高二(下)第一次月考数学试卷(文科)(解析版)

这是一份高二(下)第一次月考数学试卷(文科)(解析版)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高二（下）第一次月考数学试卷（文科）　
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．定义在R上的函数f（x）对任意两个不相等实数a，b，总有＞0成立，则必有（　　）
A．f（x）在R上是增函数 B．f（x）在R上是减函数
C．函数f（x）是先增加后减少 D．函数f（x）是先减少后增加
2．满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400 家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市（　　）
A．70家 B．50家 C．20家 D．10家
4．对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图，则估计此样本的众数、中位数分别为（　　）

A．2.25，2.5 B．2.25，2.02 C．2，2.5 D．2.5，2.25
5．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与直线y=﹣2的两个相邻公共点之间的距离等于π，则f（x）的单调递减区间是（　　）
A．[kπ+，kπ+]，k∈z B．[kπ﹣，kπ+]，k∈z
C．[2kπ+，2kπ+]，k∈z D．[2kπ﹣，2kπ+]，k∈z
6．、是两个非零向量，且||=||=|﹣|，则与+的夹角为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．设a，b∈R，a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．a2＞b2 B． C．a2＞ab D．2a＞2b
8．已知实数x，y满足，则z=4x+y的最大值为（　　）
A．10 B．8 C．2 D．0
9．已知命题p：∀x∈R，2x=5，则￢p为（　　）
A．∀x∉R，2x=5 B．∀x∈R，2x≠5
C．∃x0∈R，2=5 D．∃x0∈R，2≠5
10．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣3）2+y2=9相交于A．B两点，若|AB|=2，则该双曲线的离心率为（　　）
A．8 B． C．3 D．4
11．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，
f（x）=，
则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（　　）
A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1
12．已知定义在R上的函数f （x）的周期为4，且当x∈（﹣1，3]时，f （x）=，则函数g（x）=f（x）﹣1og6x的零点个数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7　
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2，则三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为　　　　　　．
14．已知f（x，y）=（x﹣y）2+（4++）2，则f（x，y）的最大值为　　　　　　．
15．已知向量，若⊥，则16x+4y的最小值为　　　　．
16．在锐角△ABC中，AC=4，BC=3，三角形的面积等于，则AB的长为　　　　　　．
　
三、解答题（题型注释）
17．已知实数a＞0，函数．
（1）当a=1时，求f（x）的最小值；
（2）当a=1时，判断f（x）的单调性，并说明理由；
（3）求实数a的范围，使得对于区间上的任意三个实数r、s、t，都存在以f（r）、f（s）、f（t）为边长的三角形．







18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，∠ABC=60°，PA⊥底面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点，点H在PD上，且EH⊥PD，PA=AB=2．
（1）求证：EH∥平面PBA；
（2）求三棱锥P﹣AFH的体积．



19．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（Ⅰ）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；
（Ⅱ）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1的概率．



20．甲、乙两人玩一种游戏；在装有质地、大小完全相同，编号分别为1，2，3，4，5，6六个球的口袋中，甲先模出一个球，记下编号，放回后乙再模一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
（1）求甲赢且编号和为8的事件发生的概率；
（2）这种游戏规则公平吗？试说明理由．




21．已知如图为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象．
（1）求f（x）的解析式及其单调递增区间；
（2）求函数g（x）=的值域．















22．已知向量=（1，2），=（﹣3，4）．
（Ⅰ）求+与﹣的夹角；
（Ⅱ）若⊥（+λ），求实数λ的值．
　
高二（下）第一次月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析　
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．定义在R上的函数f（x）对任意两个不相等实数a，b，总有＞0成立，则必有（　　）
A．f（x）在R上是增函数 B．f（x）在R上是减函数
C．函数f（x）是先增加后减少 D．函数f（x）是先减少后增加
【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）对任意两个不相等实数a，b，总有＞0成立，
即对任意两个不相等实数a，b，
若a＜b，总有f（a）＜f（b）成立，
f（x）在R上是增函数．
故选A．　
2．满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：满足条件M∪﹛1﹜=﹛1，2，3﹜的集合M，M必须包含元素2，3，
所以不同的M集合，其中的区别就是否包含元素1．
那么M可能的集合有{2，3}和{1，2，3}，
故选：B．　
3．某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400 家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市（　　）
A．70家 B．50家 C．20家 D．10家
【解答】解：∵大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400 家，
∴按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市为=20，
故选：C．　
4．对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图，则估计此样本的众数、中位数分别为（　　）

