2025-2026学年儋州市高三最后一卷数学试卷（含答案解析）

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1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是( )
A．B．C．D．
2．以下三个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握越大；其中真命题的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
3．设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．
4．设函数的定义域为，命题：，的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．点在曲线上，过作轴垂线，设与曲线交于点，，且点的纵坐标始终为0，则称点为曲线上的“水平黄金点”，则曲线上的“水平黄金点”的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）
A．134B．67C．182D．108
7．若将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递增B．函数的周期是
C．函数的图象关于点对称D．函数在上最大值是1
8．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点，若，且，则面积的最大值是( )
A．B．C．D．
9．下列说法正确的是（ ）
A．“若，则”的否命题是“若，则”
B．“若，则”的逆命题为真命题
C．，使成立
D．“若，则”是真命题
10．若复数满足，则（ ）
A．B．C．2D．
11．已知，，分别是三个内角，，的对边，，则（ ）
A．B．C．D．
12．已知等边△ABC内接于圆：x2+ y2=1，且P是圆τ上一点，则的最大值是（ ）
A．B．1C．D．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若一组样本数据7，9，，8，10的平均数为9，则该组样本数据的方差为______.
14．某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为______.
15．在平行四边形中，已知，，，若，，则____________．
16．我国古代数学著作《九章算术》中记载“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”设人数、物价分别为、，满足，则_____，_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，焦点在轴上的椭圆与焦点在轴上的椭圆都过点，中心都在坐标原点，且椭圆与的离心率均为．
（Ⅰ）求椭圆与椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点M的互相垂直的两直线分别与，交于点A，B（点A、B不同于点M），当的面积取最大值时，求两直线MA，MB斜率的比值.
18．（12分）已知函数.
（1）解不等式；
（2）若函数的最小值为，求的最小值.
19．（12分）已知双曲线及直线.
（1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
（2）若l与C交于A，B两点，O是原点，且，求实数k的值.
20．（12分）在中， 角，，的对边分别为， 其中， .
（1）求角的值；
（2）若，，为边上的任意一点，求的最小值.
21．（12分）某公园有一块边长为3百米的正三角形空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉.方案是：先建造一条直道将分成面积之比为的两部分（点D，E分别在边，上）；再取的中点M，建造直道（如图）.设，，（单位：百米）.
（1）分别求，关于x的函数关系式；
（2）试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值.
22．（10分）已知三棱柱中，，是的中点，，.
（1）求证：；
（2）若侧面为正方形，求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积.
【详解】
根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为.侧面的高为，所以侧面积为.所以该几何体的表面积是.
故选：D
本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题.
2．C
【解析】
根据抽样方式的特征，可判断①；根据相关系数的性质，可判断②；根据独立性检验的方法和步骤，可判断③．
【详解】
①根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；
②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0；故②为真命题；
③对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，“与有关系”的把握程度越小，故③为假命题．
故选：．
本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点，属于基础题．
3．C
【解析】
根据表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造出关系，求出离心率.
【详解】
设，则
由椭圆的定义，可以得到
,
在中，有，解得
在中，有
整理得，
故选C项.
本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出关系，得到离心率.属于中档题.
4．D
【解析】
根据命题的否定的定义，全称命题的否定是特称命题求解.
【详解】
因为：，是全称命题，
所以其否定是特称命题，即，.
故选：D
本题主要考查命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
5．C
【解析】
设,则,则,即可得,设,利用导函数判断的零点的个数,即为所求.
【详解】
设,则,所以,
依题意可得,
设,则,
当时,,则单调递减；当时,,则单调递增,
所以,且,
有两个不同的解,所以曲线上的“水平黄金点”的个数为2.
故选:C
本题考查利用导函数处理零点问题,考查向量的坐标运算,考查零点存在性定理的应用.
6．B
【解析】
根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论.
【详解】
解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为，
则小正方形的边长为，小正方形的面积，
则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为
，
故选：B.
本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键.
