm．则AB=＿＿＿＿cm．

三、解答题

8．（重庆）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC＝BD，AC＝FD．求证：AE＝FB．

证明：CE∥DF，

∴∠ACE= ∠D，

在△ACE和△FDB中，

△ACE≌△FDB，

∴AE＝FB．

9．如图，∠ABC= 90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD= DE．点F是AE的中点．FD与AB相交于点M．

(1)求证：∠FMC= ∠FCM;

(2)AD与MC垂直吗？并说明理由．

解：(1)证明：∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中点，

∴DF⊥AE，DF =AF= EF，又∵∠ABC=90，

∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，

∴∠DCF=∠AMF．

在△DFC和△AFM中．

∴△DCF≌△AMF(AAS)，

∴CF＝MF，∴∠FMC＝∠FCM；

(2)AD⊥MC，

理由：由 (1)知，∠MFC = 90°，FD = EF，FM = FC，∴∠FDE =∠FMC=45°，

∴DE//CM，∴AD⊥MC．

B组提高练习

10．（丹东）如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE= 45°，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE= ∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC·AD=AE2；④其中正确的有    (  D  )

A．1个B．2个C．3个D．4个

（提示：∵在△ABC中，AD和BE是高，∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，

∵点F是AB的中点，∴FD=AB，∵∠ABE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，

∴AE=BE，∵点F是AB的中点，∴FE＝AB，∴FD＝FE，①正确；∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+ ∠C= 90°，∠BAD+∠ABC=90°，∴∠ABC= ∠C，∴AB =AC，∴AD⊥BC，∴BC= 2CD，∠BAD=∠CAD= ∠CBE，在△AEH和△BEC中，

∴△AEH≌△BEC(ASA)，∴AH=BC=2CD，②正确；∵∠BAD= ∠CBE，

∠ADB=∠CEB，．．，△ABD∽△BCE，，即BC·AD=AB·BE，AE2＝AB·AE＝AB·BE，∴BC·AD＝AE2；③正确；∵F是AB的中点，BD= CD，∴．④正确；故选：D．）

11．（丹东）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴、y轴上，OA =3，OB=4，连接AB．点P在平面内，若以点P\A、B为顶点的三角形与△AOB全等（点P与点O不重合），则点P的坐标为＿＿(3，4)，(，)，(，)＿＿．

(提示：如图所示：①∵OA =3，OB =4，∴P1(3，4)；

②连结OP2，设AB的解析式为y=kx+b，

则解得故AB解析式为y=x＋4，则OP2的解析式为y＝，

联立方程组得解得，则P2(，)；

③连结P2P3，则四边形AP2BP3为平行四边形，则E为线段AB和P2P3的中点，

设P3(x，y)，则，，

∴x＝，y＝，∴P3(，)，故点P的坐标为(3，4)或(，)或(，)．

12．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，BM交CD于点E，且点E为CD的中点，连接MD，过点D作ND⊥MD于点D，DN交BM于点N．

（1）若BC＝，求△BDE的周长；

（2）求证：NE－ME＝CM．

解：（1）∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，

∴在Rt△BCD中，∠DBC＝∠DCB＝45°，

∵BC＝，

∴BD＝CD＝×＝2，

∵点E为CD的中点，

∴DE＝CE＝CD＝×2＝1，

∴BE＝，

∴△BDE的周长＝BD＋DE＋BE＝2＋1＋＝3＋；

∴∠ABN＋∠A＝90°，∠ACD＋∠A＝90°，

∴∠ABN＝∠ACD，

∵CD⊥AB，ND⊥MD，

∴∠BDN＋∠CDN＝∠CDM＋∠CDN＝90°，

∴∠BDN＝∠CDM，

在△BDN和△CDM中，

，

∴△BDN≌△CDM（ASA），

∴DN＝DM，

∴△DMN是等腰直角三角形，

过点D作DF⊥BE于F，则DF＝NF，

∵BM⊥AC于点M，

∴∠DFE＝∠CME＝90°，

在△DEF和△CEM中，

，

∴△DEF≌△CEM（AAS），

∴DF＝CM，EF＝ME，

∴NE－ME＝NE－EF＝NF＝DF＝CM，

即NE－ME＝CM．