A．2.25，2.5 B．2.25，2.02 C．2，2.5 D．2.5，2.25
【解答】解：由频率分布直方图可知，数据在[2，2.5]之间的面积最大，此时众数集中在[2，2.5]内，用区间.2的中点值来表示，∴众数为2.25．
第一组的频率为0.08×0.5=0.05，对应的频数为0.05×100=5，
第二组的频率为0.16×0.5=0.08，对应的频数为0.08×100=8，
第三组的频率为0.30×0.5=0.15，对应的频数为0.15×100=15，
第四组的频率为0.44×0.5=0.22，对应的频数为0.22×100=22，
第五组的频率为0.50×0.5=0.25，对应的频数为0.25×100=25，
前四组的频数之和为5+8+15+22=50，
∴中位数为第4组的最后一个数据以及第5组的第一个数据，则对应的中位数在5组内且比2大一点，
故2.02比较适合，
故选：B．　
5．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与直线y=﹣2的两个相邻公共点之间的距离等于π，则f（x）的单调递减区间是（　　）
A．[kπ+，kπ+]，k∈z B．[kπ﹣，kπ+]，k∈z
C．[2kπ+，2kπ+]，k∈z D．[2kπ﹣，2kπ+]，k∈z
【解答】解：f（x）=2（sinωx+cosωx）=2sin（ωx+），
依题意知函数的周期为T==π，
∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+），
由2kπ+≤2x+≤2kπ+，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
∴f（x）的单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z），
故选A．　
6．、是两个非零向量，且||=||=|﹣|，则与+的夹角为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【解答】解：如图所示：设=， =，则=﹣，
以OA OB为邻边，作平行四边形OACB，则=+，∠AOC为与+的夹角．
由||=||=|﹣|，可得△OAB 为等边三角形，故平行四边形OACB为菱形，
∴∠AOC=30°，
故选：A．

　
7．设a，b∈R，a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．a2＞b2 B． C．a2＞ab D．2a＞2b
【解答】解：考察指数函数y=2x在R上单调递增，∵a＞b，∴2a＞2b．
故选：D．　
8．已知实数x，y满足，则z=4x+y的最大值为（　　）
A．10 B．8 C．2 D．0
【解答】解：已知实数x、y满足，
在坐标系中画出可行域，如图中阴影三角形，
三个顶点分别是A（0，0），B（0，2），C（2，0），
由图可知，当x=2，y=0时，
4x+y的最大值是8．
故选：B．
　
9．已知命题p：∀x∈R，2x=5，则￢p为（　　）
A．∀x∉R，2x=5 B．∀x∈R，2x≠5
C．∃x0∈R，2=5 D．∃x0∈R，2≠5
【解答】解：∵命题是全称命题，
∴根据全称命题的否定是特称命题得：￢p为∃x0∈R，2≠5，
故选：D．
　
10．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣3）2+y2=9相交于A．B两点，若|AB|=2，则该双曲线的离心率为（　　）
A．8 B． C．3 D．4
【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线：bx﹣ay=0，圆（x﹣3）2+y2=9相交于A、B两点，圆的圆心（3，0），半径为3，圆心到直线的距离为：2=2，
可得： =2．解得b=2a．
∴c=3a．
∴双曲线的离心率为3．
故选：C．
　
11．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，
f（x）=，
则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（　　）
A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1
【解答】解：∵当x≥0时，
f（x）=；
即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（﹣1，0]；
x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；
x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；
画出x≥0时f（x）的图象，
再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；

