2025-2026学年下学期江西八所重点中学高三数学4月联考试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期江西八所重点中学高三数学4月联考试卷含答案，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 若全集 U={0,1,2,3,4,5,6},CUA={x∣0≤x≤4,x∈N} ,则集合 A 为( )
A. {5,6} B. {0,5,6} C. {0,4,5,6} D. {4,5,6}
2. 已知复数 z 满足 1+3i+i=z1−i ，则 z 的虚部为( )
A. 32i B. −32i c. −32 D. 32
3. 已知 sinα−π+3csα=0 ，则 sin2α= ( )
A. 310 B. 35 C. 34 D. 32
4. 设单位向量 e1,e2 的夹角为 23π,a=e1+2e2,b=2e1−e2 ，则 b 在 a 上的投影数量为( )
A. 12 B. 32 C. −12 D. −32
5. 已知正项等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,满足 a2⋅a5=4a6,a3−a2=48 ,记 x 表示不超过 x 的最大整数,设 bn=n2+1lg4an ,则数列 bn 的前 30 项和为 ( )
A. 464 B. 465 C. 466 D. 467
6.若甲盒中有 3 个白球,2 个红球,1 个黑球,乙盒中有 x 个白球 x∈N ,3 个红球,2 个黑球,现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件 “从甲盒中取出的球和从乙盒取出的球颜色相同” 的概率不小于 49 ,则 x 的最小值为 ( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
7. 已知两定点 F1−3,0 和 F23,0 ，双曲线 Γ 以 F1 ， F2 为焦点且经过动点 M ，若 M 在直线 l:y=2x+4 上运动， 则双曲线 Γ 的离心率的最小值为( )
A. 355 B. 5
C. 655 D. 25
8. 已知函数 fx=ex+x−m 的零点为 x1 ,函数 gx=lnx+x−m 的零点为 x2 ,其中 m>1 ,则 x1x2+x2x1 的取值范围是( )
A. 2,+∞ B. e+1e,+∞ C. [e+1e,+∞) D. [2,+∞)
二、选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 若 a,b,c,d 均为实数，则下列说法正确的是( )
A. 若 a0,b>0 上一点 Px0,y0 处的切线方程为 x0xa2+y0yb2=1 . 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>0,b>0,P,Q 分别为左、右顶点且离心率 e=32 . 直线 l 过 T−1,0 交椭圆 C 于 A,B 两点. 当直线 l 垂直于 x 轴时, AB=3 .
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)连接 AQ,BQ,BP ，并过 A,B 两点分别作椭圆的切线，这两条切线相交于点 D ，过 D 作 BQ 的平行线交 AQ 于 M 点,直线 OM ( O 为坐标原点)交直线 BQ 于点 N ,直线 AQ 和直线 BP 的斜率分别为 k1 和 k2,N,B 两点横坐标分别为 xN,xB .
证明 (i) k1k2 为定值; (ii) 2xN−xB 为定值.
19.(本题满分 17 分) 已知函数 fx=alnxa>0 .
(1)若 a=1 时，求函数 gx=fxx 在点 e,ge 上的切线方程；
(2)若 ∃x1,x2>0 ，使得当 x∈x1,x2 时， fx 的值域为 x1,x2 .
(i) 求实数 a 的取值范围; (ii) 证明: x1−x22>4a2−ea .
江西省八所重点中学 2026 届高三联考数学试卷 答案
一、选择题
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 252x5 13. −1 14.0,43
1. A CUA={x∣0≤x≤4,x∈N}={0,1,2,3,4} ,故 A={5,6} .
2.D 1+3i=12+32=2 ,故 2+i=z1−i ,
z=2+i1−i=2+i1+i1−i1+i=2+2i+i+i21−i2=1+3i2=12+32i ,故 z 的虚部为 32 .
3. B由已知可得 −sinα+3csα=0 ,故 tanα=3 ,
sin2α=2sinαcsα=2sinαcsαsin2α+cs2α=2tanαtan2α+1=610=35 .
4. D b 在 a 上的投影数量为 a⋅ba ,
a•b=e1+2e2•2e1−e2=2e12+3e1•e2−2e22=2+3×1×1×−12−2=−32 ,
a2=e1+2e22=e12+4e1•e2+4e22=1+4×1×1×−12+4=3,
b 在 a 上的投影数量为 −32 .
5. C 由已知得 an=4n ,
bn=n2+1lg4an=n2+1lg44n=n2+1n=n+1n,
当 n=1 时, b1=2 ,当 n≥2 时, bn=n .
设数列数列 bn 的前 30 项和为 T30 ,
T30=b1+b2+⋯+b30=2+2+⋯+30=2+2+30×292=466.
6. B设第一次从甲盒取出白球、红球、黑球分别为事件 A1,A2,A3 ,从甲盒中取出的球和从乙盒中取出
的球颜色相同为事件 B ,则 PB=PA1PB∣A1+PA2PB∣A2+PA2PB∣A2
=12×x+1x+6+13×4x+6+16×3x+6=3x+3+8+36×x+6=3x+146×x+6≥49 ,即 9x+42≥8x+48 ,
故 x≥6 ，所以 x 的最小值为 6 .
