2026年北京市中考模拟数学一模试卷含答案

这是一份2026年北京市中考模拟数学一模试卷含答案，共13页。试卷主要包含了因式分解等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）下列雪花图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．则正确的结论是（ ）
A．a＜﹣aB．ab＞0C．a+b＜0D．|b|＜a
3．（2分）如图，将四边形ABCD剪掉一个角得到五边形．下列判断正确的是（ ）
结论①：变成五边形后外角和不发生变化；
结论②：变成五边形后内角和增加了360°；
结论③：通过图中条件可以得到∠1+∠2＝240°．
A．只有①对B．①和③对
C．①、②、③都对D．①、②、③都不对
4．（2分）为支援希望工程“爱心包裹”活动，小慧准备通过热线捐款，他只记得号码的前5位，后三位由5，3，2这三个数字组成，但具体顺序忘记了，他一次就拨通电话的概率是（ ）
A．12B．14C．16D．18
5．（2分）一元二次方程x2+2x﹣4＝0根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．无法判断
6．（2分）国家智慧教育平台于2022年3月28日上线，截至2022年9月，已在基础教育平台提供资源3.4万．在职业教育平台上线1194个教育资源库、6628门在线精品课，在高等教育平台上线课程2.7万门，其中数据3.4万用科学记数法表示为（ ）
A．3.4×103B．34×103C．3.4×104D．3.4×105
7．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BC＝6，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论：①△ABD是等边三角形；②DE垂直平分线段AC；③BE＝DE＝2；④AB＝3；其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数y=1x(x＞0)的图象与边AC交于点M，与边BC交于点N（M，N不重合）．给出下面四个结论：
①△COM与△CON的面积不一定相等；
②△MON与△MCN的面积一定不相等；
③△MON不一定是锐角三角形；
④△MON一定不是等边三角形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）代数式x−5在实数范围内有意义，写出一个符合条件的x的值 ．
10．（2分）因式分解：y+2xy+x2y＝ ．
11．（2分）方程1−xx−2+32−x=0的解是 ．
12．（2分）根据《山西省教育厅关于组织参加第五届中华经典诵写讲大赛的通知》，某校组织了“笔墨中国”的汉字书写征文大赛，现从中随机抽取部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，并根据结果绘制了如下两幅不完整的统计图．若该校共征集到400份作品，请估计等级为A的作品约有 份．
13．（2分）将“立方根互为相反数的两个数互为相反数”改写成“如果…，那么…”的形式： ，它是 命题（“真”或“假”）．
14．（2分）点P为⊙O外一点，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，点C为⊙O上不与A，B重合的点，若∠P＝80°，则∠ACB的度数是 ．
15．（2分）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AD所在直线上，连接BE，以BE为边，作正方形BEFG（点B，E，F，G按逆时针排列）．当正方形BEFG中的某一顶点落在直线AC上时（不与点A重合），则正方形BEFG的边长为 ．
16．（2分）丽丽骑自行车去学校，所花时间与行走的路程如下表：
这个问题中，自变量是 ，因变量是 ．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：2−1+(−1)2022+|12−2|−(π−3.14)4．
18．（5分）解不等式组2x−1≥0x+42＜3．
19．（5分）已知aa2−a+1=17，求a2a4+a2+1的值．
20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC中点，过点D作直线DF∥AB交BC于点F，过点A作直线AE∥BC交直线DF于点E．
（1）求证：四边形AFCE是矩形；
（2）若AB⊥AC，BC＝6，求线段EF的长．
21．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（3，7），B（﹣1，﹣1），且与y轴交于点C．
