湖北省襄阳市第四中学2025届高三下学期高考模拟（一）数学试卷 含解析

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本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用幂函数的性质求解不等式得到，再利用交集的定义求解即可.
【详解】令，解得，则，
因为，所以，故C正确.
故选：C.
2. 已知复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的除法运算求出，即可求其共轭复数.
【详解】由可得：，解得，
用复数除法得：，
则，
故选：C.
3. 已知向量，且，则实数（ ）
A. -1B. 0C. 1D. 任意实数
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的线性运算及向量垂直的向量关系计算求解
【详解】.
由，得，
解得.
故选：B.
4. 已知，则（ ）
A. -B. -C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将已知两式平方后相加，结合同角的三角函数关系，以及两角差的余弦公式求得答案.
【详解】由，，
两边平方后相加得，
即,得，
所以,
故选:C.
5. 已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则球与圆锥的体积之比为（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用弧长公式用圆锥底面圆半径表示其母线，再利用球与圆锥体积公式列式计算.
【详解】设球的半径和圆锥的底面半径均为，圆锥的母线长为，
由圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，得，则，
所以球的体积与圆锥的体积之比为.
故选：C
6. 已知函数（且）是上单调函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式，结合分段函数的单调性的求解方法和对数函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意，函数（且）是上的单调函数，
则满足，解得.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了利用分段函数的单调性求参数，以及一元二次函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练分段函数的单调性的判定方法，以及对数函数的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
7. 已知函数，则此函数在区间内零点的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】令得，或或时，不是函数零点，当且且时，，同一坐标系内，画出与在上的图象，数形结合得到答案.
【详解】令得，，
当或或时，，但，故不是函数零点，
当且且时，，
同一坐标系内画出与在上的图象，如下：
可以看出上，与在上共有3个交点，
故零点个数为3个，分别为.
故选：D
8. 已知定义域为函数关于点对称，且恒成立，则下列结论中一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数关于点对称推出，通过对不同取值所得不等式累加，结合判断选项，由反例确定BD错误，根据累加结果确定A，正确C错误.
【详解】因为函数关于点对称，所以，
即，又，
所以，即，
对于AC，，
，
，
，
，
累加得，
又，即，故A正确，
取，则，故的图象关于对称，
而，
当时，，
当时，，
当时，，
故此时恒成立，故，
而，，
，故BCD错误；
故选：A
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于由对称性结合题设条件推出，进而累加作出判断.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（ ）
A. 数据的第25百分位数是1；
B. 若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为；
C. 已知随机变量，若，则；
D. 某班有50名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，则理论上说在分的人数约为17人．（参考数据：，，
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据百分位数、相关系数、二项分布、正态分布等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于选项A，8个数据从小到大排列，由于，
所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数，故A正确；
对于选项B，因为样本点都在直线上，说明是负相关且线性相关性很强，所以相关系数为，故B错误．
对于选项C，因为，
所以，解得，故C正确；
对于选项D，由，
可得在90~100分的人数是，故D正确.
故选：ACD．
10. 已知，且成等差数列（ ）
A. 也成等差数列B. 也成等差数列
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据等差数列计算再结合基本不等式即可判断A,D，应用指数函数单调性判断B,C.
【详解】因为，所以，D选项正确；
因为，所以，C选项正确；
因为，所以,A选项正确；
设成等差数列，得出,
若成等差数列，
则
已知矛盾，所以B错误.
故选： ACD .
