贵州省铜仁市第二中学高二下学期第一次月考数学试卷（解析版）

这是一份贵州省铜仁市第二中学高二下学期第一次月考数学试卷（解析版），共6页。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，在试卷上作答，答案无效.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数的导数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数的运算法则即可得到答案.
【详解】．
故选：C.
2. 已知函数的图象在点处的切线方程为，则（ ）
A. 8B. 3C. 4D. -4
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意结合导数的几何意义分析求解即可.
【详解】因为切线方程为，
可知当时，，且切线斜率为3，
即，，所以.
故选：C.
3. 某书架的第一层放有7本不同的历史书，第二层放有6本不同的地理书.从这些书中任取1本历史书和1本地理书，不同的取法有（ ）
A. 13种B. 42种C. 种D. 种
【答案】B
【解析】
【分析】根据分步乘法计数原理求解即可．
【详解】7本不同的历史书任取1本历史书有7种取法；
6本不同的地理书任取1本地理书有6种取法，
从这些书中任取1本历史书和1本地理书，
根据分步乘法原理得到不同的取法有7×6=42种.
故选：B.
4. 的展开式中的系数为（ ）
A. 40B. 200C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二项式展开式的通项公式以及乘法的分配律来求得正确答案.
【详解】的展开式的通项公式为，
故的展开式中的系数为．
故选：D
5. 已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A. 在区间上单调递增B. 是的极大值点
C. 当时，D. 在区间上单调递减
【答案】C
【解析】
【分析】利用导函数的图象，判断导函数的符号，判断函数的极值以及函数的单调性，推出结果．
【详解】解：由导函数的图象可知：导函数在，导函数的符号为正，函数单调递增，A正确；
时，，函数单调递增，，，函数单调递减，
所以是的极大值点，B正确；
在区间上单调递减，D正确；
当时，函数单调递增，可能，所以C不正确；
故选：C．
6. 某学校为高三学生安排语文、数学、外语、物理四场讲座，其中数学不能安排在第一场和最后一场，则不同的安排方法有（ ）种
A. 12B. 18C. 20D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】运用分步乘法原理结合插空法可解.
【详解】先将语文、外语、物理全排，总共种方法，
再将数学课插到这三门课中间两个空里，有2种插法，故总共有种不同的安排方法.
故选：A.
7. 函数，若存在，使有解，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数，利用导数求最值，进而得的取值范围.
【详解】若存在，使得有解，即．
设，，则．
令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，所以．
故的取值范围为．
故选：A
8. 拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有，使得．已知函数，那么实数的最大值为（ ）
A. 1B. C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数判断单调性，求解出值
【详解】因为函数在上连续，且在上可导，则必有一，使得，
又函数，可得，
所以，此时，
又，所以，因为，且，所以，
不妨设，函数定义域为，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值，
则当时，λ取得最大值，最大值为．
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某高校无人机兴趣小组通过数学建模的方式测得了自主研发的无人机在关闭发动机的情况下自由垂直下降的距离（单位：m）与时间（单位：s）之间满足函数关系，则（ ）
A. 在这段时间内的平均速度为10m/s
B. 在这段时间内的平均速度为12 m/s
C. 在s时的瞬时速度为18 m/s
D. 在s时的瞬时速度为16 m/s
【答案】BC
【解析】
【分析】应用平均速度计算判断A，B，应用导函数计算瞬时速度判断C，D.
【详解】在这段时间内平均速度为m/s，故A错误，B正确；
因为，所以，即在s时瞬时速度为18m/s，故C正确，D错误.
故选:BC.
10. 已知的展开式共有7项，则（ ）
A. 二项式系数和为128
B. 展开式的所有项的系数和为1
C. 含项的系数与含项的系数和为
D. 所有项的系数绝对值之和为729
【答案】BCD
【解析】
【分析】由二项式定理的性质，求出展开式的通项公式赋值逐项判断即可.
【详解】因为的展开式共有7项，所以，
对于A选项，二项式系数和为，所以A错误；
对于B选项，令，可得的展开式中所有项的系数和为，所以B正确；
对于C选项，因为展开式的通项公式为，
令，得，其系数为，
又令，得，其系数为，
所以这两项的系数和为，所以C正确；
对于D选项，由C得的系数正负交错排列，
所以令，得，所以D正确
故选：BCD.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 若在上单调递减，则的最大值为1
B. 当时，
C. 当时，
D. 存在直线，使得与的图象有4个交点
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，求导确定单调性即可判断；对于BC，构造函数求导，确定单调性可判断；对于D，画出得图象，由图象可判断.
【详解】解：，由，解得，的最大值为，故A不正确；
当时，，即.
设，则，
在处取得最小值，故B正确；
当时，，即.
由B选项的过程知，在时，，
在上单调递减，，故C正确；
画出的图象如图，
可知存在直线，使得与的图象有4个交点，故D正确，
故选：BCD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若函数在上的最大值为4，则__________.
【答案】4
【解析】
【分析】先利用导函数求得在上单调递减，在上单调递增，可得，可求得.
【详解】由题，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
又.
因为，所以在上，，所以.
故答案为：.
13. 在如图所示的三棱锥中，现有红、黄、蓝、绿4种不同的颜色供选择，要求相邻两个顶点不能涂相同颜色，则不同的涂色方法共有______．
【答案】
【解析】
【分析】利用分步乘法计数原理即可得解.
