贵州省黔西南州高一上学期期末学业质量监测数学试题（解析版）

这是一份贵州省黔西南州高一上学期期末学业质量监测数学试题（解析版），共6页。
（本试题共4页，共四大部分，满分150分，考试时间为120分钟）
考生注意：
1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数定义域和值域求得集合，然后利用集合的交集定义求得.
【详解】函数中，，∴，
因为函数，∴，
∴.
故选：D.
2. 已知命题，则p的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可得到答案.
【详解】根据特称命题的否定为全称命题，
则p的否定为.
故选：A.
3. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由不等式性质可得B；举出反例可得A、C、D.
【详解】对A：取，，，，此时，故A错误；
对B：由，则，又，故，故B正确；
对C：取，，，，此时，故C错误；
对D：取，，，，此时，故D错误；
故选：B.
4. 已知函数则（ ）
A. B. 4C. D. e
【答案】B
【解析】
【分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】因为
所以，所以.
故选：B
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两角和（差）的余弦公式得到方程组，求出、，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.
【详解】因为，，
所以，解得，
所以.
故选：A.
6. 已知函数，，零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据零点存在性定理即可判断，再直接求出即可比较大小.
【详解】因为在上均单调递增，
则在上单调递增，且，，
则，则，
又因为，则，，则，
则.
故选：C.
7. 已知函数，B，C是函数的图像与x轴相邻的两个交点，D是图像在B，C之间的最高点或最低点，若为正三角形，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由二倍角和辅助角公式化简解析式，由解析式求出与交点和最值点坐标，由为正三角形，建立等式，即可求得结果.
【详解】，
所以函数的最小正周期，
B，C是函数的图像与x轴相邻的两个交点，则，
D是图像在B，C之间的最高点或最低点，为正三角形，
则有最高点的纵坐标为，
∴.
故选：B.
8. 已知定义在上的函数满足：，且，则（ ）
A. 9B. 25C. 15D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】由函数性质通过赋值得到和，即可求解；
【详解】由可得：
，
，
，
，
，
累加可得：，
又，
得：，
相加可得：，
所以，
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. “函数为奇函数”是“”的充分不必要条件
B. 若函数为偶函数且函数的定义域为，则
C. 若，则
D. 若命题“”为真命题，则实数a的最大值为4
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据奇函数性质和充分条件和必要条件即可判断A；根据抽象函数奇偶性即可判断B；根据不等式性质结合作差法即可判断C；利用分离参数法和对勾函数性质即可判断D.
【详解】对A，举例奇函数，则无意义，则充分性不成立，故A错误；
对B，因为函数的定义域为，令，
则，则的定义域为，
又因为函数为偶函数，则，解得，故B正确；
对C，，
因为，则，则成立，故C正确；
对D，若命题“”，则，则，
因为，根据对勾函数性质知其在上单调递减，
则，则，则实数a的最大值为4，故D正确.
故选：BCD.
10. 已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A. 若的图象关于直线对称，则可以为
B. 若的图象关于点对称，则可以为4
C. 若在区间上恰有3个零点，则的取值范围是
D. 若在区间上单调递减，则的取值范围是
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A若图象关于直线对称，所以解出即可判断；对于B若的图象关于点对称，验证即可；对于C若在区间上恰有3个零点，则解出即可判断；对于D若在区间上单调递减，则 解出即可判断.
【详解】对于A：若图象关于直线对称，所以，当时，，故A正确；
对于B：若的图象关于点对称，则，当，故B错误；
对于C：若在区间上恰有3个零点，，则，故C正确；
对于D：若在区间上单调递减，，所以，故D错误.
故选：AC.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 当时，
C. 函数的图象关于点对称D. 当时，
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数解析式明确定义域，利用奇函数定义可得函数的奇偶性，结合对数函数与三角函数的性质以及复合函数的单调性，可得函数的单调性，结合选项，可得答案.
【详解】由，则定义域为，
由，则函数为偶函数，
当时，，
由在上单调递增，在上单调递减，则函数在上单调递增，
由，则，由，则，故A正确；
当时，易知，由函数在上单调递增，则，故B正确；
由函数为偶函数，则图象关于轴对称，故C错误；
当时，，由函数在上单调递增，
则，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知角的始边与x轴非负半轴重合，终边过点，则___________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用三角函数的定义和二倍角公式可求答案.
【详解】因为角的始边与x轴非负半轴重合，终边过点，即；
所以，所以，
故答案为：
13. 近年来，黔西南州基础教育质量大幅提升，2024年高考成绩再上新台阶，一方面，得益于各级政府及教育部门的殷切关怀与高度重视：另一方面，与莘莘学子的“聪慧值”密切相关．定义：“聪慧值”=“天赋值”ד年提升值”（“天赋值”具有先天性），树人中学高一（1）班学生小李和小王开学时的“天赋值”分别为150分和100分，“年提升值”相同，自开学那天起，小王努力学习，刻苦钻研，“年提升值”都在前一年的基础上进步，而小李疏于学习，“年提升值”都在前一年的基础上退步．问：大约经过______年，小王的“聪慧值”是小李的2倍．（精确到整数，参考数据：）
【答案】16
【解析】
【分析】先分别表示出两人的“聪慧值”，利用等量关系可求答案.
【详解】设两人的“年提升值”为，经过年小王的“聪慧值”是小李的2倍．
则经过年小王的“聪慧值”为，小李的“聪慧值”为，
由题意，即；
取对数可得，
，
所以大约经过16年小王的“聪慧值”是小李的2倍．
故答案为：16
14. 若函数满足：
①；
②，都有成立；
③在区间上的最大值小于2．
则的解析式可以为___________（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】分析各条件对应函数的性质，由函数性质写出函数解析式.
