【备考2026】重庆市中考模拟数学试卷1（含解析）

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一．选择题（共10小题，满分36分）
1．2025年是春意盎然，生机勃勃的“双春年”，2025的相反数是（ ）
A．﹣2025B． QUOTE C．2025D． QUOTE
2．（4分）下列安全图标不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）
A．调查市场上蛋糕的质量情况
B．调查全国中小学生的身高情况
C．调查某新能源汽车的电池使用寿命
D．调查航天飞机零部件是否合格
4．（4分）如图，圆O经过五边形OABCD的四个顶点．若∠AOD＝150°，∠A＝75°，∠D＝60°，则劣弧 QUOTE 所对圆心角的度数为（ ）
A．25°B．40°C．50°D．60°
5．（4分）观察下列图形，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案要4枚棋子，摆第2个图案要7枚棋子，摆第3个图案要11枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第10个图案要棋子（ ）枚．
A．57B．60C．67D．79
6．（4分）若A（x1，y1）、B（x2，y2）都在函数 QUOTE 的图象上，且x1＜0＜x2，则（ ）
A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．y1＝﹣y2
7．（4分）下列四个数中最大的是（ ）
A．3.14×105B．3.14×106C．6.28×105D．6.28×106
8．（4分）有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（ ）个人患流感．
A．7B．8C．448D．512
9．（4分）如图，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，F是DE的中点，连接AF，BF，EF，EE′，AE QUOTE ．下列结论：①AD垂直平分EE′；②AE＝OE；③tan∠ADE QUOTE 1；④C△ADE﹣C△ODE QUOTE ；⑤S四边形AEFB QUOTE ．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②④B．①③④C．②③⑤D．③④⑤
10．（4分）已知整式M： QUOTE ，其中n为自然数，a0，a1⋯an﹣1，an均为正整数，且a0＜a1＜⋯＜an﹣1＜an．下列说法：
①当n＝2，a2＝5，且a1＝2为奇数时，则满足条件的所有整式M的和为10x2+6x+3；
②若an＝6且a0为偶数时，满足条件的所有整式M有且仅有8个；
③当an≤5时，满足条件的所有整式M有且仅有15个．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）一个不透明的袋子里面装有10个红球和若干白球，若随机在袋子里摸一个球，摸到红球的概率是 QUOTE ，则袋子里面有 个白球．
12．（4分）将一个直角三角尺与直尺如图放置，若∠1＝69°，则∠2＝ °．
13．（4分）已知a是 QUOTE 的整数部分，b是它的小数部分，则（﹣a）3+（b+3）2＝ ．
14．（4分）当x＝ 时，代数式4x﹣5与3x+12的值互为相反数．
15．（4分）如图，⊙O的半径为5cm，弦AB＝8cm，圆上的动点P从点A出发绕圆一周返回点A．两位同学在研究时，
如图1所示，方方发现当点P与P1或P2重合时，∠AP1B＝∠AP2B＝30°他得出结论：在⊙O上，满足∠APB＝30°的点有且仅有两个．
如图2所示，圆圆发现当点P与P3或P4重合时，它到直线AB的距离均为2cm．她得出结论：在⊙O上，到直线AB的距离为2cm的点有且仅有两个．
请你仔细研究，并给出判断：方方的结论 ，圆圆的结论 （填“正确”或“错误”）．
16．（4分）如果一个四位数M各个数位上的数字互不相等且均不为0，且千位与十位上的数字之差等于百位与个位上的数字之差，则称M为“等差数”，将M千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，得到一个新的四位数M′，记 QUOTE ，若 QUOTE 为等差数，且 QUOTE ，则数 QUOTE 为 .若D（M）为正数且能表示为两个连续偶数的平方差，则满足条件的最小“等差数”M是 ．
三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）
17．（8分）解不等式组 QUOTE ，并求出所有整数解的和．
18．（8分）如图，△ABC中，∠C＝90°．
（1）基本尺规作图：作∠ABC的角平分线BD交AC于D，过点D作DE⊥AB于E．（保留作图痕迹，不写作法和结论）
（2）若AC＝7，BC＝6，AB＝10，求△ADE的周长．
四．解答题（共7小题，满分70分，每小题10分）
19．（10分）为了解“枕头冬瓜”和“矮冬瓜”两种冬瓜的质量情况，某校科技小组从蔬菜大棚中分别随机调查两种冬瓜各20个，对其质量x（单位：斤）进行整理分析（数据分为五组：A.4≤x＜6，B.6≤x＜8，C.8≤x＜10，D.10≤x＜12，E.12≤x≤14），下面给出了部分信息：
“枕头冬瓜”质量统计表
“枕头冬瓜”，“矮冬瓜”质量的平均数、中位数、众数、极差如下表：
“矮冬瓜”产量在C组中的数据是：8，8，9，9，9．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述统计图表中，a＝ ，c＝ ，扇形统计图B组所对应扇形的圆心角度数为 °；
（2）求出“枕头冬瓜”质量的平均数；
（3）若蔬菜大棚种植的“枕头冬瓜”有3000个，“矮冬瓜”有2500个，请估计质量在“10≤x＜12”范围的冬瓜的个数．
