安徽省芜湖市第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷 含解析

这是一份安徽省芜湖市第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷 含解析，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 欧拉公式 （其中 i 为虚数单位， ），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指
数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，
被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式， 的共轭复数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据欧拉公式及共轭复数的定义即可求解.
【详解】 ，
所以 的共轭复数为 .
故选： .
2. 设 m，n 是不同的直线， 是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】利用线面位置关系，逐项判断即得.
【详解】对于 A， ，则 或 ，A 错误；
对于 B， ，则 或 ，B 错误；
对于 C， ，则直线 可能相交，可能平行，也可能是异面直线，C 错误；
对于 D，由线面平行的性质知，D 正确.
第 1页/共 19页
故选：D
3. 如图，在 中， ，点 是 的中点．设 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的线性运算即可求得答案.
【详解】由题意在 中， ，点 是 的中点，
故
，
故选：A
4. 如图，水平放置 四边形 的斜二测直观图为矩形 ，已知 ， ，
则四边形 的周长为（ ）
A. B. C. 8 D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】根据斜二测画法的原则进行求解即可.
【详解】由题设知：原四边形中 且 ，
所以原四边形 为平行四边形，
第 2页/共 19页
而 ，则原四边形中 ，故 ，
综上，四边形 的周长为 .
故选：D
5. 在正方体 中，E，F 分别是线段 ， 中点，则异面直线 ，EF 所成角余
弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图所示，连接 ，确定 或其补角是异面直线 EF 与 所成角，在直角 中，计
算得到答案.
【详解】如图所示：F 是线段 的中点，连接 交 于 F，
由正方体的性质知 ，知异面直线 ，EF 所成角即为直线 ，EF 所成角，
故 或其补角是异面直线 EF 与 所成角.
设正方体边长为 2，在直角 中， ， ，
故
故选：C
6. 如图，正三棱台 的下底面边长为 12，上底面边长和侧棱长均为 6，则棱台的体积为（ ）
第 3页/共 19页
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出正三棱台的高，再根据棱台的体积公式即可求解.
【详解】设上下底面的外心分别为 ，过 作底面的垂线交 于点 ，
上、下底面三角形的高分别为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，又 ，
所以正三棱台的高为 ，
上底面积为 ，下底面积为 ，
所以正三棱台的体积为 .
故选： .
7. 在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 的形状为（
）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形或等腰三角形
【答案】D
第 4页/共 19页
【解析】
【分析】将已知结合二倍角公式，两角和的正弦公式，化简可得 ，从而可以判断三
角形的形状.
详解】 ， ，
，
化简得， ，
，即 ，
或 ，
， 或 ，即 或 ，
是直角三角形或等腰三角形.
故选：D.
8. 如图所示，在棱长为 1 的正方体 中，点 分别是棱 的中点， 是侧面
内一点，若 平面 ，则线段 长度的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据线面平行的条件构造面面平行从而得到 点的轨迹，在根据平面几何知识求出 的范围.
【详解】如图，取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，显然 ，且
，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，又因为 平面 ，
第 5页/共 19页
平面 ,所以 平面 ，因为 ， 平面 ，
平面 ,所以 平面 ，又因为 ，所以平面 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，点 在侧面 上，所以点 位于线段 上，
因为 ，
，所以当点 位于 点时， 最大，
当点 位于 的中点 时， 最小，
此时 ，
所以 ，所以线段 长度的取值范围是 .
故选：B
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知 是复数且对应的点分别为 ，则以下结论错误的是（）．
A. 若 ，则 ，且
B. 若 ，则 ，且
C 若 ，则向量 和 相等或相反向量
D. 若 ，则
【答案】AC
【解析】
第 6页/共 19页
【分析】举反例即可说明 A，C 错误；对于 B，只有 ，才有 ；对于 D，只有
，才有 ，由比判断 D.
【详解】对于 A，若 ， ，则满足 ，但此时 ，故 A 错误；
对于 B， ，若 ，则 故 B 正确；
对于 C，若 ，则满足 ，此时 ，
同理 ，此时 和 即不是相等何量，也不是相反向量，故 C 错洖；
对于 D， 故 ，此时 ，故 ，故 D 正确.