【详解】依题意，先涂点，有种颜色可供选择；
再涂点，有种颜色可供选择；
接着涂点，有种颜色可供选择；
最后涂点，只有种颜色可供选择；
综上，利用分步乘法计数原理，不同的涂色方法共有.
故答案为：.
14. 已知，函数有两个极值点，给出下列四个结论：
①可能是负数；
②；
③为定值；
④若存在，使得，则.
其中所有正确结论的序号是___________．
【答案】②③④
【解析】
【分析】对于①，分是否大于0进行讨论；对于②，由韦达定理即可判断；对于③，结合②中结论直接验算；对于④，原命题等价于关于的不等式有解，进一步等价于关于的不等式有解，故只需求出不等式左边的最小值即可验算.
【详解】对于①，，因为函数有两个极值点，
所以有两个相异实根，这意味着，
否则时，，即单调递增，这与已知矛盾，
若，则当时，，当时，，当时，，
即在的条件下，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以有两个极值点，故①错误；
对于②，是方程的两根，从而，故②正确；
对于③，，故③正确；
对于④，若存在，使得，
即关于的不等式有解，
而没有最大值，
故原命题等价于关于的不等式有解，
令,
而函数的最小值为1，
所以当且仅当，即满足题意，
即若存在，使得，则，故④正确.
故答案为：②③④.
【点睛】关键点点睛：判断④关键是将原问题等价转换为关于的不等式有解，由此即可顺利得解.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，且.
（1）求的解析式；
（2）求曲线在处的切线方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求导数，根据可求，进而可得答案；
（2）先求导数得到切线斜率，再求出切点，利用点斜式可求切线方程.
【小问1详解】
因为，且，所以，解得，所以函数的解析式为.
【小问2详解】
由（1）可知，；
又，所以曲线在处的切线方程为，即.
16. 现在4本不同的书，按以下方式进行分配．
（1）分成两堆，每堆2本，则有多少种分法；
（2）分成两堆，一堆3本、一堆1本，则有多少种分法；
（3）分给甲、乙两人，每人2本，则有多少种分法；
【答案】（1）3 （2）4
（3）6
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合分组、分配的解法，由平均分组计算结合排列组合数的计算公式；
（2）根据题意，结合分组、分配的解法，由不平均分组计算结合组合数的计算公式；
（3）根据题意，结合分组、分配的解法，由平均分组分配计算结合组合数的计算公式.
【小问1详解】
先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆有2本书，第2堆有2本书，则有种情况，
由于这两堆书数量相同并无实际的顺序，因此需要除以来去序，
综上所述，不同分法的种数为．
【小问2详解】
先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆为3本书，第2堆为1本书，则有种情况，
由于这两堆书数量不同因此确实有顺序．综上所述，不同分法的种数为．
【小问3详解】
先将4本书平均分成有顺序的2堆，则有种情况，
再分给甲、乙两人，不同分法的种数为．
17. 已知函数，曲线在点处的切线与平行．
（1）求的值；
（2）求的单调区间和极值.
【答案】（1）2 （2）函数在上单调递减，在上单调递增，极小值为，无极大值
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义，可得，可求的值.
（2）先求导函数，由正负得出函数的单调性，进而可得函数的极值.
【小问1详解】
因为．
所以．
由题意．
【小问2详解】
因为．
所以．
由；由．
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以当时，函数取得极小值，且，无极大值．
18. 突破技术封锁、打破国外技术垄断，实现高水平科技自立自强，正是企业坚持独立自主的一种重要体现.我国某企业为突破技术难题，组织多个科研团队，加大对某项电子产品的研发投入.已知该项电子产品年产量不低于1万件且不高于8万件，根据以往数据显示，每年研发投入固定费用为万元，每生产万件增加投入万元，且生产的都能销售完，预计2024年销售收入（单位：万元）与销量（单位：万件）之间满足关系式.
（1）写出该企业2024年的利润（单位：万元）关于该产品的销量的函数解析式；
（2）该产品2024年的销量目标定为多少万件时，该企业能从中获利最大?最大利润为多少?
【答案】（1），
（2）2024年的销量目标定为3万件时，该企业能从中获利最大，最大利润为17万元
【解析】
【分析】（1）根据利润的含义即可由销售额减去投入求解，
（2）求导，由单调性即可求解最值.
【小问1详解】
由题意得，生产该产品的投入为万元，
所以，
其中.
【小问2详解】
，
令，得或3，
当时，，在单调递增；
当时，在单调递减，
当时，取得最大值.
该产品2024年的销量目标定为3万件时，该企业能从中获利最大，最大利润为17万元.
19. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的极值；
（3）若函数在区间上有零点，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）极小值为，无极大值
（3）
【解析】
【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；
（2）求导，再根据导数的符号，结合函数极值点的定义即可得出答案；
（3）求导，分和两种情况讨论，求出函数的单调区间，从而求得函数的最值，从而可得出答案.
【小问1详解】
当时，，，，
因为，所以曲线在处的切线方程为， 即.
【小问2详解】
，
当时，由得，，
随着的变化，、的变化情况如下表：
所以的极小值为，无极大值.
小问3详解】
，
当时，因为，所以，
在区间上单调递减，且，
因为在区间上有零点，
所以， 解得 ，所以；
当时，，
因为在区间上有零点，
由（1）可知，，
因为函数、在上是增函数，
所以函数在上是增函数，
又，所以，
综上所述，的取值范围是.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
单调递减
单调递增