则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a=0共有五个实根，
最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，
∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），
∴f（﹣x）=（﹣x+1），
又f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log2（1﹣x），
∴中间的一个根满足log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a，
解得x=1﹣2a，
∴所有根的和为1﹣2a．
故选：A．　
12．已知定义在R上的函数f （x）的周期为4，且当x∈（﹣1，3]时，f （x）=，则函数g（x）=f（x）﹣1og6x的零点个数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：根据周期性画出函数y=f（x）的图象，y=log6x的图象
当x=6时log66=1，
∴当x＞6时y=log5x此时与函数y=f（x）无交点，
结合图象可知有5个交点，
则函数g（x）=f（x）﹣log6x的零点个数为5，
故选B．
　
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2，则三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为　3π　．
【解答】解：根据题意几何体为正三棱锥，如图，设棱长为a，
PD=a，OD=a，OP==a．
则OD+PD=a+a=a=2⇒a=3，
V棱锥=×a2×a=9，
设内切球的球心为O'，半径为r，
连接三棱锥的四个顶点得到四个小三棱锥的体积相等，
即为4××a2r=×18r=6r．
由等积法，可得，9=6r，
解得，r=．
则内切球的表面积为S=4πr2=3π．
故答案为：3π．

14．已知f（x，y）=（x﹣y）2+（4++）2，则f（x，y）的最大值为　　．
【解答】解：f（x，y）=（x﹣y）2+（4++）2，
表示两点A（x，4+）和B（y，﹣）的距离的平方．
由A在上半圆x2+（y﹣4）2=1运动，B在下半椭圆+n2=1上运动，
由对称性可得只要求得圆心C（0，4）到椭圆上的点的距离最大值．
设半椭圆上P（m，n）（﹣1≤n≤0），
即有|CP|==
=，当n=﹣时，|CP|取得最大值3，
则有f（x，y）的最大值为（3+1）2=28+6．
故答案为：．　
15．已知向量，若⊥，则16x+4y的最小值为　8　．
【解答】解：∵
∴4（x﹣1）+2y=0即4x+2y=4
∵=
当且仅当24x=22y即4x=2y=2取等号
故答案为8
　
16．在锐角△ABC中，AC=4，BC=3，三角形的面积等于，则AB的长为　　．
【解答】解：∵在锐角△ABC中，AC=b=4，BC=a=3，三角形的面积等于3，
∴absinC=3，即sinC=，
∵C为锐角，∴cosC==，
由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=16+9﹣12=13，
解得：AB=c=．
故答案为：　
三、解答题（题型注释）
17．已知实数a＞0，函数．
（1）当a=1时，求f（x）的最小值；
（2）当a=1时，判断f（x）的单调性，并说明理由；
（3）求实数a的范围，使得对于区间上的任意三个实数r、s、t，都存在以f（r）、f（s）、f（t）为边长的三角形．
【解答】解：由题意，f（x）的定义域为（﹣1，1），且f（x）为偶函数．
（1）a=1时，…
∴x=0时，最小值为2．…
（2）a=1时，
∴x∈[0，1）时，f（x）递增；x∈（﹣1，0]时，f（x）递减； …
由于f（x）为偶函数，
∴只对x∈[0，1）时，说明f（x）递增．
设0≤x1＜x2＜1，
∴，得
∴x∈[0，1）时，f（x）递增； …
（3）设，则
∵，
∴，∴
从而原问题等价于求实数a的范围，使得在区间上，恒有2ymin＞ymax．…
①当时，在上单调递增，∴，由2ymin＞ymax得，
从而； …
②当时，在上单调递减，在上单调递增，∴，
由2ymin＞ymax得，从而；…
③当时，在上单调递减，在上单调递增，
∴ymin=2，ymax=a+1，
由2ymin＞ymax得，从而； …
④当a≥1时，在上单调递减，∴，
由2ymin＞ymax得，从而；…
综上，．…　
18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，∠ABC=60°，PA⊥底面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点，点H在PD上，且EH⊥PD，PA=AB=2．
（1）求证：EH∥平面PBA；
（2）求三棱锥P﹣AFH的体积．