故选：AC．
10. 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则 是钝角三角形
C. 若 ，则 为等腰三角形 D. 若 ，则 有两解
【答案】AD
【解析】
【分析】利用大角对大边及正弦定理，结合余弦定理即可求解.
【详解】对于 A， ，所以 ，由正弦定理得 ，故 A 正确；
对于 B， ，故 边最长，角 最大.
设 ，
则 .
所以角 为锐角，故 是锐角三角形，故 B 错误；
对于 C， ，则 或 ，即 或 ，则 为直角三角形
或等腰三角形，故 C 错误；
对于 D， ，
根据正弦定理
，所以 有两解，所以 有两解，故 D 正确.
故选：AD.
第 7页/共 19页
11. 已知正八边形 为正八边形的中心，其中 ，则下列命题正确的是（ ）．
A.
B.
C. 在 上的投影向量为
D. 若点 为正八边形边上的一个动点，则 的最大值为 4
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，正八边形的每条边所对的角均为 ，且中心到各个顶点的距离都是 ，由向量的数量
积的运算公式，可得判定 A 错误；连接 交 于点 ，得到 ，集合向量的线性运算法则，
可得判定 B 正确；根据投影向量的计算方法，可判定 C 正确；设向量 与 的夹角为 ，得到
，由 ，得到点 在线段 上运动时， 取得最大值，利用向
量的数量积的运算法则，结合正弦的倍角公式，可判定 D 正确.
【详解】由题意知，正八边形的每条边所对的中心角均为 ，且中心到各个顶点的距离都是 ，
对于 A 中，由 ，所以 A 错误；
对于 B 中，连接 交 于点 ，则 为 的中点，且 ，
由 ，所以 B 正确；
对于 C 中，向量 在 上的投影向量为 ，
所以 C 正确；
第 8页/共 19页
对于 D 中，设向量 与 的夹角为 ，则 ，
其中 表示 在 方向上的投影，
在正八边形中，可得 ，延长 交 与点 ，
当点 在线段 上运动时，向量 在 方向上的投影取得最大值，
又由 为等腰直角三角形，且 ，
在直角 中， ，
在等腰 中， ，
则 ，所以 D 正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 如图,测量河对岸 塔高 时,可以选与塔底 在同一水平面内的两个测点 与 ．现测得
,并在点 测得塔顶 的仰角为 ,则塔高 为_______．
第 9页/共 19页
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：在 中， ，由正弦定理得 ，所以
．在 中， ．
考点：1、正弦定理；2、三角形中的边角关系．
13. 设 是复数且 ，则 的最大值为______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据复数模的几何意义，结合图象，即可求解.
【详解】根据复数模的几何意义可知， 表示复平面内以 为圆心，1 为半径的圆，而 表
示复数 到原点的距离.
由图可知， .
故答案为： .
14. 如图，正方体 的棱长为 1，点 是正方体侧面 上的一个动点（含边界），
是棱 的中点，若 ，则点 在侧面 内运动路径的长度______．
第 10页/共 19页
【答案】 ##
【解析】
【分析】确定点 M 在侧面内的运动轨迹是圆弧，再求弧长即可.
【详解】取 中点 E，连 EM，PE，如图，因 是正方体 的棱 中点，
则 PE//CD，而 CD⊥平面 ，则有 面 ， 平面 ，
于是得 PE⊥EM，由 ，PE=1 得，EM=1，
因此，点 M 在侧面 内运动路径是以 E 为圆心，1 为半径的圆在正方形 内的圆弧，
如图，圆弧所对圆心角为 ，圆弧长为 .
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量 .
（1）若向量 与 共线，求实数 的值；
第 11页/共 19页
（2）若向量 与 的夹角为锐角，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量共线的坐标运算可知 ，即可求出参数值；
（2）利用两向量夹角为锐角的充要条件是 且 与 不共线，从而可得不等式组求解即可.
【小问 1 详解】
由题意可得 ， ，
若向量 与 共线，可得 ，
解得 .