7. A焦距 F1F2=6 ,半焦距 c=3 ,离心率 e=3a ,求 e 的最小值即求实半轴长 a 的最大值. a=12MF1−MF2 ,先求 MF1−MF2 的最大值. 由于 MF1−MF2≤F1F2​′ (其中 F2​′ 为 F2 关于直线 l 的对称点,当且仅当 M 在 F1F2′ 延长线与 l 的交点时等号成立.
F23,0 关于直线 l:y=2x+4 的对称点 F2​′−5,4 。故 F1F2​′=25 ,
即 MF1−MF2 的最大值为 25 ,因此 2amax=25,amax=5 .
故双曲线离心率的最小值为 emin=camax=355 。
8. C fx=ex+x−m,gx=lnx+x−m=lnx+elnx−m=elnx+lnx−m=flnx , fx 在 R 上单增, ex+x=m ,当 x=0 时, ex+x=1 ,当 m>1 时, x1>0 ,故 lnx2>0 , x2>1 ,即 lnx2=x1 . 令 t=x1x2=lnx2x2,x2∈1,+∞,tx2=1−lnx2x22 , 故函数 tx2 在 1,e 上递增, e,+∞ 在上递减,则 t∈0,1e ,所以 t+1t∈[e+1e,+∞) 。
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. AC由不等式性质可知 A 正确, B 错误
C 选项,由已知得 1a+1b=1 ,则 2a+3b=2a+3b1a+1b≥2+32=5+26 ,故 C 正确
D 选项, ∵a2+b22≥a+b22,∴a2+b2≥2,a2+b2 最小值为 2, D 选项错误
10.ACD由抛物线焦点弦最短可知 A 选项正确
由 2FA=AM,F12,0 得 A13,63,M0,6,∴FM=52, B 选项错误
抛物线在 A,B 处的切线分别为 y1y=x+x1,y2y=x+x2 ,两条切线斜率之积为 y1y2=−p2=−1,C 选项正确由 A1B1=2psinθ=2sinθ=4 得 sinθ=12,∴AB=2psin2θ=8 ，(其中 θ 为直线 l 的倾斜角) SABB1A1=12AA1+BB1⋅A1B1=12AF+BF⋅A1B1=12AB⋅A1B1=16,D 选项正确
11.BCD三棱锥 S−ABC 的外接球半径为体对角线的一半, R=32 ,表面积 4πR2=3π ,故 (A) 错误。
二面角 S−BC−A 即平面 SBC 与平面 ABC 的夹角。平面 ABC 的法向量为 n1=0,0,1 ,平面 SBC 的法向量为 n2=1,1,1 ,设夹角为 θ ,则 csθ=n1⋅n2n1n2=13 ,故 tanθ=2 ,因此 (B) 正确。
以 A 为原点，建立空间直角坐标系: A0,0,0 ， B1,0,0 ， C0,1,0 ， S0,0,1 。平面 SBC 的方程为 x+y+z=1 。 设 Px,y,z ,由条件 z=x2+y2+z−12 ,化简得 2z=x2+y2+1 。联立 x+y+z=1 得 x+12+(y+ 1)2=3,x,y≥0,x+y≤1 ,。由轨迹方程可求得 zP∈3−6,2−2 三棱锥 P−ABC 的体积 V=16zP ,由 得 V∈3−66,2−26 ,因此 C 正确。
过 P 且平行于平面 ABC 的平面方程为 z=zP ,截面为直角三角形,面积 S=121−zP2 ,
又 zP∈3−6,2−2∴Smax=5−26 ，故 (D) 正确。
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 252x5 x+110 展开式的第 r+1 项系数为 C10r1r=C10r ,其中 r=0,1,⋯10 ,当 r=5 时, 系数为最大,故系数最大的项为 C105x5=252x5 .
13. -1 已知 fx+fx+1+fx+2=fx⋅fx+1⋅fx+2 ,
所以 fx+1+fx+2+fx+3=fx+1⋅fx+2⋅fx+3 ,两式相减得
fx+3−fx=fx+3−fx⋅fx+2⋅fx+1,∵f1⋅f2≠0,∴fx+2⋅fx+1≠0 ,
则 fx+3−fx=0,∴f13−f14=f1−f2=−1 ,
14. 0,43 设 AB=c,AC=b,BC=a ,三角形 ABC 的面积为 S 。
由面积公式: S=12bcsin60∘=34bc ,得 bc=4S3 。
由中线长公式: AD2=2b2+2c2−a24=4 ,即 2b2+2c2−a2=16
由余弦定理: a2=b2+c2−2bccs60∘=b2+c2−bc
将 2 代入 1 得: 2b2+2c2−b2+c2−bc=16 ，即 b2+c2+bc=16 .