11. 已知曲线的方程为，一条不过原点的直线与轴分别交于两点，则下列说法正确的有（ ）
A. 曲线有4条对称轴
B. 曲线C形成封闭图形的面积大于
C 当时，直线与相切
D. 若点在曲线上，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，根据绝对值的特征易得曲线有4条对称轴；对于B，设第一象限任意一点为，通过，说明曲线C位于圆的左下部分四分之一圆弧的下方，即可判断；对于C，设直线的方程，再与曲线方程联立，利用条件代入计算求得一个解，即可判断. 对于D，则利用放缩思想，即正数大于负数，从而得证．
【详解】首先，我们作出符合题意的图象，
对于A，由绝对值的特征，曲线在四个象限内都有对称性，
即关于轴，轴，以及直线和直线对称，
则故曲线有4条对称轴，故A正确；
对于B，设为曲线第一象限内任意一点，
则，两侧同时平方得，
即，故，
而到点的距离为
，
故曲线C位于圆的左下部分四分之一圆弧的下方，
又圆的左下部分四分之一圆弧与坐标轴围成的面积为，
该面积为边长为1的正方形面积减去四分之一圆的面积，
所以第一象限围成面积小于．
所以曲线C形成封闭图形的面积小于，故B错误；
对于C，不妨设，
则直线的方程为，其中，
由消去，可得，
将代入，化简得：，即，解得，
由函数的定义，可得直线与曲线在第一象限有且只有一个共同点，
故此时直线与曲线相切，同理在其他象限也有相同的结论，故C正确.
对于，由点在曲线上得：，
结合（正数大于负数），
则，
所以1a1+1a2+⋯+1an>1−22−1+1−23−2+⋯+1−2n+1−n
,故选项正确．
故选：ACD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线与椭圆交于两点，，则周长是__________.
【答案】20
【解析】
【分析】根据题意可知直线经过椭圆的右焦点，结合椭圆的定义即可求解.
【详解】椭圆,所以，
得，则椭圆的右焦点为，
所以直线经过椭圆的右焦点，
由椭圆的定义可知，的周长为
.
故答案为：20.
13. 若曲线在原点处的切线也是曲线的切线，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】求导，根据在原点处的切线方程为，进而根据公切线满足的数量关系得的切点为，将其代入即可求解.
【详解】由得，所以曲线在原点处的切线
为．
由得，设切线与曲线相切的切点为．
由两曲线有公切线得，解得，则切点为．
因为切点在切线上，所以．
故答案为：
14. 有5个相同的球，分别标有数字，从中无放回地随机取3次，每次取1个球，记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，就的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.
【详解】从5个不同的球中不放回地抽取3次，共有种，
设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，
故，故，
故，
若，则，则为：，故有2种，
若，则，则为：，
，故有8种，
当，则，则为：
，
，
故有12种，
当，则，则为：
，
，
共有8种，
当，则，则为：

有2种，
共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为，
故所求概率为.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 记的角的对边分别为，已知.
（1）求A；
（2）若点D是BC边上一点， 且， 求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据，结合两角和差公式运算求解即可；
（2）设，利用正弦定理可得，结合题中关系列式求解即可.
【小问1详解】
因为，
则，
可得，
且，则，可得，即，
又因为，所以.
【小问2详解】
因为，由（1）可知：，
设，则.
在Rt中，可得，即，
在中，由正弦定理得，
可得，
又因为，即，
可得，解得，
所以的值为.
16. 已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线的渐近线方程为．
（1）求抛物线的标准方程和双曲线的标准方程．
（2）斜率为2的直线与抛物线交于两点，与轴交于点，若，求．
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由双曲线渐近线方程求出，进而求出其右焦点即可得解.
（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，借助共线向量求出点的坐标即可.
【小问1详解】
依题意，双曲线渐近线方程为：，于是，解得，
因此双曲线的标准方程为：，其右焦点为，则，解得，
所以抛物线的标准方程为，双曲线的标准方程为.
【小问2详解】
设的方程为：，则，
由消去得：，则，，
由，得，则，满足，
因此，，，
所以．

17. 如图，在四棱锥中，底面为棱的中点，四面体的体积为的面积为.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）若，平面平面，点为棱上一点，当平面与平面夹角为时，求的长.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）取的中点，利用线面平行的判定，结合平行四边形性质推理得证.
（2）由线面平行的判定证得平面，结合体积公式求出点到平面的距离即可.
（3）取的中点，利用面面垂直的性质、线面垂直的判定证得，再建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解.
【小问1详解】
在四棱锥中，取的中点，连接，
在中，由分别为的中点，得，
又，则，
即四边形为平行四边形，，而平面平面，
所以平面.
【小问2详解】
设点到平面的距离为，由四面体的体积为的面积为，
得，解得，
而平面平面，则平面，
所以点到平面的距离为.
