鲁教版（五四学制）（2024）八年级下册一元二次方程课时作业

这是一份鲁教版（五四学制）（2024）八年级下册一元二次方程课时作业，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. 2（x-1）=xB. x2-xy=2C. x2-2x+1=0D. x2+x=
2. 若关于x的一元二次方程x2-c=0有一个根是x=2，则c的值是（ ）
A. 4B. -4C. 2D. -2
3. 用配方法解方程x2-4x-3=0时，配方结果正确的是（ ）
A. （x-2）2=4B. （x-2）2=5C.（x-2）2=6D. （x-2）2=7
4. 用求根公式解一元二次方程5x2-1=4x时，a，b，c的值分别是（ ）
A. a=5，b=-1，c=-4B. a=5，b=-4，c=-1C. a=5，b=-4，c=1D. a=5，b=4，c=-1
5. 定义新运算：a※b=a2-ab+b，例如2※1=22-2×1+1=3，则方程x※3=5的根的情况为（ ）
A. 没有实数根B. 只有一个实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 有两个相等的实数根
6. 若a，b是一元二次方程x2+3x-2023=0的两个不相等的实数根，则a+b的值为（ ）
A. 3B. -3C. 2023D. -2023
7. 读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符.诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄.设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，可列方程为（ ）
A. 10（x-3）+x=x2B. 10x+（x-3）=x2
C. 10x+（x-3）=（x-3）2D. 10（x-3）+x=（x-3）2
8. 等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2-4x+k=0的两个根，则k的值为（ ）
A. 3B. 4C. 3或4D. 7
9. 已知a，b是方程x2+5x+3=0的两根，则代数式（3+8a+a2）（3+8b+b2）的值是（ ）
A. -18B. 18C. -27D. 27
10. 关于x的方程（x-1）（x+2）=p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A. 两个正根B. 两个负根
C. 一个正根，一个负根D. 没有实数根
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 若关于x的方程（a-1）x2+3x-2=0是一元二次方程，则a的取值范围是____________.
12. 一元二次方程（x-2）（x+3）=0的根是 ．
13. 某文化休闲公园，种植了数万株观赏树木，其间的桥、廊、亭、榭多不胜数.如图，相关部门计划在公园内一块长为32米，宽为20米的近似矩形湖面上修筑宽度固定的观景长廊（图中阴影部分），要使湖面剩余部分（空白部分）的面积为540平方米，则长廊的宽为 米．

第13题图
14. 甲、乙两同学解方程x2+px+q=0，甲看错了一次项系数，得根为x=2和x=7；乙看错了常数项，得根为x=1和x=
-10，原方程为 .
15. 网课期间，晓夏写了封保护眼睛的倡议书，用微博转发的方式传播，设计如下转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发.已知经过两轮转发后，共157人参与了此次活动，则x的值是_____________.
16. 阅读材料：如果a，b分别是一元二次方程x2+x-1=0的两个实数根，则有a2+a-1=0，b2+b-1=0.创新应用：如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2-m=3，n2-n=3，那么代数式2n2-mn+2m+2023= ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17. （每小题3分，共6分）解下列方程：
（1）（x-3）（x-1）=3； （2）-x2+2x+2=0．
18. （6分）已知A=2x2+7x-1，B=2-3x，A的值与B的值互为相反数，求x的值．
19. （8分）3月12日，某中学开展“为校园增添一点绿色”为主题的植树活动，组织七年级、八年级、九年级分别在12日、13日、14日进行植树活动，七年级学生在12日种植25棵树苗，学生们在种植过程中听老师讲解植树绿化的意义，热情高涨，每天植树的增长率相同，九年级学生在14日种植49棵树苗．
（1）求每天植树的平均增长率；
（2）求此次活动三个年级种植树苗的总棵数.
20. （8分）嘉淇准备完成题目：解方程：x2+□x-8=0，发现系数“□”印刷不清楚.
（1）若猜测“□”为2，请你解方程x2+2x-8=0；
（2）该题标准答案是x=-1，请通过计算说明原题中“□”是几.
21. （8分）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
任务：
当矩形的长为8，宽为1时，它是否存在“减半”矩形（“减半”矩形的长大于宽）？若存在，请求出“减半”矩形的长和宽；若不存在，请说明理由.
22. （8分）已知关于x的方程4x2+x+2b-c=0有两个相等的实数根，若a，b，c是△ABC的三边长，且满足3a-2c=b.
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若a，b为方程x2-2kx+（-2k+3）=0的两根，求k的值．
23. （10分）某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
24. （12分）如图，在矩形ABCD中，设AB=a，AD=b且a>b.
（1）若a，b为方程x2-kx+k+4=0的两根，且a，b满足a2+b2=40，求k的值；
（2）在（1）的条件下，P为边CD上一点（异于C，D两点），点P在什么位置时，△APB为直角三角形？
（3）若P为边CD上一动点（异于C，D两点），当a，b满足什么条件时，△APB为直角三角形的点P有且只有一个？
第24题图

