安徽省芜湖市第一中学2026届高三下学期3月阶段检测 数学试卷（含解析）

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符合题目要求的。
1.若集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知 ，若点 D 满足 ，则点 的坐标为（ ）
A. B. C. D.
3.若 （i 为虚数单位， ），则 的最大值是（ ）
A. B. C. D.
4.箕舌线是平面曲线的一种，因其状如舌而得名.若箕舌线 的部分图象如图所示，则 的解析
式可能为（ ）
A. B. C. D.
5.已知 ，若向量 与向量 互相垂直，
则 （ ）
A. B. C.5 D.
6.已知函数 若函数 恰有 2 个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.已知球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台的侧面积为 ；上、下底面的面积之比为 ，则球的
表面积为（ ）.
A. B. C. D.
8.已知椭圆 和圆 分别为椭圆 和圆 上的动点，若 为椭圆 的
左焦点，则 的最小值为（ ）
A.6 B.5 C.9 D.8
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9.已知函数 .则下列结论正确的是（ ）
A. B.函数 在 上单调递减
C.函数 有极大值 D.函数 在 上的最小值为
10.已知定义在 上的函数 ，当 时， ，且 ，
，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.若 ，则
C.若 ，则 在 上恰有 5 个零点
D.若 ， 在区间 有最大值，则
11.已知数列 ，其前 n 项和为 ，数列 ，其前 n 项和为 ，则下列说法正确的是（ ）
A.若 为等差数列，则数列 也是等差数列
B.若 ，则数列 为等比数列
C.若 ，则 时 取到最小值
D.若 为等比数列，且 ，则
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在 中 ， 内 角 的 对 边 分 别 为 ， 若 的 平 分 线 交 于 点 ， 且
，则 ______．
13.在公比不为 1 的等比数列 中，若 ，且有 成立，则
______．
14.一个正八面体，八个面分别标以数字 1 到 8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的
数 字 ． 事 件 ， 事 件 ， 若 事 件 满 足
，则满足条件的事件 的个数为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13 分）记 的内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，已知 ， .
(1)求 A；
(2)若 ，求 的面积．
16.（15 分）体育是培养学生高尚人格的重要途径之一．足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了
解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了 100 名学生作为样本，统计得到如下的列联表：
喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计
男生 40
女生 25
合计 100
已知从这 100 名学生样本中随机抽取 1 个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为 ．
(1)求 ；
(2)根据小概率值 的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否与性别有关？
(3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取 30 名，记其中男生的人
数为 ，求使事件“ ”概率最大的 的值．
附： ，
17.（15 分）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，侧面 是边长为 2 的正三角形， 平
面 平面 , 为侧棱 的中点, 为 的中点， 为线段 上一点.
(1)若点 为线段 的中点，求证:直线 平面 ；
(2)若 ，且点 到平面 的距离为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
18.（17 分）已知函数 .
(1)设过点 且与曲线 过此点的切线垂直的直线叫做曲线 在点 处的
法线.若曲线 在点 处的法线与直线 平行，求实数 的值;
(2)当 时，若对任意 ，不等式 恒成立， 求 的最小值;
(3)若 存在两个不同的极值点 且 ，求实数 取值范围.
19.（17 分）在平面直角坐标系 中，点 ， ， ，动点 满足 ，
记点 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)过点 且斜率不为 0 的直线 与 相交于两点 E，F（ 在 的左侧）.设直线 ， 的斜率分别为
， .
①求证： 为定值；
②设直线 ， 相交于点 ，求证： 为定值.
数学学科参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.B． ，所以 ．
2.A．设点 ，则 ，又 ，所以 ，所
以点 的坐标为 ．
3.B．由 可得 ，所以 且 ，
故 ，当且仅当 时取到等号．
4.B． ，排除 A. 既不是奇函数，也不是偶函数，排除 D.
在 上单调递减，排除 C. 的图象符合题中图象，B 正确．
5.C．因为 ， ，显然 、 、 、 均不为 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，因为向量 与向
量 互 相 垂 直 ， 所 以 ， 则
，又 ，解得 ．
6.B．易知当 时，函数 单调递增，且 ;当 时，函数 ，易知
,显然当 时， 恒成立，即 在 上单调递增；
当 时， ；当 时， ，此时函数 的图象大致如下图所示：
若函数 恰有 2 个零点，即函数 的图象与 有两个交点，由上图可知 ；
当 时，根据对勾函数性质可知 ，当且仅当 时，等号成立；
此时其图象大致如下图：
显然函数 的图象与 没有交点，不合题意；综上可知，实数 的取值范围是 ．
7.A．依据题意，球内切与圆台，画出两者的轴截面，球的截面为圆，圆台的轴截面为等腰梯形 ，如
图所示，
过 点作 的垂线，垂足为 ，设球的半径为 ，则 ，设圆台的母线为 ，即 ，上、下
底面的面积之比为 ，即 ， ，由圆的切线长定理可知， ，圆台
的侧面积为 ，解得 ，则 ，即
，则球的表面积 ．
8.A．易知椭圆 中 ，即可得 ，又圆 的圆心为
，半径 ，易知椭圆右焦点 ，显然 在圆 上，如下图：
易知椭圆上一点 到圆 上任意一点 的最小距离为 ，因此可将 的最
小值转化为求 的最小值，由椭圆定义可得
；此时点 在 处，使得
的最小值为 6．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9.BC．由题意可得 ，因 ，则
，故 A 不正确；由 得 或 ，由 得 ，则 在 和
上单调递增，在 上单调递减，则 在 处取得极大值 ，故 B 正确，C 正确，
，则函数 在 上的最小值为 ，故 D 不正确．
10.ACD．对于 A，由题意可知：当 时，有 ，故 A 正确；
对于 B，当 时，有
，又因为 ，所以有
，故 B 错误；对于 C，当 时，，
当 时 ， 由 于 ， ， ，
， ， 所 以 ,( )作 出 分 段 函 数 和 函 数
的图象如下：
由于 ，直线 经过点 ，而函数 不经过点 ，则由图象可得，它们只有
5 个交点，即 在 上恰有 5 个零点，故 C 正确；对于 D，根据当 时，
由于 ， 要满足对 ， 在区间 有最大值，
则只需要 在 上存大最大值，即满足 或 ，解得 或
，综上可得： ，故 D 正确．
11.AC．因为 为等差数列，所以前 项和 ，
所 以 ， 所 以
，
所以数列 是等差数列，故 正确；因为 ，若 ，则所有项都为 ，所以数列 不是
等比数列，故 错误；因为 ，所以 ，所以 为等差数列，
首项为 ，公差为 ，所以 ，此二次函数开口向上，对称轴为 ，
因为 ，所以当 时， 取到最小值，故 正确；因为 为等比数列，且 ，故
公比 不为 1，所以 ，所以 ，所以 ，故 错
误．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. ．由面积相等，可得 ，
即 ， 化 简 得 ， 又
.由余弦定理可得 .
