2023-2024学年湖南省儋州市高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年湖南省儋州市高二（下）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x−2<0}，集合B={x||x|≥1}，则( )
A. B⊆AB. ∁UA={x|x>2}
C. A∩B={x|1≤x<2}D. A∪B=R
2.设复数z满足z−=|1−i|+i(i为虚数单位)，则复数z为( )
A. 2−iB. 2+iC. 1D. −1−2i
3.已知向量a=(−2,m)，b=(1,1+m)，则“a⊥b”是“m=1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.重庆火锅、朝天门、解放碑、长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人、铜梁龙舞、红岩村为重庆十大文化符号.甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍重庆十大文化符号的文章，若第一个介绍的是重庆火锅，且长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人的介绍顺序必须相邻(这五大文化符号的介绍顺序中间没有其他文化符号)，则该文章关于重庆十大文化符号的介绍顺序共有( )
A. 16000种B. 14400种C. 2880种D. 2400种
5.如图为今年6月份某地空气质量指数AQI−PM2.5历史数据的折线图，
指数数值与等级水平表：
下列判断不正确的是( )
A. 6月份空气质量为优的天数为8天
B. 6月份连续2天出现中度污染的概率为229
C. 6月份空气质量指数AQI−PM2.5历史数据的众数为160
D. 6月4至7日这4天的空气质量逐渐变好
6.如图所示，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么此系统的可靠性为( )
A. 0.504B. 0.994C. 0.496D. 0.06
7.已知三棱锥P−ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB= 5，BC= 7，AC=2，则此三棱锥的外接球的体积为( )
A. 83πB. 8 23πC. 163πD. 323π
8.已知a，b，c∈(1,+∞)，8a=lnaln10，7b=lnbln11，6c=lncln12，则下列大小关系正确的是( )
A. c>b>aB. a>b>cC. b>c>aD. c>a>b
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 若随机变量Y的方差D(Y)=2，则D(3Y+2)=8
B. 若随机变量η服从正态分布N(5,σ2)，且P(η<2)=0.1，则P(2<η<8)=0.8
C. 从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为X，则E(X)=34
D. 若随机变量X服从二项分布B(4,13)，则X的分布列可表示为P(X=k)=C4k(23)k(13)4−k，k=0，1，2，3，4
10.设抛物线C：x2=4y的焦点为F，P是C上的一个动点，则下列结论正确的是( )
A. 点P到F的距离比到x轴的距离大2
B. 点P到直线y=x−3的最小距离为 2
C. 以PF为直径的圆与x轴相切
D. 记点P在C的准线上的射影为H，则△PFH不可能是正三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
11.数列{an}中，a1=1，n≥2时，an=2an−1+1，则{an}的通项公式是an= ______．
12.若(1−2x)n(n∈N∗)的展开式中x3的系数为−80，则展开式中所有项的二项式系数之和为______.(以数字作答)
13.作家马伯庸小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息.同名改编电视剧中，望楼传递信息的方式有一种如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色(此处以阴影代表紫色)之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息.现要求每一行、每一列上都有且只有1个紫色小方格(如图所示即满足要求).则一共可以传递______种信息.(用数字作答)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题13分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，an=12Sn+1(n∈N∗)．
(1)求Sn；
(2)若bn=an(lg2an+12n)，求数列{bn}的前n项和Tn．
15.(本小题15分)
设函数f(x)=x3−3ax+b(a>0)．
(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程是y=3x+2，求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间及极值．
16.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，平面ABC⊥平面AA1B1B，A1A=A1B，∠A1AB=60°，O为AB的中点，M为A1C1的中点．
(1)求证：OM/​/平面BB1C1C；
(2)求二面角C1−BA1−C的正弦值．
17.(本小题17分)
已知抛物线C：x2=2py(p>0)上一点Q到焦点F的距离为2，点Q到y轴的距离为 3p．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过F的直线交抛物线C于A，B两点，过点B作x轴的垂线交直线AO(O是坐标原点)于D，过A作直线DF的垂线与抛物线C的另一交点为E，直线BD与AE交于点G.求|GD||GB|的取值范围．
18.(本小题17分)
为进一步加强城市建设和产业集聚效应，某市通过“两化”中的信息化和工业化之间的完美交融结合，达到了经济效益的“倍增式”发展.该市某高科技企业对某核心技术加大研发投资力度，持续构建面向未来的竞争力.现得到一组在该技术研发投入x(单位：亿元)与收益y(单位：亿元)的数据如表所示：
(1)已知可用一元线性回归模型y​=b​x+a​模型拟合y与x的关系，求此经验回归方程；(附：对于一组数据(x1,y1)，(x2,y2)，⋯，(xn,yn)，其经验回归直线y​=b​x+a​的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为b =i=1nxiyi−nx−y−i=1n(xi−x−)2，a​=y−−b​x−，i=18xiyi=9138，i=18(xi−x−)2=634，结果保留两位小数)
(2)该企业主要生产I、II类产品，现随机抽取I类产品2件、II类产品1件进行质量检验，已知I类、II类产品独立检验为合格品的概率分别为34，23，求在恰有2件产品为合格品的条件下，II类产品为合格品的概率．
答案
1.D
2.A
3.B
4.C
5.C
6.B
7.B
8.B
9.BC
10.BC
11.2n−1
12.32
13.6
14.解：(1)数列{an}的前n项和为Sn，an=12Sn+1(n∈N∗)①.