一元二次方程自我评估 参考答案
答案速览
一、1. C 2. A 3. D 4. B 5. C 6. B 7. A 8. C 9. D 10. C
二、11. a≠1 12. x1=-3，x2=2 13. 2 14. x2+9x+14=0 15. 12 16. 2034
三、解答题见“答案详解”
答案详解
9. C 解析：因为关于x的方程（x-1）（x+2）=p2（p为常数），所以x2+x-2-p2=0.所以b2-4ac=1+8+4p2=9+4p2>0.所以方程有两个不等的实数根.由根与系数的关系，得方程的两个根的积为-2-p20.所以方程有两个不等的实数根，x==.
所以=-1+，=-1-.所以x的值为-1+或-1-.
19. 解：（1）设每天植树的平均增长率为x.
根据题意，得25（1+x）2=49，解得x1=0.4=40%，x2=-2.4（不符合题意，舍去）．
答：每天植树的平均增长率为40%.
（2）25+25×（1+40%）+49=25+25×1.4+49=25+35+49=109（棵）.
答：此次活动三个年级种植树苗的总棵数为109棵．
20. 解：（1）可以得到方程x2+2x-8=0.移项，得x2+2x=8.配方，得x2+2x+1=8+1，即（x+1）2=9.所以x+1=±3，即x1=
-4，x2=2.
（2）设一次项系数“□”为b.将x=-1代入x2+bx-8=0，得（-1）2-b-8=0，解得b=-7，即原题中“□”是-7.
21. 解：存在.设“减半”矩形的长为x，则宽为.根据题意，得x=×8×1.
整理，得x2﹣x+4=0，解得x1=，x2=．
当x=时，=，符合题意；当x=时，=＞，不合题意，舍去．所以长为8，宽为1的矩形存在“减半”矩形，且“减半”矩形的长为，宽为．
22.（1）证明：因为方程4x2+x+2b-c=0有两个相等的实数根，所以Δ=-4×4（2b-c）=0，解得a=2b-c.
因为3a-2c=b，所以3（2b-c）-2c=b，解得b=c.将b=c代入a=2b-c，得a=c.所以a=b=c.所以△ABC是等边三角形.
（2）解：因为a，b为方程x2-2kx+（-2k+3）=0的两个根，且a=b，所以Δ=（-2k）2-4（-2k+3）=0，即k2+2k-3=0，
解得k=1或k=-3.当k=-3时，方程为x2+6x+9=0，解得x1=x2=-3（不合题意，舍去）；当k=1时，方程为x2-2x+1=0，解得x1=x2=1.所以k的值为1．
23. 解：（1）设售价应定为x元，则每件的利润为（x-40）元，日销售量为20+=（140-2x）件.
依题意，得（x-40）（140-2x）=（60-40）×20.整理，得x2-110x+3000=0，解得x1=50，x2=60（舍去）.
故售价应定为50元.
（2）设该商品需要打a折销售.由题意，得62.5×≤50，解得a≤8.故该商品至少需打8折销售．
24. 解：（1）因为a，b为方程x2-kx+k+4=0的两根，所以a+b=k，ab=k+4.
因为a2+b2=40，所以（a+b）2-2ab=40，即k2-2（k+4）=40，解得k=8或k=-6.
由题意知a>b>0，所以ab=k+4>0，当k=-6时，不合题意.所以k的值为8.
（2）因为点P不与点C，D重合，所以当△APB为直角三角形时，∠APB=90°.
由（1）可得方程为x2-8x+12=0，解得x=2或x=6.所以AB=6，AD=2.
因为四边形ABCD是矩形，所以BC=AD=2，DC=AB=6，∠D=∠C=90°.
设PD=x，则CP=6-x.
在Rt△ADP和Rt△BCP中，由勾股定理，得AD2+PD2=AP2，BC2+CP2=BP2，即22+x2=AP2，22+（6-x）2=BP2.
因为∠APB=90°，所以AP2+BP2=AB2，即22+x2+22+（6-x）2=62，解得x=3±.
所以PD的长为3+或3-时，△APB为直角三角形.
（3）当△APB为等腰直角三角形，即PA=PB，∠APB=90°时，使△ABP为直角三角形的点P只有一个，所以∠PAB=∠PBA=45°.所以∠DAP=∠CBP=45°.
所以△ADP与△CBP是等腰直角三角形，即CD=2AD.
所以当满足a=2b时，使△ABP为直角三角形的点P只有一个.给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，那么称这个矩形是给定矩形的“减半”矩形.如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“减半”矩形．
B
C
D
A
B1
C1
D1
A1
12
2
4
3