【详解】①，函数时奇函数；
②，都有成立，函数在区间上单调递增；
③在区间上的最大值小于2，设函数在区间上单调递增，则．
∴.
故答案为：（答案不唯一）.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 解下列关于x的不等式．
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由指数、对数函数的单调性得到，求解即可；
（2）因式分解，讨论两根大小即可求解；
【小问1详解】
等价于，
等价于，
等价于且，
由可得：，即，即，
由可得：，即，或，
所以，
所以的解集为：
【小问2详解】
，
等价于，
当时，即，不等式的解集为，
当时，即，不等式的解集为，
当时，即，不等式的解集为，
综上：时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为.
16. 已知定义在上的偶函数满足：当时，．
（1）求的解析式并用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递增；
（2）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1），证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）借助函数的奇偶性即可求解的解析式，根据定义即可证明单调性.
（2）根据偶函数的对称性，判断出在上单调递减，又，所以将转化为恒成立问题，平方后参变量分离求最值即可得解.
【小问1详解】
令，则，因当时，
所以，因为是定义在上的偶函数，
所以，
综上，；
证明：令，
因为，所以，即；
因为，所以，即；
所以
所以，即，
所以函数在区间上单调递增；
【小问2详解】
由（1）知，函数在区间上单调递增，为偶函数，
所以在区间上单调递减，
若恒成立，则，即恒成立，
等价于，因为，
所以，
所以.
17. 已知函数的最小值为，图象过点，且满足___________请从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个条件补充至横线处，并解决下列问题：
（1）求函数的对称轴、对称中心、单调递减区间；
（2）将的图象向右平移个单位长度，可得到的图象，求在区间上的值域及取得最值时x的值．
条件：①相邻两对称轴之间的距离为；②相邻两对称中心之间的距离为；③相邻两最低点之间的距离为．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）对称轴为，对称中心为，单调递减区间为
（2），时取得最小值，时取得最大值.
【解析】
【分析】（1）根据所选条件求出的值，再根据函数的最小值求出，结合函数过点求出，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）首先求出的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得.
【小问1详解】
若选①：相邻两对称轴之间的距离为，则，所以，又，解得；
若选②：相邻两对称中心之间的距离为，则，所以，又，解得；
若选③：相邻两最低点之间的距离为，则，又，解得；
又函数的最小值为，所以，解得，
所以，又函数图象过点，所以，
即，又，所以，
所以，
令，解得，所以对称轴为；
令，解得，所以对称中心为；
令，解得，
所以函数的单调递减区间为.
【小问2详解】
将的图象向右平移个单位长度，可得到，
当，则，
所以当，即时取得最小值，即；
当，即时取得最大值，即，
其中，
所以在上的值域为，时取得最小值，时取得最大值.
18. 对于函数，若存在，使得，则称为“不动点”函数，称为的一个不动点．
（1）若函数，试判断函数是否为“不动点”函数，并说明理由；
（2）若函数在区间上有且仅有两个不动点，求实数a的取值范围．
【答案】（1）是，理由见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据“不动点”函数的定义，转化为函数的零点问题，结合零点存在性定理可得答案；
（2）根据题意转化为两个函数公共点的个数问题，利用换元法结合二次函数知识可得答案.
【小问1详解】
函数是“不动点”函数，理由如下：
设，若是“不动点”函数，则存在零点，
易知为减函数，，
所以存在，使得，即是“不动点”函数.
【小问2详解】
由题意在区间上有两个解，
即有两解，在区间上直线与有两个公共点；
令，则，，
,
所以当时，函数在区间上有且仅有两个不动点，所以实数a的取值范围是.
19. 笛卡尔积是法国数学家笛卡尔命名的，允许将不同集合的元素组合成有序对，具有广泛的应用领域，包括数学、计算机科学、统计学和物理学．对于非空数集，定义，将称为“A与B的笛卡尔积”．
（1）若，求和；
（2）若是非空数集，证明：“”的充要条件是“”；
（3）若集合H是有限集，将集合H中的元素个数记为．若，，且满足，当取得最大值时，求的最小值．
【答案】（1）；.
（2）证明见解析 （3）2
【解析】
【分析】（1）由定义列举可得；
（2）分别证明充分性与必要性，借助互为子集证明集合相等.
（3）利用基本不等式求出最值何时取到，代入式子，消元再整体换元，再次使用基本不等式求函数最值.
【小问1详解】
由题意知，，
.
【小问2详解】
①证明“”是“”的充分条件.
证明：若，
任取，则对于任意，有，
因为，则，所以，
故；
任取，则对于任意，有，
因为，则，所以，
故；
综上可知，，得证.
②证明“”是“”的必要条件.
证明：若，设，
则，且，
，且，
故，得证；
综上所述：“”的充要条件是“”，得证.
【小问3详解】
由题意，，
则，且.
所以有，即，
则
当且仅当，即时等号成立，此时取得最大值.
当取得最大值时，有，则，
则，令，且，则，
则，
当且仅当，即，时，等号成立.
故当取得最大值时，的最小值为.
【点睛】关键点点睛：解决此题的关键有两点：一是理解定义，应用定义解决求解新的集合及探索集合间的关系；二是根据不同分式型结构选择求函数最值的方法，如第（3）问中，将“齐二次比”型函数，通过分式同除以运算转化为，以及利用整体换元，将转化为函数最值，进而利用基本不等式得解.