贵州省黔西南州高二上学期期末学业质量监测数学试题（解析版）

这是一份贵州省黔西南州高二上学期期末学业质量监测数学试题（解析版），共5页。
（本试题共4页，共四大部分，满分150分，考试时间为120分钟）
考生注意：
1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 数列，，，，，…的一个通项公式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由前5项的共同属性写出一个通项公式.
【详解】数列前5项均为分数，其分子是从1开始的正奇数，分母比对应分子多2，
则第项的分子为，对应的分母为，
所以.
故选：B
2. 已知，，且，则x的值为（ ）
A. B. 5C. D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】利用空间向量垂直关系的坐标表示，列式计算得解.
【详解】由，，且，得，
所以.
故选：A
3. 圆：与圆：的位置关系为（ ）
A. 相离B. 相交C. 相切D. 不确定
【答案】B
【解析】
【分析】求出两圆的圆心坐标及半径，再求出圆心距即可判断.
【详解】圆：的圆心，半径，
圆：的圆心，半径，
则，
所以两圆相交.
故选：B
4. 已知椭圆：，下列与椭圆C焦点相同的双曲线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，求出椭圆的焦点坐标，再逐项判断得解.
【详解】椭圆：的焦点在轴上，其坐标为，
选项AC的双曲线焦点在轴上，AC不是；
对于B，焦点在轴上，半焦距，即该双曲线焦点与椭圆C焦点不同，B不是；
对于D，焦点在轴上，半焦距，其焦点与椭圆C焦点相同，D是.
故选：D
5. 已知抛物线与直线，点为抛物线上一动点，则当点到直线的距离最小时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设点，其中，利用点到直线的距离公式结合二次函数的基本性质可求出点到直线距离的最小值，求出对应的值，即可得出点的坐标.
【详解】不妨设点，其中，
则点到直线的距离为，
故当时，取最小值，此时点的坐标为.
故选：C.
6. 已知等差数列的前n项和为，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质列式计算即得.
【详解】在等差数列中，，解得，
由，得，则，
由，得.
故选：C
7. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（ ）
A. 的周长为6B. 面积的最大值为
C. 的取值范围为D. 的最小值为
【答案】D
【解析】
【分析】求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义逐项判断即可.
【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距，
对于A，的周长为，A正确；
对于B，点到直线距离的最大值为，则面积的最大值为，B正确；
对于C，，解得，C正确；
对于D，由，得，D错误.
故选：D
8. 定义为数列的“匀称值”．若数列的“匀称值”为1，设数列的前n项和为，且对任意恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用给定定义建立等式，再利用数列前n项和与第n项的关系求出，并利用裂项相消法求和求出，进而建立不等式求解.
【详解】依题意，，即，
当时，，两式相减得，即，
满足上式，，则
，于是，
由对任意恒成立，得，而，
整理得，因此，所以实数m的取值范围为.
故选：B
【点睛】关键点点睛：正确理解“匀称值”的意义，列出递推公式是求解问题的关键.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知数列为等比数列，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式即可判断AB；根据等比中项的应用即可判断CD.
【详解】设等比数列的公比为.
A：若，即，得，所以，故A正确；
B：若，即，得，所以，故B错误；
C：若，得，故C正确；
D：若，得，所以，故D错误.
故选：AC
10. 如图，在棱长为2的正方体中，E为上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 三棱锥的体积为定值
C. 当E为的中点时，平面
D. 当E为的中点时，与平面所成角的正弦值为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断AC；利用等体积法求出体积判断B；利用线面角的向量求法求解判断D.
【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
对于A，，，不垂直，A错误；
对于B，三棱锥的体积，B正确；
对于C，，，而，
即不垂直于，而平面，因此不垂直于平面，C错误；
对于D，，设平面的法向量，则，
取，得，与平面所成角的正弦值，D正确.
故选：BD
11. 在平面直角坐标系中，已知圆：，动圆M与圆F外切，且与直线相切．过F的直线与M的轨迹交于不同的两点A，B，则下列说法正确的是（ ）
A. M的轨迹方程为B. 若，则
C. 的最小值为18D. 与的夹角的余弦值最小为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定条件，求出轨迹方程判断A；设直线直线方程，与轨迹方程联立，利用韦达定理并结合抛物线定义、基本不等式及向量夹角运算判断BCD.
【详解】对于A，由动圆M与圆F外切，与直线相切，且圆在直线的右侧，
则点在直线右侧，设，得，
化简得，所以M的轨迹方程为，A错误；
，直线不垂直于轴，设方程为：，，
由消去得：，则，
对于B，由，得，解得，，
则，B正确；
对于C，，
，当且仅当时取等号，C正确；
对于D，，
，
当且仅当时取等号，因此，D错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：利用直译法求出动圆圆心的轨迹方程是求解的关键.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知直线l经过，两点，则直线l的倾斜角为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式求出斜率，进而求出倾斜角.
【详解】依题意，直线的斜率，
所以直线l的倾斜角为.
故答案为：
13. 已知数列满足，且，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】计算出、、的值，分析可知，对任意的，，结合数列的周期性可求得的值.
【详解】因为数列满足，且，则，
，，，
以此类推可知，对任意，，
因为，故.
故答案为：.
