湖北省襄阳市第四中学2025届高三下学期高考模拟（一）数学试卷 含解析

这是一份湖北省襄阳市第四中学2025届高三下学期高考模拟（一）数学试卷 含解析，共13页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答， 已知 ，且 成等差数列等内容，欢迎下载使用。
本试卷共 4 页，19 题，全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟.
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号
条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用幂函数的性质求解不等式得到 ，再利用交集的定义求解即可.
【详解】令 ，解得 ，则 ，
因为 ，所以 ，故 C 正确.
故选：C.
2. 已知复数 z 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的除法运算求出 ，即可求其共轭复数.
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【详解】由 可得： ，解得 ，
用复数除法得： ，
则 ，
故选：C.
3. 已知向量 ，且 ，则实数 （ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 任意实数
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的线性运算及向量垂直的向量关系计算求解
【详解】 .
由 ，得 ，
解得 .
故选：B.
4. 已知 ，则 （ ）
A. - B. - C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将已知两式平方后相加，结合同角的三角函数关系，以及两角差的余弦公式求得答案.
【详解】由 ， ，
两边平方后相加得 ，
即 ,得 ，
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所以 ,
故选:C.
5. 已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是圆心角为 的扇形，则球与圆锥的体积
之比为（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用弧长公式用圆锥底面圆半径表示其母线，再利用球与圆锥体积公式列式计算.
【详解】设球的半径和圆锥的底面半径均为 ，圆锥的母线长为 ，
由圆锥的侧面展开图是圆心角为 的扇形，得 ，则 ，
所以球的体积与圆锥的体积之比为 .
故选：C
6. 已知函数 （ 且 ）是 上 单调函数，则 的取值范围是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式，结合分段函数的单调性的求解方法和对数函数的性质，列出不等式组，
即可求解.
【详解】由题意，函数 （ 且 ）是 上的单调函数，
则满足 ，解得 .
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故选：C.
【点睛】本题主要考查了利用分段函数的单调性求参数，以及一元二次函数与对数函数的图象与性质的应
用，其中解答中熟练分段函数的单调性的判定方法，以及对数函数的性质是解答的关键，着重考查推理与
运算能力.
7. 已知函数 ，则此函数在区间 内零点的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】令 得 ， 或 或 时，不是函数零点，当 且 且
时， ，同一坐标系内，画出 与 在
上的图象，数形结合得到答案.
【详解】令 得 ， ，
当 或 或 时， ，但 ，故不是函数零点，
当 且 且 时， ，
同一坐标系内画出 与 在 上的图象，如下：
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可以看出上， 与 在 上共有 3 个交点，
故零点个数为 3 个，分别为 .
故选：D
8. 已知定义域为 函数 关于点 对称，且 恒成立，则下列结论中一定正
确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数 关于点 对称推出 ，通过对不同 取值所得不等式累
加，结合 判断选项，由反例确定 BD 错误，根据累加结果确定 A，正确 C 错误.
【详解】因为函数 关于点 对称，所以 ，
即 ，又 ，
所以 ，即 ，
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对于 AC， ，
，
，
，
，
累加得 ，
又 ，即 ，故 A 正确，
取 ，则 ，故 的图象关于 对称，
而 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
故此时 恒成立，故 ，
而 ， ，
，故 BCD 错误；
故选：A
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于由对称性结合题设条件推出 ，进而累加
作出判断.
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（ ）
A. 数据 的第 25 百分位数是 1；
B. 若一组样本数据 的对应样本点都在直线 上，则这组样本数据的相关系
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数为 ；
C. 已知随机变量 ，若 ，则 ；
D. 某班有 50 名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布 ，则理论上说在 分的人
数约为 17 人．（参考数据： ， ，
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据百分位数、相关系数、二项分布、正态分布等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于选项 A，8 个数据从小到大排列，由于 ，
所以第 25 百分位数应该是第二个与第三个的平均数 ，故 A 正确；
对于选项 B，因为样本点都在直线 上，说明是负相关且线性相关性很强，所以相关系数为 ，
故 B 错误．
对于选项 C，因为 ，
所以 ，解得 ，故 C 正确；
对于选项 D，由 ，
可得在 90~100 分的人数是 ，故 D 正确.