【解答】（1）证明：∵平面ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∵PA=AB，
∴PA=AD，
∵AB=BC，∠B=60°，BE=EC，
∴∠BAE=30°，
∴∠EAD=90°，
∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴PA⊥AE，即∠PAE=90°，
∴△PAE≌△DAE，
∴PE=PD，
∵EH⊥PD，
∴H为PD的中点，
∵FH∥CD∥AB，
∴FH∥平面PAB，
∵E，F分别为BC，PC的中点
∴EF∥AB，
∵AB⊂平面PAB，
∴EF∥平面PAB，
∵EF∩FH=H，EF⊂平面EFH，FH⊂平面EFH，
∴平面EFH∥平面PAB，
∵EH⊂平面EFH，
∴EH∥平面PAB．
（2）∵F，H为中点，
∴VP﹣AFH=VP﹣ACD=•••2•2•sin60°•2=　
19．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（Ⅰ）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；
（Ⅱ）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1的概率．

【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，成绩在[14，16）内的
人数为50×0.16+50×0.38=27（人）
∴该班成绩良好的人数
为27人．

（Ⅱ）由频率分布直方图知，成绩在[13，14）的人数为50×0.06=3人，
设为x，y，z
成绩在[17，18）的人数为50×0.08=4人，设为A，B，C，D
若m，n∈[13，14）时，有xy，zx，zy，3种情况；
若m，n∈[17，18）时，有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种情况；
若m，n分别在[13，14）和[17，18）内时，

A
B
C
D
x
xA
xB
xC
xD
y
yA
yB
yC
yD
z
zA
zB
zC
zD
共12种情况．
∴基本事件总数为21种，事件“|m﹣n|＞1”所包含的基本事件个数有12种．
∴P（|m﹣n|＞1）=　
20．甲、乙两人玩一种游戏；在装有质地、大小完全相同，编号分别为1，2，3，4，5，6六个球的口袋中，甲先模出一个球，记下编号，放回后乙再模一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
（1）求甲赢且编号和为8的事件发生的概率；
（2）这种游戏规则公平吗？试说明理由．
【解答】解：（1）由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的甲、乙两人取出的数字共有6×6=36（个）等可能的结果，
设“两个编号和为8”为事件A，
则事件A包含的基本事件为（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）共5个，
根据古典概型概率公式得到
（2）这种游戏规则是公平的．
设甲胜为事件B，乙胜为事件C，
则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有18个：（1，1），（1，3），
（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），
（4，2），（4，4），（4，6），（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），
（6，4），（6，6）
∴甲胜的概率，
乙胜的概率=P（B）
∴这种游戏规则是公平的．　
21．已知如图为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象．
（1）求f（x）的解析式及其单调递增区间；
（2）求函数g（x）=的值域．

【解答】解：（1）∵函数图象过点（0，1），
∴2sinφ=1，即sinφ=，
又∵0＜φ＜，∴φ=
又ω+φ=，∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+），
由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；
（2）由（1）知g（x）===，
令y=，
可得sin（2x+）+1=ycos（2x+）+y，
∴得sin（2x+）﹣ycos（2x+）=sin（2x++φ）=y﹣1，
∴sin（2x++φ）=，∴||≤1，
解得y≥0，即函数的值域为[0，+∞）　
22．已知向量=（1，2），=（﹣3，4）．
（Ⅰ）求+与﹣的夹角；
（Ⅱ）若⊥（+λ），求实数λ的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵向量=（1，2），=（﹣3，4），
∴+=（﹣2，6），﹣=（4，﹣2），
∴=﹣8﹣12=﹣20，
∴===﹣，
∴+与﹣的夹角为．
（Ⅱ）∵⊥（+λ），∴=0，
∴（1，2）•（1﹣3λ，2+4λ）=0，
化为1﹣3λ+4+8λ=0，解得λ=﹣1．