7．A
【解析】
根据三角函数伸缩变换特点可得到解析式；利用整体对应的方式可判断出在上单调递增，正确；关于点对称，错误；根据正弦型函数最小正周期的求解可知错误；根据正弦型函数在区间内值域的求解可判断出最大值无法取得，错误.
【详解】
将横坐标缩短到原来的得：
当时，
在上单调递增 在上单调递增，正确；
的最小正周期为： 不是的周期，错误；
当时，，
关于点对称，错误；
当时，
此时没有最大值，错误.
本题正确选项：
本题考查正弦型函数的性质，涉及到三角函数的伸缩变换、正弦型函数周期性、单调性和对称性、正弦型函数在一段区间内的值域的求解；关键是能够灵活应用整体对应的方式，通过正弦函数的图象来判断出所求函数的性质.
8．A
【解析】
根据正弦定理可得，求出，根据平方关系求出.由两端平方，求的最大值，根据三角形面积公式，求出面积的最大值.
【详解】
中，，
由正弦定理可得，整理得，
由余弦定理，得.
D是AB的中点，且，
，即，
即，
，当且仅当时，等号成立.
的面积，
所以面积的最大值为.
故选：.
本题考查正、余弦定理、不等式、三角形面积公式和向量的数量积运算，属于中档题.
9．D
【解析】
选项A，否命题为“若，则”，故A不正确．
选项B，逆命题为“若，则”，为假命题，故B不正确．
选项C，由题意知对，都有，故C不正确．
选项D，命题的逆否命题“若，则”为真命题，故“若，则”是真命题，所以D正确．
选D．
10．D
【解析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算.
【详解】
解：由题意知，，
，
∴，
故选：D.
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法.
11．C
【解析】
原式由正弦定理化简得，由于，可求的值.
【详解】
解：由及正弦定理得.
因为，所以代入上式化简得.
由于，所以.
又，故.
故选：C.
本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题.
12．D
【解析】
如图所示建立直角坐标系，设，则，计算得到答案.
【详解】
如图所示建立直角坐标系，则，，，设，
则
.
当，即时等号成立.
故选：.
本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．1
【解析】
根据题意，由平均数公式可得，解得的值，进而由方差公式计算，可得答案．
【详解】
根据题意，数据7，9，，8，10的平均数为9，
则，解得：，
则其方差.
故答案为：1．
本题考平均数、方差的计算，考查运算求解能力，求解时注意求出的值，属于基础题．
14．
【解析】
利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积.
【详解】
如图：
此四棱锥的高为，底面是长为，宽为2的矩形，
所以体积.
所以本题答案为.
本题考查几何体与三视图的对应关系，几何体体积的求法，考查空间想象能力与计算能力.解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断.
15．
【解析】
设，则，得到，，利用向量的数量积的运算，即可求解．
【详解】
由题意，如图所示，设，则，
又由，，所以为的中点，为的三等分点，
则，，
所以
．
本题主要考查了向量的共线定理以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及向量的共线定理和向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
16．
【解析】
利用已知条件，通过求解方程组即可得到结果．
【详解】
设人数、物价分别为、，满足，解得，.
故答案为：；.
本题考查函数与方程的应用，方程组的求解，考查计算能力，属于基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1），（2）
【解析】
分析：(1)根据题的条件，得到对应的椭圆的上顶点，即可以求得椭圆中相应的参数，结合椭圆的离心率的大小，求得相应的参数，从而求得椭圆的方程；
(2)设出一条直线的方程，与椭圆的方程联立，消元，利用求根公式求得对应点的坐标，进一步求得向量的坐标，将S表示为关于k的函数关系，从眼角函数的角度去求最值，从而求得结果.
详解：（Ⅰ）依题意得对：，，得：；
同理：.
（Ⅱ）设直线的斜率分别为，则MA：，与椭圆方程联立得：
，得，得,，所以
同理可得.所以,
从而可以求得因为，
所以，不妨设
，所以当最大时，，此时两直线MA，MB斜率的比值.
