河南省信阳市信阳高级中学（北湖校区）2024_2025学年高二下学期3月测试（一） 数学试题（含解析）

这是一份河南省信阳市信阳高级中学（北湖校区）2024_2025学年高二下学期3月测试（一） 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．设a为实数，已知直线：，：，若，则（ ）
A．6B．C．6或D．或3
2．已知点是正四面体底面内一点，满足，其中，当最小时，的值为（ ）
A．B．C．2D．1
3．已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
4．已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．如果圆与圆关于直线l对称，则直线l的方程为（ ）
A．B．
C．或D．
6．已知函数为连续可导函数，的图象如图所示，以下命题正确的是（ ）
A．是函数的最小值
B．是函数的极小值
C．在区间上单调递增
D．在处的切线的斜率大于0
7．提供四种不同颜色的颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有（ ）
A．288种B．296种C．362种D．384种
8．已知双曲线的左焦点为，离心率为e，直线分别与C的左､右两支交于点M，N.若的面积为，，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．6D．7
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，准线为直线，直线与交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A．点到直线的距离是4
B．若的方程是，则的面积为3
C．若的中点到直线的距离为3，则
D．若点在直线上，则
10．设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．是等差数列
B．当或时，取得最大值
C．数列的前项和是
D．，，成等差数列，公差为
11．如图，在直三棱柱中，点，，分别是棱，，的中点，直线平面，直线与平面所成角为45°，若，且则下列说法正确的是（ ）
A．
B．点到平面的距离为
C．五面体的体积为
D．三棱柱的外接球的表面积为
三、填空题（本大题共3小题）
12．在二项式的展开式中，第四项的系数是 ．
13．大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为 ．
14．设函数，若在上满足的正整数至多有两个，则实数的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在数列中，
(1)证明：数列是等比数列．
(2)求数列的前n项和．
16．如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是直角梯形，，，，.
(1)证明：平面平面.
(2)线段上是否存在点E，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
17．某家庭进行摸球得压岁钱游戏．规则如下：袋中有大小相同的3个红球，2个蓝球，每次从袋中摸出2个球，若摸到0个红球就没有压岁钱；若摸到1个红球就得压岁钱100元；若摸到2个红球就得压岁钱200元．
(1)求摸球一次，摸到红球个数的分布列；
(2)求摸球一次，得到的压岁钱的均值．
18．已知椭圆的左右焦点分别为，，且椭圆C上的点M满足，．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点是椭圆的上顶点，点在椭圆C上，若直线，的斜率分别为，满足，求面积的最大值．
19．已知四数．
(1)求在处的切线方程；
(2)证明：函数只有一个零点；
(3)当时，函数恒成立，求a的取值范围．
参考答案
1．【答案】A
【详解】因，则.
则或.当，：，：，满足；
当，：，：，两直线重合，不合题意.
则.
故选：A
2．【答案】C
【详解】当最小时，此时平面，故为等边三角形的中心，
记的中点为，则，
故
，
故，因此，
故选：C

3．【答案】B
【分析】由二项分布的概念，根据二项式系数的对称性即可求解.
【详解】由题得，
由题知在中，最大值只有，
即在中，最大值只有，由二项式系数的对称性可知.
故选.
4．【答案】A
【详解】如图所示，直线的斜率，直线的斜率．
由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率，
因此直线的倾斜角的取值范围是．
故选：A.
5．【答案】D
【详解】圆圆心为，圆可化为，所以圆心为，
由题意可得直线l的方程为以两圆圆心、为端点的线段的中垂线方程，
设，
由两直线垂直斜率关系可得直线l的为1，
又两圆中点坐标为，所以直线l的方程为，即.
故选：D.
6．【答案】D
【分析】根据图象得到的单调性，并结合极值的定义和导数的几何意义求出答案.
【详解】C选项，由图象可看出当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，C错误；
A选项，是函数的极小值，但无法确定是不是最小值，A错误；
B选项，是函数的极大值，B错误；
D选项，由于，故在处的切线的斜率大于0，D正确.
故选：D
7．【答案】D
【详解】首先三个区域有种涂法，
当2号区域和6号区域同色时，有种涂法；
当2号区域与4号区域同色时，有种涂法；
当2号区域与4号区域，6号区域均不同色时，有种涂法，
综上，共有384种涂法.
故选：D.
8．【答案】D
【详解】连接，有对称性可知：四边形为平行四边形，故，，，
由面积公式得：，解得：，
由双曲线定义可知：，
在三角形中，由余弦定理得：
，
解得：，
所以，解得：，
故，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：D
9．【答案】BD
【详解】对于选项A，由题意可知抛物线的焦点为，准线的方程为，所以点到直线的距离是2，故A错误；
对于选项B，由得，解得或，
所以6，又与轴的交点为，所以，所以的面积为，故B正确；
对于选项C，因为的中点到直线的距离为3，所以，即，所以，故C错误；
对于选项D，设：，，，
由得，，，，
因为，所以，故D正确.
