河南信阳高级中学新校（贤岭校区）2025-2026学年高二下学期3月测试（二） 数学试题

这是一份河南信阳高级中学新校（贤岭校区）2025-2026学年高二下学期3月测试（二） 数学试题，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量 a=1,2,−3,b=2,x,2 ，且 a⊥b ，则实数 x 的值是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 已知直线 l:3x−4y+5=0 ，圆 C:x+22+y−12+m−5=0 ，则 “ 0c B. b>c>a C. a>b>c D. a>c>b
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项 中, 有多个选项是符合题目要求的, 全部选对的得 6 分, 部分选的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 记 Sn 为数列 an 的前 n 项和,若 Sn=n2−4n ,则下列说法正确的是 ( )
A. an 为等差数列 B. an 为单调递增数列
C. a1+a2+a3+a4+a5+a6=12 D. Snan 的最小值为 -3
10. 已知两曲线 y=lnx 与 y=mx2+12m>0 存在两条公切线,则实数 m 的取值可能是( )
A. 12e2 B. 1e2 C. 1e D. 1
11. 如图, 阴影部分是由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线所围成的封闭图形, 因其形似四叶草,故其阴影边界曲线 E 称为四叶草曲线,记抛物线在每个象限内的交点分别为 A,B,C,D . 已知这四条抛物线的焦点共圆,若开口向右的抛物线方程为 y2=4x ,过点 F1,0 作直线 l 与曲线 E 在第一、四象限内共相交于四个点,分别记最下方和最上方的交点为 P,Q ,且 QF=3FP ,则( )

A. 开口向下的抛物线的焦点坐标为 0,−12
B. 曲线 E 上两点间距离的最大值为 82
C. 点 3,3 不在曲线 E 的内部
D. 直线 l 的斜率为 3
三、填空题:本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知直线 l1:x−my−1=0 与 l2:mx−4y+2=0 平行,则 m= _____.
13. 已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F ，点 P,Q,R 为 C 上可相互重合的点，且 PF+2QF+2RF=0 ，则 PF 的取值范围是_____， PF+3QF 的最小值是_____.
14. 已知等差数列 an 首项为 2,公差为 2,前 n 项和为 Sn ,数列 bn 前 n 项和为 Tn ,且满足 bn=5Sn+lnnn+1 . 若对于任意 n∈N∗ ， Tn≤m 成立，则 m 的最小值为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演 算步骤.
15. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn=12n2+12n .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若 bn=an2n ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn .
16. 已知函数 fx=x+lnx−ax .
(1)当 a=1 时，求曲线 y=fx 在 1,f1 处的切线方程；
(2)若4是 fx 的极小值点，证明此时 fx 的极大值小于零；
(3)若 fx 在定义域内单调递增，求实数 a 的取值范围.
17. 如图 1,在边长为 2 的正方形 ABCD 中, E、F 分别为线段 BC、AD 的中点,现将四边形 CDFE 折起至 MNFE ,得到三棱柱 AFN−BEM ,如图 2 所示,记二面角 M−EF−A 的平面角为 θ .

图1

图2
(1)若 θ=π2 时,求三棱柱 AFN−BEM 的体积;
(2)若 P 为线段 EF 上一点，满足 AP⊥BP ，求直线 AP 与平面 NBE 所成角的正弦值的取值范围.
18. 已知圆 A:x+12+y2=14 ,圆 B:x−12+y2=494 . 动圆 P 与圆 A 外切,且与圆 B 内切, 记点 P 的轨迹为 C .
(1)求 C 的方程；
(2)过点 Q−4,0 且斜率不为 0 的直线 l 与 C 相交于点 E ， F ( E 在 F 的左侧).
①设直线 AE ， AF 的斜率分别为 k1 ， k2 ，求证: k1k2 为定值；
②设直线 AF ， BE 相交于点 M ，点 I 为 △AMB 的内心，记 △IAB ， △IMA ， △IMB 的面积分别为 S1,S2,S3 ,证明: S3−S2S1 为定值.
19. 已知函数 fx=2x−sinx+ex .
(1)若 x∈0,+∞ ,证明: fxx+12>2 .
(2)已知函数 gx=fx−alnx+sinx ,存在不同的正数 x1,x2 ,使得 gx1=gx2 .
① 求 a 的取值范围；
②证明: x1x20 ,解得 m0 在点 x2,mx22+12 处的切线方程为 y=2mx2x−mx22+12 , 由题意可得 1x1=2mx2,lnx1−1=−mx22+12 ,即 14m=32x12−x12lnx1 ,
设 gx=32x2−x2lnx ,则 g′x=2x1−lnx ,
令 g′x=0 得 x=e . 当 0e 时, g′x0 有两个交点,因此 00 得 m=13 ，斜率 k=1m=3 ，选项 D 正确.
12. 2
将两直线方程转化成斜截式,根据条件得 1m=m4−1m≠12 ,即可求解.
由 mx−4y+2=0 ,得到 y=m4x+12 ,易知直线 l2 的斜率存在,且斜率为 m4 ,
因为 l1//l2 ,则 l1 的斜率存在,即 m≠0 ,由 x−my−1=0 ,得到 y=1mx−1m
则直线 l1 的斜率为 1m ,由 l1//l2 ,得 1m=m4−1m≠12 ,解得 m=2 ,
故答案为:2.
13.
[1,5] 132
利用焦半径公式表示 PF ,进而利用抛物线上点的范围求解第一空,利用焦半径公式结合基本不等式求解第二空即可.
第一空,如图,设 Px1,y1,Qx2,y2,Rx3,y3,F1,0 ,