（1）求该函数的解析式及点C的坐标；
（2）当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝﹣x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出n的取值范围．
22．（6分）甲、乙两地相距480千米，客车和货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行．客车和货车的速度比是3：2，2.5小时后两车相遇，请问客车行了多少千米？
23．（5分）校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图：
b．丙运动员10次测试成绩：12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9
c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差：
（1）表中p 0.024（填“＞”“＝”或“＜”）；
（2）求表中m和n的值；
（3）根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强．评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为 ．
24．（6分）如图，AB，BF分别是⊙O的直径和弦，弦CD与AB，BF分别相交于点E，G，过点F的切线HF与DC的延长线相交于点H，且HF＝HG．
（1）求证：AB⊥CD；
（2）若sin∠HGF=34，BF＝3，求⊙O的半径长．
25．（5分）某高效记忆训练营对新学员开展提升记忆力的培训．在完成有关记忆方法的理论学习后，新学员先接受为期T日（T可取0，1或2）的记忆强化训练，然后开始每日记忆测试．测试内容为：1分钟内观看并记忆一组无序数字并立即默写．记一名新学员在测试阶段的第x日每分钟正确默写的数字量为y．根据测试经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当T＝0和T＝2时，部分数据如下：
T＝2时，从测试阶段的第2日起，一名新学员每日比前一日多记忆的数字量（即：日增长量）逐渐减少或保持不变．
对于给定的T，在平面直角坐标系xOy中描出该T值下各数对（x，y）所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接．得到曲线∁T.当T＝1时，曲线C1如图所示．
（1）观察曲线C1，当整数x的值为 时，y的值首次超过20；
（2）写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出T＝2时的曲线C2；
（3）完成理论学习后，为调动新学员培训的积极性，该训练营在强化训练和记忆测试阶段组织了竞赛比拼．小明和小雯也积极参与到活动之中．
①若新学员单日每分钟至少记忆30个数字可获得“记忆达人”称号，根据上述函数关系，小明最早在完成理论学习后的第 日可获得“记忆达人”证书；
②竞赛规定新学员在完成理论学习后的3日内记忆数字个数的总数最多可获得“最佳学员”称号，若小雯希望获得此称号，根据上述函数关系，在这3日中小雯应先进行 日的强化训练．
26．（6分）已知抛物线C1：y＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（4，5）和点（2，﹣3），且与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求抛物线C1的解析式和顶点D的坐标．
（2）将抛物线C1沿x轴平移得到抛物线C2，抛物线C1与C2交于点P，抛物线C2交x轴交于点A′，B′（A′在B′的左侧），连接BC、DC、BD得到△BCD、连接PA′、PB′得到△PA′B′，若S△PA'B'=83S△BCD，求点P的坐标．
27．（7分）数学课上，某数学小组正在认真研究：到三个定点距离之和最小的点．
【实际背景】设要建造一座发电厂向附近的三座工厂输电，将发电厂建造在哪里，可以使从发电厂出发的输电线的总长度最短？
【数学问题】在平面内，假设三座工厂分别记作点A、B、C，发电厂记作点P，请在平面内找一点P，使得PA+PB+PC最小．
（1）探究1．当点A、B、C在同一直线上（如图1），点B在点A和点C之间，要使得PA+PB+PC最小，点P的位置为 ．依据是： ．（填写序号）
①三角形任意两边之和大于第三边；②线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
（2）探究2．