将 bc=4S3 代入式(3)，得 b2+c2=16−4S3 。
由基本不等式 b2+c2≥2bc ,得 16−4 S3≥2⋅4 S3 ,解得 S≤433 ; 结合三角形存在性,
S>0 ,故 S∈0,433 。
外接圆半径 R 满足: 2R=asin60∘=2a3 ,即 R=a3 。
由 2 和 3 消去 b2+c2 ,结合 bc=4S3 ,得 a2=16−8S3 。
由 OG=13OA+OB+OC 平方得 OG2=R2−a2+b2+c29=16−43S9 。
求 OG 的取值范围:
当 S→0+ 时, OG→43 ; 当 S=433 时, OG=0 。答案: 0,43
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(1)愿意报名参加答题活动的人数为 200×35=120 ，愿意参加答题活动的学生为男生的人数为 120×23=80 ,故愿意参加活动的学生为女生的人数为 120−80=40 ,不愿意参加答题活动的学生为男生的
人数为 100−80=20 ，不愿意参加答题活动的学生为女生的人数为 100−40=60 .
4 分
由表格得不愿意参加答题活动得 80 人有 60 个女生,所以 p 的估计值为 6080=34 . 7 分
( 2 )零假设为 H0 :该校学生报名参加答题活动与性别无关，
根据表中数据可得, χ2=200×20×40−60×80280×120×100×100=1003≈33.333>10.828=x0.001 , 11 分
根据小概率值 α=0.001 的 χ2 独立性检验,我们推断 H0 不成立,即认为该校学生报名参加答题活动与性别有关，该推断犯错误的概率不超过 0.001 13 分
16.(1) 已知 Sn=2an−3⋅2n+1n∈N∗
当 n=1 时， S1=a1=2a1−3⋅22 ，解得 a1=12 1 分
当 n≥2 时， Sn−1=2an−1−3⋅2n ，由 Sn−Sn−1 得: an−2an−1=3⋅2n ， 3 分
两边同除以 2n ，得 an2n−an−12n−1=3 ，因此 an2n 是首项为 a121=6 ，公差为 3 的等差数列， 6 分
故 an2n=6+3n−1=3n+3 ,即 an=3n+1⋅2n 8 分
由 an=3n+1⋅2n ,则 bn=n+2annn+124n+1=n+2⋅3n+1⋅2nnn+12⋅22n+2=3n+2nn+1⋅2n+2
=341n⋅2n−1−1n+1⋅2n 12 分
则数列 bn 的前 n 项和为:
Tn=k=1nbk=3411⋅20−12⋅21+12⋅21−13⋅22+⋯⋯+1n⋅2n−1−1n+1⋅2n
=341−1n+1⋅2n=34−3n+1⋅2n+2
15 分
17.(1)方法一:由 BC⊥ 平面 PAB,PA⊂ 平面 PAB ，得 BC⊥PA 。
因为平面 PAC⊥ 平面 ABCD ,且平面 PAC∩ 平面 ABCD=AC ,取 AC 的中点为 K ,又因为 BA=BC ,所以 BK⊥AC ,所以 BK⊥ 平面 PAC ,因为 PA⊂ 平面 PAC ,所以 BK⊥PA ,又因为 BC∩BK=B ,所以 PA⊥ 平面 ABCD .
方法二: 因为 BC⊥ 平面 PAB,BA⊂ 平面 PAB ,得 BC⊥BA ,又因为 AB=BC=1 ,所以 AC=2,∠BAC=45∘ ,又因为 ∠BAD=90∘ ,所以 ∠CAD=45∘
又 AD=2 ，由余弦定理得 CD=2 ，所以 DC⊥CA ，又因为平面 ABCD⊥ 平面 PAC ，且平面 ABCD∩ 平面 PAC=AC ，所以 DC⊥PA ，又因为 BC⊥PA ，且 BC∩CD=C ，所以 PA⊥ 平面 ABCD . 分
(2)(i)以 A 为原点， AB,AD,AP 方向为 x,y,z 轴方向建系，则有 A0,0,0,B1,0,0,C1,1,0 ， D0,2,0,P0,0,1 ，由于 PEPD=13 则 E0,23,23 6 分

平面 PAC 的法向量: 设 n1=x,y,z ,由 AC⋅n1=0,AP⋅n1=0 得 x+y=0z=0 令 x=1 得 n1=1,−1,0.⋯⋯7 分平面 ACE 的法向量: 设 n2=x,y,z ,由 AC⋅n2=0,AE⋅n2=0 得 x+y=023y+23z=0 令 x=1 ,得 n2=1,−1,1 . 9 分
设二面角 P−AC−E 的平面角为 θ ,注意到 θ 为锐二面角,
所以 csθ=n1⋅n2n1⋅n2=22⋅3=63 ,即二面角 P−AC−E 的余弦值为 63 . 10 分
(2)(ii)设 PE=λPD0