故 PF=1−x1,−y1,QF=1−x2,−y2,RF=1−x3,−y3 ,
而 PF+2QF+2RF=0 ,故 2−2x3+2−2x2+1−x1,−2y3−2y2−y1=0,0 ,
可得 2x3+2x2+x1=5,2y3+2y2+y1=0 ,即有 2y3+2y2+y1=02y3​2+2y2​2+y1​2=20 ,
由 0≤y3+y22≤2y32+y22 ,所以 0≤−y122≤20−y12 ,
所以 0≤y12≤16 ,所以 PF=x1+1=y124+1∈1,5 .
第二空, QF=x2+1 ,故 PF+3QF=x1+1+3x2+1=y12+3y224+4 ,
而 2y2+y1=−2y3 ,故 122y2+y12+2y2​2+y12=20 ,即 2y2y1+4y22+32y12=20 ,
又 2y2y1≤12y12+2y22 ,
故 20=2y2y1+4y2​2+32y12≤2y22+12y12+4y22+32y12=2y12+3y22 ,
即 y12+3y22≥10,PF+3QF≥104+4=132 ,故得 PF+3QF 的最小值为 132 .
故答案为: 1,5;132 .
14. 4−ln5##−ln5+4
先根据等差数列的通项公式和前 n 项和公式求出 bn ,利用裂项相消法求出 Tn ,再利用导数求 Tn 的最大值即可.
因为数列 an 是首项为 2,公差为 2 的等差数列,
所以 an=2+n−1×2=2n,Sn=2+2n×n2=n2+n ,
所以 bn=5n2+n+lnnn+1=51n−1n+1+lnn−lnn+1 ,
所以
Tn=b1+b2+…+bn=51−12+ln1−ln2+512−13+ln2−ln3+…+51n−1n+1+lnn−lnn+1 =51−12+12−13+…+1n−1n+1+ln1−ln2+ln2−ln3+…+lnn−lnn+1 =5nn+1−lnn+1 ,
对于任意 n∈N∗ ， Tn≤m 成立，只需 Tnmax≤m 即可，
令 fx=5xx+1−lnx+1,x≥1 ,则 f′x=5x+12−1x+1=4−xx+12 ,
所以当 1≤x0,fx 单调递增,当 x>4 时, f′x0 时， g′x 在 0,+∞ 上单调递增，
因为 g′a=1+ea>0 ,取 t=min1,ae+3 ,
则 t≤1,t≤ae+3 ,所以 et≤e,−at≤−e−3 ,
所以 g′t=2+et−at≤−10 ,即 a 的取值范围为 0,+∞ ;
② 由 gx1=gx2 ,得 2x1+ex1−alnx1=2x2+ex2−alnx2 ,
即 2x1−x2+alnx2−lnx1=ex2−ex1 .
令 φx=ex−xx>0 ,则 φ′x=ex−1>0 ,
所以 φx 在 0,+∞ 上单调递增.
不妨设 x2>x1>0 ,则 ex2−x2>ex1−x1 ,即 ex2−ex1>x2−x1 ,
所以 2x1−x2+alnx2−lnx1>x2−x1 ,即 x2−x1lnx2−lnx1