当点A、B、C不共线时（如图2），△ABC中，最大内角∠BAC＜120°，点P在△ABC内．
小敏说：两条折线段之和最小值就是连结两点的线段长；
小丽提出困惑：如何把题目中共顶点三条线段转化为首尾相连的三条折线段呢？
欢欢说：目前线段相等转化的方法有：构造全等三角形、等边三角形（或等腰三角形）…
聪聪说：将△BPC绕点B顺时针旋转60°得△BP′C′，联结PP′（如图3）；此时要使得PA+PB+PC最小，则点A、P、P′、C′在同一直线上（如图4），可以得出∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°．
①你同意该小组同学的说法吗？如果不同意，请说出理由；如果同意，请写出证明∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°的推理过程．
②从上面的证明还可以得到△BC′C是等边三角形，此时点P在线段AC′上；请用直尺和圆规在图5中作出点P使得PA+PB+PC最小．
28．（7分）如图，AB为⊙O的直径，点C是AD的中点，过点C作⊙O的切线CE，与BD的延长线交于点E，连接BC．
（1）求证：∠CEB＝90°．
（2）连接CD，当CD∥AB时：
①连接OC，判断四边形OBDC的形状，并说明理由．
②若BE＝3，图中阴影部分的面积为 （用含有π的式子表示）．
2026年北京市中考数学模拟练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．【解答】解：A、图形是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
B、图形是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
C、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；
D、图形是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意，
故选：C．
2．【解答】解：观察数轴可知：a＞0，b＜0，|a|＞|b|，
∴﹣a＜0，
∴a＞﹣a，ab＜0，a+b＞0，|b|＜a，
∴A，B，C选项均错误，D选项正确，
故选：D．
3．【解答】解：①任意多边形的外角和是360°，故①正确；
根据多边形内角和定理（5﹣2）×180°﹣（4﹣2）×180°＝180°，
四边形ABCD剪掉一个角得到五边形内角和增加了180°，故②错误，
如图所示，
∵∠1＝∠4+∠A，∠2＝∠3+∠A
∴∠1+∠2＝∠3+∠4+∠A+∠A＝180°+∠A＝180°+60°＝240°，故③正确，
故选：B．
4．【解答】解：∵由5，3，2这三个数字组成的所有3位数有：532，523，352，，325，253，235，共6种等可能，而与号码吻合的有1种，
∴P（一次就拨通电话）=16，
故选：C．
5．【解答】解：一元二次方程x2+2x﹣4＝0，
这里a＝1，b＝2，c＝﹣4．
∵Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×1×（﹣4）＝20＞0．
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
6．【解答】解：3.4万＝34000＝3.4×104．
故选：C．
7．【解答】解：由题意可得∠ABC＝90°，AB＝AD，∠C＝30°，
∴△ABD为等腰三角形，
∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°，
∴△ABD为等边三角形，故①正确；
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠DAE＝30°，
∵AE＝AE，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴∠ADE＝∠ABC＝90°，
∵∠DAE＝∠C＝30°，
∴AE＝EC，
∵∠ADE＝90°，
∴ED⊥AC，
∴DE垂直平分AC，故②正确；
设BE＝x，AE＝EC＝6﹣x，
∵∠BAE＝30°，
∴BE=12AE，即x=12×(6−x)，
解得：x＝2，
∴BE＝2，故③正确；
∴AE＝6﹣2＝4，
∴在Rt△ABE中，AB=AE2−BE2=42−22=23，故④错误；
故选项①②③正确，即正确的有3个．
故选：C．
8．【解答】解：设点M坐标为(a，1a)，点N坐标为(b，1b)，
则A（a，0），B(0，1b)，C(a，1b)，
∴OB=AC=1b，OA＝BC＝a，BN＝b，AM=1a，CN＝a﹣b，CM=1b−1a，