故选：BD.
10．【答案】ABC
【详解】由，，
可得是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
所以，
对于函数，开口向下，其对称轴为，
所以对于，当或时，取得最大值，B正确；
则
，
又，符合上式，
所以，
所以是以为首项，为公差的等差数列，A正确；
所以，，成等差数列，
又，，
所以，
所以，，成等差数列，且公差为，D错；
又当时，，
所以数列的前项和是
，
又，，
所以数列的前项和为，C正确.
故选：ABC
11．【答案】ACD
【详解】由题意，
在直三棱柱中，面，面，
面，面，
直线与平面所成角为45°，
∴，，，，
在中，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，，，
建立空间直角坐标系如下图所示，设直三棱柱高为，
，
，
∴
在面中，设其一个法向量为，
，即，解得：，
当时，，
∴，解得：，
故A正确；
B项，连接，，，
由几何知识得，，，
，，
在中，，
由勾股定理得，，
在中，同理可得，，
在中，过点作于点，
则是的中点，也是矩形对角线交点，连接，
在中，，
由勾股定理得，，
设点到平面的距离为，
点到平面的距离为，
∴，
，
，
，
∵，
解得：，
故B错误；
C项，五面体的体积为：，
故C正确；
D项，由几何知识得，，，
∴四边形为正方形，设正方形中心，
是的中点，也是矩形对角线的交点，
所以是的中点，
是的中点，所以，
因为平面，所以平面
所以点在过正方形中心，平面的垂线上，
∴点到正方形的四个顶点距离都相等，有，
在矩形中，由几何知识得，点到矩形的四个顶点距离都相等，有，
所以点为球心，点到各顶点的距离都等于球的半径，
即，
∴三棱柱的外接球的半径为，
∴三棱柱的外接球的表面积为：，
故D正确；
故选：ACD.
12．【答案】160
【详解】展开式的通项为，
令得展开式中的第四项的系数为
故答案为:．
13．【答案】
【详解】依题意，小明与另外3名大学生分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学的分配方法是1个学校2人，另外2个学校各1人，共有（种）分配方法，
若小明恰好分配到甲村小学，有（种）分配方法，
根据古典概型的概率计算公式得所求的概率为．
故答案为：
14．【答案】
【详解】由在上满足的正整数至多有两个，
即在上满足的正整数至多有两个，
设，，
则，
设，，
则，，
设，，
则恒成立，
则在上单调递增，
即，即，
所以在上单调递增，
又，
所以当时，，即，单调递减；
当时，，即，单调递增；
所以当时，取最小值，
又在上满足的正整数至多有两个，
则，
即，
故答案为：.
15．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）由得，，
所以数列为首项为1，公比为3的等比数列.
（2）由（1）得，则，
.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)存在，或
【详解】（1）证明：取棱的中点O，连接，
设，则，，
因为是等边三角形，且O是的中点，所以.
因为，所以，所以，则.
因为平面，平面，且，
所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）取棱CD的中点F，连接OF，则两两垂直，
以O为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，，，则，，
设，则，
又，所以.
设平面的法向量为，
则令，得.
设直线与平面所成的角为，
则，
解得或，
故当或时，直线与平面所成角的正弦值为.
17．【答案】(1)
(2)120元
【分析】（1）求出的所有可能取值及对应的概率，得到分布列；
（2）在（1）基础上求出，由得到.
【详解】（1）的所有可能取值为，则，
，，
所以摸到红球个数的分布列为
（2）由题意得：摸球一次得到的压岁钱，
由（1）得，
所以，
故摸球一次得到的压岁钱的数学期望为120元．
18．【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）依题意得：，．
由椭圆定义知，
又，则，
在中，，由余弦定理得：
即，解得
又
故所求椭圆方程为
（2）设，直线
联立方程组，得，
，得，
，，
，
由题意知，由，，代入化简得
，
故直线过定点，
由，解得，
，
令，则，当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为．
19．【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）由题设，则，又，
所以在处的切线方程为，即.
（2）当时，，，故恒成立；
当时，；
当时，
法一：令，则，
令，则，即在上单调递增，
所以，故在上单调递增，
所以在上恒成立；
法二：恒成立，即在上单调递增，所以；
综上，函数只有一个零点为，得证；
（3）由题意，在上恒成立，
所以，在上恒成立，
而，
令，则，
对于且，则，
所以在上单调递增，则，可得，
对于且，则，
所以在上单调递增，则，可得，
综上，，则，即在上单调递增，
所以，
当时，，即在上单调递增，此时，满足；
当时，，，
所以使，即存在区间使，不符合；
（保号性：，，故必存在的情况，不符合；）
综上，.0
1
2
0
1
2