【小问3详解】
取的中点，连接，由，得，由平面平面，
平面平面平面，得平面，即，
则，由平面平面，得，
又平面平面，则，而平面，
因此平面，又平面，则，
而的面积为，，则，，
由，得，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，设，
则，
，设平面的法向量为，
则，取，得，设平面法向量为，
则，取，得，
，由平面与平面的夹角为，
得，解得，即为的中点，
所以.
18. 已知函数.
（1）若，函数在上单调递减，求实数的取值范围：
（2）若，是否存在实数，使0为函数的极大值点，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；
（3）若，求函数在上的零点个数.
【答案】（1）
（2）
（3）2
【解析】
【分析】（1）求出导函数，题意得出在上恒成立，转化为，在上恒成立，再引入函数求出函数的最值得参数范围；
（2）通过求得，再验证即可；
（3）求出，令，再求导，由的单调性确定的零点的存在性,从而得的正负，确定即的单调性，然后再确定的零点的存在性，得出的正负，确定的单调性，然后确定的零点的存在性（零点的存在性需与零点存在定理结合）．
【小问1详解】
当时，，，
因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，可得，
令，在上，，，
所以在上的最小值为，
所以实数a的取值范围为．
【小问2详解】
存在，理由如下：
当，，
，
若0为函数的极大值点，
则，则，
此时，，
令，可得，
当时，易知，
当时，，，
所以，
即在恒成立，
也即在单调递减，
又，
所以，，，，
所以0为函数的极大值点；
【小问3详解】
当，时，，可得，
，设，
则，易知在上单调递增，
又，，所以，使得，
在上,在上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以，，使得，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，由得，，
又因为，
易知，所以，
所以，使得，
综上，函数在上有，0两个零点．
19. 已知是给定的正整数，设是以满足下列条件①②③的函数为元素构成的集合：①定义域为；②；③，，其中，.对给定的整数，（其中），记.
（1）当时，直接写出集合和（无需说明推导过程）；
（2）若且不是3的倍数，证明：；
（3）从集合中随机取出一个函数，证明：对任意，随机事件“”发生的概率都不超过.
【答案】（1）；；
（2）证明见解析； （3）证明见解析；
【解析】
【分析】（1）根据定义，分类讨论即可；
（2）分和讨论即可；
（3）根据条件概率公式得，然后再计算和即可.
【小问1详解】
当时，，若是，则，
（i）当，时，
条件①为的定义域为，条件②为，
条件③当时，，
（ii）当，时，
条件①为的定义域为，条件②为，
条件③当时，，
（iii）当，时，
条件①为的定义域为，条件②为，
条件③当时，，
若取当时，，则，
则此时，满足，
若取当时，，则，
则此时，不满足，舍去；
（iv）当，时，
条件①为的定义域为，条件②为，
条件③当时，，
若取当时，，则，
则此时，不满足，
若取当时，，则，
则此时，不满足，舍去；
综上，完整的
则；
同理，当时，，若是，则，
依然得到上述（i），（ii）的结果，
讨论（iii）的条件③时，若最终，不满足，舍去；
若最终，满足；
此时，完整的；
讨论（iv）的条件③时，若最终，满足；
若最终，不满足；
此时，完整的；
综上，.
综上所述，，.
【小问2详解】
若，则所求证结论显然成立；
若，则对任意的，
由题意得且，
则．
设中有个等于-1，有个等于2，
则．
因此
所以若不是3的倍数则即．
【小问3详解】
记＂从集合中随机取出一个函数属于＂为事件，则所求概率记为，
则.
下面计算：
由题意得，集合中共有个不同函数，
设中有个等于，有个等于2，则．
解方程组得．
由于，
故当不能被3整除或时或时，上述方程组无解，此时；
当能被3整除且时，方程组有解，此时符合题意的函数共有个，因此．
下面计算：
对函数，若它也满足，则，
而．
因此，三者中有一个等于2，两个等于，所以共有种可能．
因此．
因此
由前面分析可知当不能被3整除或时或时，成立；
当能被3整除且时，．
由于，因此，
所以．
综上所述，从集合中随机取出一个函数，
它既属于又属于的概率不超过．
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是分空集和非空讨论.