故选：ACD．
10. 已知 ，且 成等差数列（ ）
A. 也成等差数列 B. 也成等差数列
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据等差数列计算再结合基本不等式即可判断 A,D，应用指数函数单调性判断 B,C.
【详解】因为 ，所以 ，D 选项正确；
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因为 ，所以 ，C 选项正确；
因为 ，所以 ,A 选项正确；
设 成等差数列，得出 ,
若 成等差数列，
则
已知 矛盾，所以 B 错误.
故选： ACD .
11. 已知曲线 的方程为 ，一条不过原点的直线 与 轴分别交于 两点，则下列说法
正确的有（ ）
A. 曲线 有 4 条对称轴
B. 曲线 C 形成封闭图形的面积大于
C 当 时，直线 与 相切
D. 若点 在曲线 上，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 A，根据绝对值的特征易得曲线有 4 条对称轴；对于 B，设第一象限任意一点为 ，通
过 ，说明曲线 C 位于圆 的左下部分四分之一圆弧的下方，即可判断；对于 C
，设直线 的方程，再与曲线 方程联立，利用条件代入计算求得一个解，即可判断. 对于 D，则利用放缩
思想，即正数大于负数 ，从而得证．
【详解】首先，我们作出符合题意的图象，
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对于 A，由绝对值的特征，曲线 在四个象限内都有对称性，
即关于 轴， 轴，以及直线 和直线 对称，
则 故曲线有 4 条对称轴，故 A 正确；
对于 B，设 为曲线第一象限内任意一点，
则 ，两侧同时平方得 ，
即 ，故 ，
而 到点 的距离为
，
故曲线 C 位于圆 的左下部分四分之一圆弧的下方，
又圆 的左下部分四分之一圆弧与坐标轴围成的面积为 ，
该面积为边长为 1 的正方形面积减去四分之一圆的面积，
所以第一象限围成面积小于 ．
所以曲线 C 形成封闭图形的面积小于 ，故 B 错误；
对于 C，不妨设 ，
则直线 的方程为 ，其中 ，
由 消去 ，可得 ，
将 代入，化简得： ，即 ，解得 ，
由函数的定义，可得直线 与曲线 在第一象限有且只有一个共同点，
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故此时直线 与曲线 相切，同理在其他象限也有相同的结论，故 C 正确.
对于 ，由点 在曲线 上得： ，
结合 （正数大于负数），
则 ，
所以
,故选项 正确．
故选：ACD
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知直线 与椭圆 交于 两点， ，则 周长是__________.
【答案】20
【解析】
【分析】根据题意可知直线 经过椭圆 的右焦点 ，结合椭圆的定义即可求解.
【详解】椭圆 ,所以 ，
得 ，则椭圆的右焦点为 ，
所以直线 经过椭圆 的右焦点 ，
由椭圆的定义可知， 的周长为
.
故答案为：20.
13. 若曲线 在原点处的切线也是曲线 的切线，则 __________．
【答案】
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【解析】
【分析】求导，根据 在原点处的切线方程为 ，进而根据公切线满足的数量关系得
的切点为 ，将其代入 即可求解.
【详解】由 得 ，所以曲线 在原点处的切线
为 ．
由 得 ，设切线与曲线 相切的切点为 ．
由两曲线有公切线得 ，解得 ，则切点为 ．
因为切点在切线 上，所以 ．
故答案为：
14. 有 5 个相同的球，分别标有数字 ，从中无放回地随机取 3 次，每次取 1 个球，记 为前两次
取出的球上数字的平均值， 为取出的三个球上数字的平均值，则 与 之差的绝对值不大于 的概率为
__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为 ，第三个球的号码为 ，则
，就 的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.
【详解】从 5 个不同的球中不放回地抽取 3 次，共有 种，
设前两个球的号码为 ，第三个球的号码为 ，则 ，
故 ，故 ，
故 ，
若 ，则 ，则 为： ，故有 2 种，
若 ，则 ，则 为： ，
，故有 8 种，
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当 ，则 ，则 为：
，
，
故有 12 种，
当 ，则 ，则 为：
，
，
共有 8 种，
当 ，则 ，则 为：
有 2 种，
共 与 的差的绝对值不超过 时不同的抽取方法总数为 ，
故所求概率为 .