点睛：该题考查的是有关椭圆与直线的综合题，在解题的过程中，注意椭圆的对称性，以及其特殊性，与y轴的交点即为椭圆的上顶点，结合椭圆焦点所在轴，得到相应的参数的值，再者就是应用离心率的大小找参数之间的关系，在研究直线与椭圆相交的问题时，首先设出直线的方程，与椭圆的方程联立，求得结果，注意从函数的角度研究问题.
18．（1）（2）
【解析】
（1）用分类讨论思想去掉绝对值符号后可解不等式；
（2）由（1）得的最小值为4，则由，代换后用基本不等式可得最小值．
【详解】
解：（1）
讨论：
当时，，即，此时无解；
当时，；
当时，.
所求不等式的解集为
（2）分析知，函数的最小值为4
，当且仅当时等号成立.
的最小值为4.
本题考查解绝对值不等式，考查用基本不等式求最小值．解绝对值不等式的方法是分类讨论思想．
19．（1）；（2）或.
【解析】
（1）联立直线方程与双曲线方程，消去，得到关于的一元二次方程，根据根的判别式，即可求出结论；
（2）设，由（1）可得关系，再由直线l过点，可得，进而建立关于的方程，求解即可.
【详解】
（1）双曲线C与直线l有两个不同的交点，
则方程组有两个不同的实数根，
整理得，
，
解得且.
双曲线C与直线l有两个不同交点时，
k的取值范围是.
（2）设交点，直线l与y轴交于点，
，.
，即，
整理得，解得或
或.又，
或时，的面积为.
本题考查直线与双曲线的位置关系、三角形面积计算，要熟练掌握根与系数关系解决相交弦问题，考查计算求解能力，属于中档题.
20．（1）；（2）.
【解析】
（1）利用余弦定理和二倍角的正弦公式，化简即可得出结果；
（2）在中， 由余弦定理得，在中结合正弦定理求出，从而得出，即可得出的解析式，最后结合斜率的几何意义，即可求出的最小值.
【详解】
（1） ，
，
由题知，，则，则
，
，
；
（2）在中， 由余弦定理得，
，
设， 其中.
在中，，
，
，
，
所以，
，
所以的几何意义为两点连线斜率的相反数，
数形结合可得，
故的最小值为.
本题考查正弦定理和余弦定理的实际应用，还涉及二倍角正弦公式和诱导公式，考查计算能力.
21．（1），.，.
（2）当百米时，两条直道的长度之和取得最小值百米.
【解析】
（1）由，可解得.方法一：再在中，利用余弦定理，可得关于x的函数关系式；在和中，利用余弦定理，可得关于x的函数关系式.方法二：在中，可得，则有，化简整理即得；同理，化简整理即得.（2）由（1）和基本不等式，计算即得.
【详解】
解：（1），是边长为3的等边三角形，又，
，.
由，得.
法1：在中，由余弦定理，得
.
故直道长度关于x的函数关系式为，.
在和中，由余弦定理，得
①
②
因为M为的中点，所以.
由①②，得，
所以，所以.
所以，直道长度关于x的函数关系式为
，.
法2：因为在中，，
所以.
所以，直道长度关于x的函数关系式为，.
在中，因为M为的中点，所以.
所以.
所以，直道长度关于x的函数关系式为，.
（2）由（1）得，两条直道的长度之和为
（当且仅当即时取“”）.
故当百米时，两条直道的长度之和取得最小值百米.
本题考查了余弦定理和基本不等式，第一问也可以利用三角形中的向量关系进行求解，属于中档题.
22．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）取的中点，连接，，证明平面得出，再得出；
（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，计算，即可得出答案．
【详解】
（1）证明：取的中点，连接，，
，，，
，
，故，
又，，平面，
平面，
，
，分别是，的中点，，
．
（2）解：四边形是正方形，，
又，，平面，
平面，
在平面内作直线的垂线，以为原点，以，，为所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，1，，，2，，，0，，
，1，，，2，，，1，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令可得：，，，
，．
直线与平面所成角的正弦值为，．
本题主要考查了线面垂直的判定与性质，考查空间向量与空间角的计算，属于中档题．