∴S△COM=12CM⋅OA=12×(1b−1a)×a=a2b−12，S△CON=12CN⋅OB=12×(a−b)×1b=a2b−12，
∴S△COM＝S△CON，即△COM与△CON的面积一定相等，
故结论①错误，不符合题意；
S△MCN=12CN⋅CM=12×(a−b)(1b−1a)=(a−b)22ab，
S△MON=S矩形OACB−S△OBN−S△OAM−S△MCN=a×1b−12×b×1b−12×a×1a−(a−b)22ab=a2−b22ab，
当△MON与△MCN的面积相等时，(a−b)22ab=a2−b22ab，即a＝b，
当a＝b时，M，N重合，与题意不符，
∴两个三角形的面积一定不相等，
故结论②正确，符合题意；
∵当∠NOM＝60°且对称轴都为直线y＝x，△MON可能是等边三角形，
故结论④错误，不符合题意；
如图：
当M，N在y＝x的同侧时，△MON可能是钝角三角形，
故结论③正确，符合题意；
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．【解答】解：根据题意可知，x﹣5≥0，
即x≥5，
则写出一个满足条件的x的值为5．
故答案为：5（答案不唯一）．
10．【解答】解：y+2xy+x2y
＝y（1+2x+x2）
＝y（1+x）2，
故答案为：y（1+x）2．
11．【解答】解：去分母得：1﹣x﹣3＝0，
解得：x＝﹣2，
检验：把x＝﹣2代入得：x﹣2≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣2．
故答案为：x＝﹣2．
12．【解答】解：30÷25%＝120，
400×36120×100%=120，
则等级为A的作品约有120份．
故答案为：120．
13．【解答】解：“立方根互为相反数的两个数互为相反数”改写成“如果…，那么…”的形式：如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数互为相反数，它是真命题．
故答案为：如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数互为相反数，真．
14．【解答】解：连接OA、OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣80°＝100°，
当点C在优弧AB上时，∠ACB=12∠AOB=12×100°＝50°，
当点C′在劣弧AB上时，∠AC′B＝180°﹣50°＝130°，
综上所述：∠ACB的度数是50°或130°，
故答案为：50°或130°．
15．【解答】解：当点F在直线AC上时，如图1，过点F作FM⊥AD，交DA的延长线于M，
则∠FMA＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAD＝45°，∠BAE＝90°，
∴∠FAM＝∠CAD＝45°，∠AEB+∠EBA＝90°，
∴△AFM是等腰直角三角形，
∴AM＝FM，
∵四边形BEFG是正方形，
∴EF＝BE，∠BEF＝90°，
∴∠EBA+∠FEM＝90°，
∴∠EBA＝∠FEM，
在△AEB和△MFE中，
∠BAE=∠FME∠EBA=∠FEMBE=EF，
∴△AEB≌△MFE（AAS），
∴AE＝FM，AB＝EM，
∴AE＝AM＝FM，
∵AE+AM＝EM，
∴2AE＝AB＝6，
∴AE＝3，
在Rt△ABE中，BE2=AD2+DE2=62+32=35，
∴此时正方形BEFG的边长为35．
当点G在直线上AC时，过点G作GM⊥AB，交BA的延长线于M，如图2，
同理可得：△AEB≌△MBG（AAS），
∴GM＝AB＝6，BM＝AE，
∵∠CAB＝∠MAG＝45°，∠M＝90°，
∴△AGM是等腰直角三角形，
∴AM＝GM，
∴AM＝AB＝6，
∴BM＝12，
在Rt△BGM中，BG=BM2+GM2=122+62=65，
∴此时正方形BEFG的边长为65．
综上分析可得：正方形BEFG的边长为35或65．
故答案为：35或65．
16．【解答】解：路程随着时间的变化而变化，故时间是自变量，路程是因变量．
故答案为：时间，路程．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．【解答】解：原式=12+1+2−12−1=2．
18．【解答】解：2x−1≥0①x+42＜3②，
解不等式①得：x≥12，
解不等式②得：x＜2．
∴原不等式组的解集是：12≤x＜2．
19．【解答】解：∵aa2−a+1=17，
∴a≠0，a2−a+1a=71，
∴a+1a=8，
∴a4+a2+1a2
=a2+1+1a2
=(a+1a)2−2+1
＝64﹣2+1
＝63，
∴a2a4+a2+1=163．
20．【解答】（1）证明：∵AE∥BC，