当n=1时，解得a1=2，
当n≥2时，an−1=12Sn−1+1(n∈N∗)②，
①−②得：an−an−1=12(Sn−Sn−1)=12an，
整理得anan−1=2，
数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列；
所以an=2×2n−1=2n，
故Sn=2an−2=2n+1−2，
(2)由于bn=an(lg2an+12n)=n⋅2n+1，
设kn=n⋅2n，pn=1，
所以kn=1×2+2×22+…+n⋅2n①，
2kn=1×22+2×23+…+n⋅2n+1②，
①−②得：−kn=21+22+…+2n−n⋅2n+1，
整理得kn=(n−1)⋅2n+1+2，
pn=1+1+…+1=n，
所以Tn=kn+pn=(n−1)⋅2n+1+n+2．
15.解：(1)曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程是y=3x+2，
所以f′(2)=3，f(2)=8，又f′(x)=3x2−3a
则3×22−3a=323−3a×2+b=8，
解得a=3b=18；
(2)f′(x)=3x2−3a(a>0)．
由f′(x)=0，解得x=± a，
当x∈(−∞,− a)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
当x∈(− a, a)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
当x∈( a,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
此时x=− a是f(x)的极大值点，x= a是f(x)的极小值点，
f(x)的极大值为f(− a)=2a a+b，f(x)的极小值为f( a)=−2a a+b．
函数f(x)的单调增区间为(−∞,− a)和( a,+∞)，函数f(x)的单调减区间为(− a, a).
16.解：(1)证明：连接CO，A1O，因为A1A=A1B，O为AB的中点，则CO⊥AB，
又因为平面ABC⊥平面AA1B1B，平面ABC∩平面AA1B1B=AB，CO⊂平面ABC，
得CO⊥平面ABB1A1，又OA1，AB均在平面ABB1A1内，即得
CO⊥OA1，CO⊥AB，
又由A1A=A1B，∠A1AB=60°，O为AB的中点，
可知A1O是正三角形A1AB在边AB上的中线，则A1O⊥AB，
则可以O为原点，OA所在直线为x轴，OA1所在直线为y轴，OC所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，A1(0, 3,0)，B1(−2, 3,0)，C(0,0, 3)，M(−12, 3, 32)，B(−1,0,0)，
OM=(−12, 3, 32)，BB1=(−1, 3,0)，BC=(1,0, 3)，
设平面BB1C1C的法向量n=(x,y,z)，
则n⋅BB1=−x+ 3y=0n⋅BC=x+ 3z=0，取x= 3，得n=( 3,1,−1)，
∵n⋅OM=− 32+ 3− 32=0，OM⊄平面BB1C1C，
∴OM/​/平面BB1C1C.
(2)C1(−1, 3, 3)，BA1=(1, 3,0)，BC=(1,0, 3)，BC1=(0, 3, 3)，
设平面A1BC1的法向量n=(x1,y1,z1)，
则n⋅BA1=x1+ 3y1=0n⋅BC1= 3y1+ 3z1=0，取x1= 3，得n=( 3,−1,1)，
设平面A1BC的法向量m=(a,b,c)，
则m⋅BA1=a+ 3b=0m⋅BC=a+ 3c=0，取a= 3，得m=( 3,−1,−1)，
设二面角C1−BA1−C的平面角为θ，
则csθ=|m⋅n||m|⋅|n|=3 5⋅ 5=35，
∴sinθ= 1−(35)2=45．
∴二面角C1−BA1−C的正弦值为45．
17.解：(1)不妨设Q(x0,y0)，
因为抛物线C上一点Q到焦点F的距离为2，点Q到y轴的距离为 3p，
所以y0+p2=2|x0|= 3p，
整理得( 3p)2=2p(2−p2)，
解得p=1或p=0(舍去)，
则抛物线C的方程为x2=2y；
(2)不妨设直线AB的方程为y=kx+12，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=kx+12x2=2y，消去y并整理得x2−2kx−1=0，
由韦达定理得x1+x2=2k，x1x2=−1，
易知直线OA的方程为y=y1x1x=x12x，
因为BD⊥x轴，
所以D(x2,x1x22)，
即D(x2,−12)，
所以kDF=−1x2，
因为DF⊥AE，
所以kAE=x2，
则直线AE的方程为y−y1=x2(x−x1)，
因为xG=x2，
所以yG=2y2+y1+1，
此时|GD||GB|=2y2+y1+32y2+y1+1，
因为y1y2=(x1x2)24=14，
所以|GD||GB|=24y1+y1+3214y1+y1+1=4y12+6y1+24y12+4y1+1=1+12y1+1，
因为2y1+1∈(1,+∞)，
所以|GD||GB|=1+12y1+1∈(1,2)．
故|GD||GB|的取值范围为(1,2)．
18.解：(1)x−=3+6+8+10+14+17+22+328=14，
y−=43+52+60+71+74+81+89+988=71，
b =i=18xiyi−8x−y−i=18(xi−x−)2=9138−8×14×71634=1186634≈1.87，
a =y−−b x−≈71−1.87×14=44.82，
所以y关于x的经验回归方程为y =1.87x+44.82．
(2)记“恰有2件产品为合格品”为事件A，“II类产品为合格品”为事件B，
则P(A)=(34)2×(1−23)+C21(1−34)×34×23=716，
P(AB)=C21(1−34)×34×23=14，
由条件概率的计算公式得P(B|A)=P(AB)P(A)=14716=47，
故在恰有2件产品为合格品的条件下，II类产品为合格品的概率为47．
指数
0～50
51～100
101～150
151～200
201～300
>300
等级
一级优
二级良
三级轻度污染
四级中度污染
五级重度污染
六级严重污染
研发投入x
3
6
8
10
14
17
22
32
收益y
43
52
60
71
74
81
89
98