13.10 或 4049．设等比数列 的公比为 ，且 ，由 ，则 ，故 ，又
， ，
，即 ， ，又 ，
， ，
化简整理得 ，即 ，解得 或 ，均满足
.
14.8．事件 ，事件 ，故 ，又
，故 ，即 ，因为 ， ，所以
，故 ，即 ，又 ，
， 故 ， 所 以 ， 即 ， 所 以
，故 ，其中 ， ，则 或 2，若 ，
则 ，又 ，故 ， ，故 ，若 ，
，可令 或 或 或 ；若 ， ，可令
或 或 或 ， 事 件 ， 事 件
若 ， 则 ， 此 时 ， 此 时 ， 故
，不合要求，舍去，综上，满足条件的事件 的个数为 8．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13 分）(1) ；(2)
（1）因为 ，则 即为 ，整理可得 ，
由余弦定理可得 ，且 ，所以 .
（2）由正弦定理可得 ，则 ，
可得 ，即 ，由（1）可得 ，则 ，
即 ，可得 ，所以 的面积 .
16.（15 分）(1) (2)没有 的把握认为喜爱足球运动与性别有关 (3)20
（1）因为从这 100 名学生样本中随机抽取 1 个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为 ，
所以 ；
（2）零假设 ：喜爱足球运动与性别无关．作出列联表如下：
喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计
男生 40 15 55
女生 20 25 45
合计 60 40 100
由题 ，根据小概率值 的独立性检验，我们推断 成
立，也就是说没有 的把握认为喜爱足球运动与性别有关．
（3）现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取 1 名学生，该学生是男生的概率是 ，
从而从喜爱足球运动的学生中随机抽取 30 名时，记其中男生的人数为 ，则 ，
所以 ，
令 ，解得 ，
故使事件“ ”概率最大的 的值为 20．
17.（15 分） (1)证明见解析 (2)
（1）
如图，取 的中点 ，连接 ，因点 为线段 的中点，故 ，
因底面 为矩形， 为 的中点，则 ，
故有 ，即得 ，则 ，
因 平面 ， 平面 ，故有直线 平面 ；
（2）
如图，因平面 平面 ，平面 平面 ，
为等边三角形，且 为 的中点，则 ，故 平面 ，
取 中点 ，连接 ，则 ，故可以 分别为 轴建立空间直角坐标系 .设
，则 ， 因 为侧棱 的中点，则 ，于是，
，设平面 的法向量为 ，则 ，故可取
，又 ，则点 到平面 的距离为 ，解
得 .因 ， 则 ， 因
，
设平面 的法向量为 ，则 ，故可取 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 .
18.（17 分）(1) (2) (3)
（1）由 得： ，则 ，又由直线 的斜
率为 ，根据题意可知： ；
（2）当 时，不等式可化为 ，
变形为
同构函数 ，求导得 ，所以 在 上是增函数，而原不等式
可化为 ，根据单调性可得： ，
再构造 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，
当 时， ，则 在 上单调递减，
所以 ，即满足不等式成立的 ,所以 的最小值为 ；
（3）因为 存在两个不同的极值点 所以由 可得：
， ，因为 ，而 的对称轴是 ，
所以可得 ，根据对称性可得另一个零点 ，此时有 ，
故 ，又由 可得 ，
而
令 ，
则 ，
， 即 ， ， 则
，
即 在区间 上单调递减，
所 以 有 ， 即
，所以实数 取值范围 .
19.（17 分） (1) (2)①证明见解析；②证明见解析
（1）由 ， ，
所以点 在以 ， 为焦点， 为长轴长的椭圆上，设椭圆方程为 ，焦距为 ，
则 ， ，所以 ，所以 的方程为 .
（2）①由 ，直线 的斜率存在且不为 ．设直线 的方程为 ， ，
， ， 联 立 ， 得 ， 则 ，
， ，所以．又 ，所以 ， ，
所以 .
②由①知 ，所以 ． 作 关于 轴的对称点 ，则 ， ， 三点共线．又
， ，设 .则直线 方程即为直线 方程 .又直线 方程为
，作差，得 ， 所以 ，所以 ， ， 由
， 得 ． 又 因 为 ， 所 以 ， 即 ， 即
，所以点 在以 ， 为焦点， 为实轴长的双曲线的左支（椭圆内部）上运动，所
以 ．