贵州省黔南州高一上学期期末质量监测数学试题（解析版）

这是一份贵州省黔南州高一上学期期末质量监测数学试题（解析版），共10页。试卷主要包含了 要得到的图象，只需将的图象， 设是定义在区间上的奇函数，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前将姓名、准考证号、座位号准确填写在答题卡指定的位置上.
3.选择题须使用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；非选择题在答题卡上对应位置用黑色墨水笔或黑色签字笔书写.在试卷、草稿纸上答题无效.
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据并集的定义，可得答案.
【详解】因为集合，，
所以.
故选：B.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】由命题的否定的定义直接求解即可.
【详解】由题意得原命题为，，
则该命题的否定是，，故D正确.
故选：D
3. 已知命题，，则p是q的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式，并根据真包含关系，得到答案.
详解】，，
因为是的真子集，所以p是q的充分不必要条件.
故选：B.
4. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数函数以及对数函数的单调性，得到，，，比较出大小.
【详解】因为，所以.
又因为，所以.
因为，所以，所以.
故选：A.
5. 要得到的图象，只需将的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的图象变换，可得答案.
【详解】因为，所以为了得到的图象，
只需将函数图象向左平移个单位长度.
故选：C.
6. 设是定义在区间上的奇函数，则（ ）
A. B. 38C. 26D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇函数定义域的夜店求出b，继而根据为奇函数求出a，即可求得答案.
【详解】根据奇函数的定义，设函数的定义域为D，则对，都有，
即定义域关于原点对称，所以，即，解得.
要使函数在上为奇函数，需满足，
即，，
则，即，
则
所以，
故选：C.
7. 已知函数，对任意，，，都有，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，得函数为增函数，由分段函数的单调性，得出关于a的不等式组，解出即可.
【详解】由题意，对任意，，，都有，
得在上单调递增，故，解得，
即a的取值范围是，
故选：C.
8. 已知函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，且当时，，则（ ）
A. 0B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】由函数的对称性可得其周期性，利用已知函数解析式，可得答案.
【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以.
因为函数的图象关于点对称，所以，
所以，即，
即，可得，
所以函数的周期为4，所以.
故选：A.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由基本不等式与重要不等式，结合反例以及“1”的妙用，可得答案.
【详解】对于A，因为，，所以，当且仅当时，等号成立，故A正确.
对于B，因为，所以，即，所以，故B正确.
对于C，当时，，故C错误.
对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确，
故选：ABD.
10. 下列函数中，是偶函数，且在区间上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】分别应用特殊值法或函数偶函数的定义及单调性定义判断各个选项即可.
【详解】对于A，f2=−lg2>f10=−lg10=−1，所以在区间上不是单调递增，A错误.
对于B，函数定义域为，因为，所以函数是偶函数.
设，则.
又，为增函数，所以，所以，
所以，所以函数在上单调递增，故B正确.
对于C，因为，所以函数不是偶函数，故C错误.
对于D，函数定义域为，
，所以函数是偶函数.
又时，，所以函数在上单调递增，故D正确，
故选：BD.
11. 函数（，）的部分图象如图所示，下列说法中，正确的是（ ）
A.
B. 函数在区间上单调递减
C. 函数的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是偶函数
D. 若方程在上有且只有8个根，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】分别将图象中的两点代入解析式，可得A的正误；利用整体思想，结合正弦函数的单调性，可得B的正误；利用函数的平移变换，结合余弦函数的奇偶性，可得C的正误；根据特殊三角函数值，列举出个零点，可得D的正误.
【详解】对于A，由，得，即.又因为，所以.
又因为函数的图象过点，则，即，
所以，即，，，所以，故A错误.
对于B，由A知，当时，.
由正弦函数单调性知在上单调递减，故B正确.
对于C，的图象向右平移个单位长度后，
得是偶函数，故C正确.
对于D，又，得，可得或.
8个根从小到大依次为，，，，，，，，
是第9个根，所以，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知角的终边过点，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由三角函数定义求出答案.
【详解】根据三角函数的定义，得.
故答案为：
13. 已知函数（且），则该函数的图象恒过定点__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数函数的特征得到，求出定点坐标.
【详解】因为（且）的图象恒过点，
令得，则，
则的图象恒过点.
故答案为：
14. 已知，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】整体法利用诱导公式求出，从而代入求值.
【详解】因为，所以，
又，
所以.
故答案为：
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. （1）化简：；
（2）计算：.
【答案】（1）；（2）6
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数的基本关系运算得到结果即可；
（2）利用指数幂和对数运算法则求解即可.
【详解】（1）原式
；
（2）原式
.
16. 已知幂函数的图象过点.
（1）求函数的解析式，并画出其图象；
（2）判断函数的单调性，并用定义法证明.
【答案】（1），图象见解析
（2）在上单调递减，证明见解析
【解析】
【分析】（1）设，代入，求出，得到解析式，并画出图象；
（2）定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论.
【小问1详解】
设（为常数），则，所以，
所以函数的解析式为，定义域为，其图象如图所示.
小问2详解】
函数在上单调递减.证明如下：
根据题意，得函数，定义域为.
，，且，
.
因为，所以，所以，
所以，即，
所以，即，
所以函数在区间上单调递减.
17. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）当时，求函数的最值.
【答案】（1）；
（2）；
（3）最大值为1，最小值为.
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简得，可求最小正周期；
（2）令，可求得单调递增区间；
（3）在（1）的基础上，得到，结合正弦函数性质求最值.
【小问1详解】
，
所以函数的最小正周期为.
【小问2详解】
令且，得，
所以函数的单调递增区间为.
【小问3详解】
由，得，
当，即时，取得最大值为1；
当，即时，取得最小值为.
18. 在辽阔的中华大地上，农村的医疗服务一直是国家关注的焦点.随着时代的进步和社会的发展，国家正致力于提高农村医疗服务水平，以保障广大农民的健康权益.某公司为了满足市场需求，进一步增加市场竞争力，计划自主研发新型基础型CT机.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为200台.每生产x台，需另投入成本万元，且.由市场调研知，该产品每台的售价为150万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
（1）写出年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：台）的函数解析式.（利润销售收入成本）
（2）当该产品的年产量为多少时，该公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
【答案】（1）
（2）150台，万元
【解析】
【分析】（1）根据投入成本及销售收入写出利润函数即可；
（2）分段分别利用二次函数配方法和基本不等式求最值，再比较大小得解即可
【小问1详解】
当时，；
当时，
，
则.
【小问2详解】
当时，，
当时，万元.
当时，
万元.
当且仅当，即时，上式等号成立.
又，则当该产品的年产量为150台时，
该公司所获年利润最大，最大年利润是万元.
19. 已知函数是偶函数，.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的零点；
（3）若函数有零点，求k的取值范围.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用偶函数定义求出值即得解析式.
（2）由（1）求出函数式，再解方程求出零点.
（3）求出并用表示出，再换元分离参数，利用单调性求出最小值得解.
【小问1详解】
函数的定义域为R，由为偶函数，得，
即，则，解得，
所以函数的解析式为.
【小问2详解】
函数，则，
由，得，而，解得，则，
所以有一个零点为.
【小问3详解】
由（1）知，则，
方程，化为，
令，当且仅当时取等号，即，
依题意，方程有实数根，即在时有解，
又函数在上单调递增，，则，
所以k的取值范围是.