∴∠EAD＝∠ACF，
∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD，
在△ADE与△CDF中，
∠EAD=∠ACFAD=CD∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE∥BC，AB∥EF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AB＝EF，
∵AB＝AC，
∴AC＝EF，
∴四边形AECF是矩形；
（2）解：∵AB⊥AC，AB＝AC，AB＝AC，BC＝3，
∴∠ACB＝45°，
∴CF=12BC=3=AF，
∵四边形AECF是矩形，
∴AC=AF2+CF2=32，
∴∠AFC＝90°，AF＝CF，
在矩形AECF中，EF=AC=32．
21．【解答】解：（1）把点A（3，7），B（﹣1，﹣1）代入y＝kx+b得7=3k+b−1=−k+b，
解得k=2b=1，
∴该函数的解析式为y＝2x+1，
当x＝0时，y＝1，
∴C（0，1）；
（2）把x＝1代入y＝2x+1，得y＝3，把点（1，3）代入y＝﹣x+n，得n＝4．
∵当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝﹣x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，
∴n的取值范围是n≥4．
22．【解答】解：设客车行了x千米，则货车行了（480﹣x）千米，
根据题意得：x：（480﹣x）＝3：2，
即2x＝3（480﹣x），
解得：x＝288．
答：客车行了288千米．
23．【解答】解：（1）甲的10次测试成绩从小到大排列为：12.1 12.1 12.5 12.5 12.5 12.5 12.5 12.7 12.7 12.9，
∴p=110[2×(12.1−12.5)2+5×(12.5−12.5)2+2×(12.7−12.5)2+(12.9−12.5)2]=0.056，
∵0.056＞0.024，
∴p＞0.024，
故答案为：＞；
（2）∵丙运动员10次测试成绩：12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9，
∴丙运动员10次测试成绩的平均数m=110×(2×12.4+12.5+12.7+4×12.8+2×12.9)=12.7，
乙的10次测试成绩从小到大排列为：12.2 12.3 12.4 12.5 12.5 12.5 12.6 12.6 12.7 12.7，
∵第5个和第6个数据分别为12.5，12.5，
∴乙的10次测试成绩的中位数n=12.5+12.52=12.5，
∴m＝12.7，n＝12.5；
（3）∵甲、乙、丙、丁的测试成绩的平均数分别为12.5、12.5、12.7、12.5，
∴由平均数比较甲、乙、丁的实力较强，丙的实力较弱，
∵甲、乙、丁的方差分别为0.056、0.024、0.056，
∴乙的实力较强，甲、丁的实力较弱，
∵丁的测试成绩中位数为12.45，
∴第5次、第6次成绩总和为12.45×2＝24.9，
∴则前5次测试的成绩小于平均数12.5，
∵甲的成绩小于平均数的次数为2次，
∴丁的实力较强，甲的实力较弱，
∴这四名运动员按实力由强到弱依次为：乙、丁、甲、丙．
故答案为：乙、丁、甲、丙．
24．【解答】（1）证明：如图，连接OF，
∵HF是⊙O的切线，
∴∠OFH＝90°．
即∠1+∠2＝90°．
∵HF＝HG，
∴∠1＝∠HGF．
∵∠HGF＝∠3，
∴∠3＝∠1．
∵OF＝OB，
∴∠B＝∠2．
∴∠B+∠3＝90°．
∴∠BEG＝90°．
∴AB⊥CD；
（2）解：如图，连接AF，
∵AB、BF分别是⊙O的直径和弦，
∴∠AFB＝90°．
即∠2+∠4＝90°．
∴∠HGF＝∠1＝∠4＝∠A．
在Rt△AFB中，AB=BFsin∠A=334=4．
∴⊙O的半径长为2．
25．【解答】解：（1）由曲线C1看出，当整数x的值为3时，y的值首次超过20，
故答案为：3；
（2）∵T＝2日的强化训练时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，在测试阶段的第3日单日记忆的数字量28个，第5日单日记忆的数字量33个，
∴相差33﹣28＝5（个），
把5分成两个接近的数，5＝3+2，
∴第4日增加3个，第5日增加2个，
∴m＝28+3＝31，
画出T＝2时的曲线C2：
（3）①T＝0：y最大为23，无法满足；T＝1：曲线C1显示x＝9时y≈30，总天数为1+9＝10日；
T＝2：x＝4时，y＝31≥30，总天数为2+4＝6日．
因此，小明最早在完成理论学习后的第6日获得证书．
故答案为：6；