故答案为：
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 记 的角 的对边分别为 ，已知 .
（1）求 A；
（2）若点 D 是 BC 边上一点， 且 ， 求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据 ，结合两角和差公式运算求解即可；
（2）设 ，利用正弦定理可得 ，结合题中关系列式求解即可.
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【小问 1 详解】
因为 ，
则 ，
可得 ，
且 ，则 ，可得 ，即 ，
又因为 ，所以 .
【小问 2 详解】
因为 ，由（1）可知： ，
设 ，则 .
在 Rt 中，可得 ，即 ，
在 中，由正弦定理得 ，
可得 ，
又因为 ，即 ，
可得 ，解得 ，
所以 的值为 .
16. 已知抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，双曲线 的渐近线方
程为 ．
（1）求抛物线 的标准方程和双曲线 的标准方程．
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（2）斜率为 2 的直线 与抛物线 交于 两点，与 轴交于点 ，若 ，求 ．
【答案】（1） ， ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）由双曲线渐近线方程求出 ，进而求出其右焦点即可得解.
（2）设出直线 的方程，与抛物线方程联立，借助共线向量求出点 的坐标即可.
【小问 1 详解】
依题意，双曲线渐近线方程为： ，于是 ，解得 ，
因此双曲线 的标准方程为： ，其右焦点为 ，则 ，解得 ，
所以抛物线 的标准方程为 ，双曲线 的标准方程为 .
【小问 2 详解】
设 的方程为： ，则 ，
由 消去 得： ，则 ， ，
由 ，得 ，则 ，满足 ，
因此 ， ， ，
所以 ．
17. 如图，在四棱锥 中， 底面 为棱 的中点，四面
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体 的体积为 的面积为 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离；
（3）若 ，平面 平面 ，点 为棱 上一点，当平面 与平面 夹角为
时，求 的长.
【答案】（1）证明见解析；
（2） ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）取 的中点 ，利用线面平行的判定，结合平行四边形性质推理得证.
（2）由线面平行的判定证得 平面 ，结合体积公式求出点 到平面 的距离即可.
（3）取 的中点 ，利用面面垂直的性质、线面垂直的判定证得 ，再建立空间直角坐标系，
利用面面角的向量求法求解.
【小问 1 详解】
在四棱锥 中，取 的中点 ，连接 ，
在 中，由 分别为 的中点，得 ，
又 ，则 ，
即四边形 为平行四边形， ，而 平面 平面 ，
所以 平面 .
【小问 2 详解】
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设点 到平面 的距离为 ，由四面体 的体积为 的面积为 ，
得 ，解得 ，
而 平面 平面 ，则 平面 ，
所以点 到平面 的距离为 .
【小问 3 详解】
取 的中点 ，连接 ，由 ，得 ，由平面 平面 ，
平面 平面 平面 ，得 平面 ，即 ，
则 ，由 平面 平面 ，得 ，
又 平面 平面 ，则 ，而 平面 ，
因此 平面 ，又 平面 ，则 ，
而 的面积为 ， ，则 ， ，
由 ，得 ，以 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，设 ，
则 ，
，设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，设平面 法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
，由平面 与平面 的夹角为 ，
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得 ，解得 ，即 为 的中点，
所以 .
18. 已知函数 .
（1）若 ，函数 在 上单调递减，求实数 的取值范围：
（2）若 ，是否存在实数 ，使 0 为函数 的极大值点，若存在，请求出的 值，若不存在，请说
明理由；
（3）若 ，求函数 在 上的零点个数.