【小问 2 详解】
若向量 与 的夹角为锐角可得 且 与 不共线，
即可得 ，
解得 且 ，
即实数 的取值范围为 且
16. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求 ；
（2）若 的重心为 ，且 ，求 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，再结合和差公式及二倍角公式即可求解;
第 12页/共 19页
（2）根据重心的性质可得 ，所以 ，两边平方后结合余弦定理可得
，最后由正弦定理化简可得答案.
【小问 1 详解】
因为 ，
所以 ，
化简得 ， ， ，
即 ，
由 解得 或 （舍去），
， ．
【小问 2 详解】
记 中 边上的中线长为 ，由重心的性质得 ，
所以 ，
即 ，
等式两边平方可得 ，
所以 ，
又由余弦定理得 ，
所以 ，
整理得 ，解得 ，
由正弦定理得 ．
17. 如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 为 上的点，且 ， 为
中点．
第 13页/共 19页
（1）证明： 平面 ；
（2）过 F 点作平面 平面 交 于 点，交 于 点，
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）求 的值．
【答案】（1）证明见详解
（2）（i）证明见详解；（ii）
【解析】
【分析】（1）连接 交 于 ，由三角形中位线可证 ，进而由线面平行的判定定理可证；
（2）（i）由面面平行的性质定理可证 ；（ii）猜测点 H 为靠近点 P 的三等点，在此基础上证明平
面 平面 即可.
【小问 1 详解】
连 交 于 ，因为底面 为平行四边形，
所以 为 的中点，而 为 的中点，所以 ，
又 平面 平面 ；
所以 平面 ；
【小问 2 详解】
（i）因为平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
由面面平行的性质定理可得 ；
（ii）当 为 的三等点且 时，有平面 平面 ，下面证明：
因为 为 上的点，且 ，所以在 中， ，所以 ，
由（1）知 平面 ，因为 平面 ，所以 平面 ，
第 14页/共 19页
由（i）可知 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ，所以平面 平面 ，所以 .
18. 如图，在 中，已知 ，点 为 边的中点，
相交于点 ．
（1）求 ；
（2）求 ；
（3）求 ．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据 和已知条件，两边平方，利用向量的运算求得 的长，然后根据向量
关系求得 ；
（2）建立直角坐标系，求出点 的坐标，利用向量 的夹角的坐标运算公式求
；
（3）根据 三点共线得 ，通过向量线性运算，将 用 和 表示，从而将 表
第 15页/共 19页
示成 ，最后利用共线向量定理得到 ，求出 的值再根据模长和数量积的运算可
得.
【小问 1 详解】
，
∴ ，又∵ ，∴ ，∴ ．
【小问 2 详解】
如图，以 为原点，直线 为 轴建立直角坐标系.
依题得到： ， ， ， ，
设点 ，由 可得： ，
即 ，解得： ，所以 ，
， ，
则 ， ，
由 ．
【小问 3 详解】
三点共线，所以存在 使得， ，
，
第 16页/共 19页
，
又 三点共线，所以 ，即 ．
，
所以
.
19. 在 中，内角 的对边分别是 ， ， ．
（1）求角 ；
（2）若 ，求边 上的角平分线 长；
（3）若 为锐角三角形，求边 上的中线 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可；
（2）根据余弦定理及已知得 ，然后利用面积分割法 列方程求解即可；
（3）利用向量加法运算及数量积以及模的运算得 ，利用正弦定理得
，然后利用角 的范围，结合正弦函数的性质求解 范围即可.
【小问 1 详解】
在 中，由正弦定理及 ，
得
，
第 17页/共 19页
即 ，而 ， ，
解得 ，又 ，所以 .
【小问 2 详解】
由 及 ，余弦定理得 ，
又 ，解得 ，
由 得 ，
即 ，则 ，所以 .
【小问 3 详解】
因为 是 的中点，所以 ，
则 ，
由正弦定理得，
即 ，
为锐角三角形， ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，即边 上的中线 的取值范围为 ．
第 18页/共 19页
第 19页/共 19页