②小雯获得“最佳学员”称号的强化天数需在“完成理论学习后的3日内”（总天数T+x≤3）使记忆数字总数最多：
T＝2：强化2天，测试1天（x＝1），总数为20；
T＝1：强化1天，测试2天（x＝2），总数约为10+15＝25；
T＝0：强化0天，测试3天（x＝3），总数为6+7+9＝22，
总数最大为25，对应强化天数T＝1，
因此小雯应先进行1日的强化训练．
故答案为：1．
26．【解答】解：（1）将（4，5）和（2，﹣3）分别代入y＝ax2+bx﹣3，
得16a+4b−3=54a+2b−3=−3，
解得：a=1b=−2，
∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，顶点D坐标为（1，﹣4）；
（2）过点D作DE⊥y轴于点E，则E点坐标为（0，﹣4），
∴将y＝0，代入y＝x2﹣2x﹣3得x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，﹣3），
∴SBDC=(1+3)×4×12−12×3×3−12×1×1=3，
∵将抛物线C1沿x轴平移得到抛物线C2，
∴C2与C1具有相同的顶点纵坐标、抛物线开口方向、大小不变、抛物线与x轴的两个交点之间的距离不变，
∴设抛物线C2的解析式为y＝（x﹣m）2﹣4，同时A′B′＝AB＝4，
∴设P（a，a2﹣2a﹣3），
∴S△PA′B′=83×3=8=12×4×|yP|，
∴|a2﹣2a﹣3|＝4，
∴当a2﹣2a﹣3＝4，
解得：x1=1−22，x1=1+22，
∴P1(1+22，4)，P2(1−22，4)，
∴当a2﹣2a﹣3＝﹣4，
解得：x3＝1，
∴P3（1，﹣4）与点D重合，即没有左右平移，故舍去．
∴P1(1+22，4)，P2(1−22，4)．
27．【解答】解：（1）当点A、B、C在同一直线上（如图1），点B在点A和点C之间，要使得PA+PB+PC最小，点P的位置为点B．依据是三角形任意两边之和大于第三边．
故答案为：点B，①；
（2）①同意．
理由：由旋转变换的性质可知，BP＝BP′MPC＝P′C′，∠PBP′＝60°，
∴△PBP′是等边三角形，
∴PB＝PP′，∠BPP′＝∠BP′P＝60°，
∵PA+PB+PC＝PA+PP′+P′C′≥AC′，
∴点A、P、P′、C′在同一直线上，PA+PB+PC的值最小，
∴∠APB＝180°﹣∠BPP′＝120°，
∵∠BPC＝∠BP′C′＝180°﹣60°＝120°，
∴∠APC＝360°﹣∠APB﹣∠BPC＝120°，
∴∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°；
②如图5中，点P即为所求．
28．【解答】（1）证明：连接OC，AD，
∵点C是AD的中点，
∴OC⊥AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BE，
∴OC∥BE，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∴CE⊥BE，
∴∠CEB＝90°；
（2）解：①四边形OBDC为菱形，
理由：∵CD∥AB，OC∥BE，
∴四边形OBDC为平行四边形，
∵OB＝OC，
∴四边形OBDC为菱形；
②连接OD，AC，
∵四边形OBDC是菱形，
∴BD＝OB，∠OBC＝∠CBD，
∵OD＝OB，
∴OB＝OD＝BD，
∴△BOD都是等边三角形，
∴∠OBD＝∠DOC＝60°，
∴∠CBE=12∠OBD=30°，
∵BE＝3，
∴CE=3，
∴BC＝2CE＝23，
∴AC＝2，
∴AB＝4，
∵CD∥AB，
∴S△COD＝S△CDB，
∴S阴影＝S扇形COD=60×22⋅π360=23π．
故答案为：23π．
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0
5
10
15
20
行走的路程s/km
0
1
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甲
乙
丙
丁
平均数
12.5
12.5
m
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中位数
12.5
n
12.8
12.45
方差
p
0.024
0.034
0.056
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
T＝0时y的值
0
6
7
9
10
14
17
20
21
23
T＝2时y的值
0
20
25
28
m
33
35
37
38
39
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
B
C
B
C
C
C