14. 已知双曲线：的左焦点为F，左、右顶点分别为，，过F的直线与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为M，直线，分别与y轴交于点P，Q，且（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为___________．
【答案】2
【解析】
【分析】由双曲线的对称性取一条渐近线，求出点坐标，由直线的方程求出点的纵坐标，结合已知即可求出离心率.
【详解】令双曲线的半焦距为c，则，
由对称性，不妨取双曲线的渐近线方程为，则直线方程为，
由得点，直线：，
令，得点的纵坐标，直线：，
令，得点的纵坐标，由，得，
则，解得，所以双曲线C的离心率.
故答案为：2
【点睛】关键点点睛：求出点的坐标是求解本题的关键.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列为等差数列，，，等比数列的公比为，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出公差得数列的通项；利用等比数列性质求出得数列的通项.
（2）由（1）的结论，利用分组求和法，结合公式法求得解.
【小问1详解】
在等差数列中，，，公差，
所以数列的通项公式为；
在等比数列中，，由，得，
解得，，而，因此，
所以数列的通项公式是.
【小问2详解】
由（1）知，
.
16. 已知四点，，，，现任取其中三点构成三角形，且此三角形的外接圆记为圆M．
（1）求出一个符合条件的圆M的方程，且点O在圆M上（求出一个即可，如果多求，按第一个给分）；
（2）根据（1）求出圆M，判断过第四个点且斜率为的直线l与圆M的位置关系．若直线l与圆M相交，求直线l被圆M所截得的弦长；若直线l与圆M相离，求圆M上的动点P到直线l距离的最小值．
【答案】（1）答案见解析；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）设出圆的标准方程，选择点；；，将三点坐标代入，利用待定系数法求出圆的方程.
（2）由（1）中圆的方程，求出直线的方程，利用点到直线距离公式计算判断直线现圆的位置关系，进而求出弦长或圆上的点到直线距离最小值.
【小问1详解】
设圆的方程为：，
选点，则，整理得，
解得，所以圆的方程为：，
而(8−3)2+(0+1)2=26>10，则点在圆外，即不共圆.
选点，则，整理得，
解得，所以圆方程为：.
选点，则，整理得，
解得，所以圆的方程为：.
【小问2详解】
若圆的方程为：，其圆心，半径，
而点，直线，即，
点到直线距离，所以直线与圆相离，
圆M上的动点P到直线l距离的最小值为.
若圆的方程为：，其圆心，半径，
而点，直线，即，
点到直线距离，所以直线与圆相交，
直线l被圆M所截得的弦长为.
若圆的方程为：，其圆心，半径，
而点，直线，即，
点到直线距离，所以直线与圆相交，
直线l被圆M所截得的弦长为.
17. 如图，在底面是菱形的四棱锥中，平面，且，，点在棱上，，为棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立如图空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，利用空间向量法证明即可.
（2）由（1），利用空间向量法求解面面角即可.
【小问1详解】
底面是菱形，且，则和都是等边三角形，
取的中点，连接，则，即.
由平面，平面，
得，，建立如图空间直角坐标系，
则，
得，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
所以，得，
故，又平面，
所以平面.
【小问2详解】
由（1）得，又是平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
所以，得，
又平面与平面所成角为锐角，
所以平面与平面所成角余弦值为.
18. 已知椭圆的两个焦点坐标分别为、，且椭圆经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知圆，过圆上任意一点作圆的切线，若与椭圆交于、两点，求的面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设椭圆的标准方程为，根据题意可得出关于、的值，解出这两个量的值，即可得出椭圆的标准方程；
（2）对切线的斜率是否存在进行分类讨论：①切线的斜率不存在，直接求出的面积；②切线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，由直线与圆相切得出，将直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式以及基本不等式可求出的最大值，再结合三角形的面积公式可求得结果.比较大小后可得出结论.
【小问1详解】
设椭圆的标准方程为，
由题意可得，解得，
因此，椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
当切线斜率不存在时，易知点的坐标为或，
若点的坐标为时，则直线的方程为，
联立可得，不妨取点、，
此时，；
当切线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，
易知圆的圆心为原点，半径为，
因为直线与圆相切，则，可得，
联立可得，
，
由韦达定理可得，，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
此时，，且，
因此，面积的最大值为.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
19. 若数列的首项，且满足，令．
（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；
（2）若，求的前n项和；
（3）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在互不相同的3项，，（m，k，，且）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析，；
（2）；
（3）不存在，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定的条件，结合等比数列定义推理得证，进而求出通项公式.
（2）由（1）的信息求出，再利用错位相减法，结合等比数列前n项和公式求解.
（3）根据给定条件，结合（1）的结论求出数列的通项，再利用等差中项以及等比中项的性质推理得证.
【小问1详解】
由，得，
而，则，又，
所以数列是等比数列，，.
【小问2详解】
由（1）知，，
，则，
两式相减得，
所以
【小问3详解】
依题意，，即，解得，
假设在数列中存在不相同的3项（其中成等差数列）成等比数列，则，
即，则，由成等差数列，得，
因此，整理得，则，与互不相等矛盾，
所以在数列中不存在三项（其中成等差数列）成等比数列
【点睛】方法点睛：错位相减求和适用于数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和的问题，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解．