【答案】（1）
（2）
（3）2
【解析】
【分析】（1）求出导函数 ，题意得出 在 上恒成立，转化为 ，在
上恒成立，再引入函数求出函数的最值得参数范围；
（2）通过 求得 ，再验证即可；
（3）求出 ，令 ，再求导 ，由 的单调性确定 的零点 的存在性,从而得
的正负，确定 即 的单调性，然后再确定 的零点 的存在性，得出 的正负，
确定 的单调性，然后确定 的零点的存在性（零点的存在性需与零点存在定理结合）．
【小问 1 详解】
当 时， ， ，
因为函数 在 上单调递减，所以 在 上恒成立，即 在
上恒成立，可得 ，
令 ，在 上， ， ，
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所以 在 上的最小值为 ，
所以实数 a 的取值范围为 ．
【小问 2 详解】
存在 ，理由如下：
当 ， ，
，
若 0 为函数 的极大值点，
则 ，则 ，
此时 ， ，
令 ，可得 ，
当 时，易知 ，
当 时， ， ，
所以 ，
即 在 恒成立，
也即 在 单调递减，
又 ，
所以 ， ， ， ，
所以 0 为函数 的极大值点；
【小问 3 详解】
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当 ， 时， ，可得 ，
，设 ，
则 ，易知 在 上单调递增，
又 ， ，所以 ，使得 ，
在 上 ,在 上 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ， ，
所以 ， ，使得 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，由 得 ， ，
又因为 ，
易知 ，所以 ，
所以 ，使得 ，
综上，函数 在 上有 ，0 两个零点．
19. 已知 是给定的正整数，设 是以满足下列条件①②③的函数 为元素构成的集合：①定义域为
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； ② ； ③ ， ， 其 中 ，
.对给定的整数 ， （其中 ），记 .
（1）当 时，直接写出集合 和 （无需说明推导过程）；
（2）若 且 不是 3 的倍数，证明： ；
（3）从集合 中随机取出一个函数 ，证明：对任意 ，随机事件“ ”
发生的概率都不超过 .
【答案】（1） ； ；
（2）证明见解析； （3）证明见解析；
【解析】
【分析】（1）根据定义，分类讨论即可；
（2）分 和 讨论即可；
（3）根据条件概率公式得 ，然后再计算 和 即可.
【小问 1 详解】
当 时， ，若是 ，则 ，
（i）当 ， 时，
条件①为 的定义域为 ，条件②为 ，
条件③当 时， ，
（ii）当 ， 时，
条件①为 的定义域为 ，条件②为 ，
条件③当 时， ，
（iii）当 ， 时，
条件①为 的定义域为 ，条件②为 ，
条件③当 时， ，
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若取当 时， ，则 ，
则此时 ，满足 ，
若取当 时， ，则 ，
则此时 ，不满足 ，舍去；
（iv）当 ， 时，
条件①为 的定义域为 ，条件②为 ，
条件③当 时， ，
若取当 时， ，则 ，
则此时 ，不满足 ，
若取当 时， ，则 ，
则此时 ，不满足 ，舍去；
综上，完整的
则 ；
同理，当 时， ，若是 ，则 ，
依然得到上述（i），（ii）的结果，
讨论（iii）的条件③时，若最终 ，不满足 ，舍去；
若最终 ，满足 ；
此时，完整的 ；
讨论（iv）的条件③时，若最终 ，满足 ；
若最终 ，不满足 ；
此时，完整的 ；
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综上， .
综上所述， ， .
【小问 2 详解】
若 ，则所求证结论显然成立；
若 ，则对任意的 ，
由题意得 且 ，
则 ．
设 中有 个等于-1，有 个等于 2，
则 ．
因此
所以若 不是 3 的倍数则 即 ．
【小问 3 详解】
记＂从集合 中随机取出一个函数 属于 ＂为事件 ，则所求概率记为 ，
则 .
下面计算 ：
由题意得 ，集合 中共有 个不同函数，
设 中有 个等于 ，有 个等于 2，则 ．
解方程组 得 ．
由于 ，
故当 不能被 3 整除或 时或 时，上述方程组无解，此时 ；
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当 能被 3 整除且 时，方程组有解，此时符合题意的函数共有 个，因此
．
下面计算 ：
对函数 ，若它也满足 ，则 ，
而 ．
因此 ，三者中有一个等于 2，两个等于 ，所以共有 种可能．
因此 ．
因此
由前面分析可知当 不能被 3 整除或 时或 时， 成立；
当 能被 3 整除且 时， ．
由于 ，因此 ，
所以 ．
综上所述，从集合 中随机取出一个函数，
它既属于 又属于 的概率不超过 ．
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是分空集和非空讨论.
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