20．（10分）先化简，再求值：
QUOTE ，其中 QUOTE ．
21．（10分）新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，甲品牌消毒剂每箱的价格比乙品牌消毒剂每箱价格的2倍少20元，已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用200元购买乙品牌消毒剂的数量相同．
（1）求甲、乙两种品牌消毒剂每箱的价格各是多少元？
（2）若该小区从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40箱，且总费用为2000元，求购买了多少箱乙品牌消毒剂？
22．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝30°， QUOTE ，点D为线段AC中点，点E为线段BC上一点且BE＝4．动点P从点A出发沿着A→B→D→C的路径运动，且动点P以每秒 QUOTE 个单位的速度在路径A→B→D上运动，以每秒2个单位的速度在路径D→C上运动，设运动时间为x秒，△PBE的面积为y．
（1）请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出当S△PBE＝S△BDC时x的值（ QUOTE ，结果精确到0.1，误差不超过0.1）．
23．（10分）五一节期间，小墩和小融相约去动物园A游玩，小融家C在小墩家B正北方向，动物园A在小墩家B的北偏西30°方向上、在小融家C的北偏西75°方向上．已知小墩家B与小融家C距离为1600米．
（1）求动物园A与小墩家B距离为多少米？（结果保留根号）
（2）在小墩家的正西方向有一个路口D恰好位于AB的中点M的正南方向，出发当天路段BM因施工无法通行，小墩到动物园A可以走路线1：B→C→A，也可以走路线2：B→D→M→A，请经过计算说明他走哪一条路线较近？（参考数据： QUOTE 1.73， QUOTE
24．（10分）如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，连接DE，CE，BD交于点G．
（1）若BD⊥CE，BD＝1，CE QUOTE ，则四边形BCDE的面积为 ；
（2）若BD+CE QUOTE ，△ABC的最大面积为S．设BD＝x，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；
（3）若（2）问中x取任意实数，将函数S的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数y的图象．直线y＝k1x﹣k1交该图象于点F，H（F点在H点左边），过点H的直线l：y＝k2x+b交该图象于另一点Q，过点F，Q的直线与直线x＝1交于点K．若S△HFK＝S△HKQ，试问直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
25．（10分）四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AD＝8， QUOTE ，BC＝14，动点P从B到C沿BC运动，点P运动的路程为x．
（1）AP的最小值是 ；
（2）线段AP绕点P顺时针方向旋转90°，得到线段PQ．
①若点Q恰好落在边CD上，求x的值；
②连接AC，若PQ∥AC，求tan∠BAP的值；
（3）连接DQ，直接写出线段DQ的最小值．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分36分）
1．【考点】相反数
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
解：2025的相反数是﹣2025．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
2．【考点】轴对称图形
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、图形是轴对称图形，不符合题意；
B、图形是轴对称图形，不符合题意；
C、图形是轴对称图形，不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的定义，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合是解题的关键．
3．【考点】全面调查与抽样调查
【分析】全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度，据此进行判断即可．
解：调查市场上蛋糕的质量情况，最适宜采用抽样调查的方式，则A不符合题意，
调查全国中小学生的身高情况，最适宜采用抽样调查的方式，则B不符合题意，
调查某新能源汽车的电池使用寿命，最适宜采用抽样调查的方式，则C不符合题意，
调查航天飞机零部件是否合格，最适宜采用普查方式，则D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查全面调查与抽样调查，熟练掌握其优缺点是解题的关键．
4．【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系
【分析】连接OB、OC，如图，利用等腰三角形的性质得∠OBA＝∠A＝75°，∠OCD＝∠D＝60°，则根据三角形内角和定理得到∠AOB＝60°，∠COD＝60°，则∠BOC＝∠AOD﹣∠AOB﹣∠COD＝60°．
解：连接OB、OC，如图，
∵OA＝OB，OC＝OD，
∴∠OBA＝∠A＝75°，∠OCD＝∠D＝60°，
∴∠AOB＝180°﹣2×75°＝30°，∠COD＝180°﹣2×60°＝60°，
∴∠BOC＝∠AOD﹣∠AOB﹣∠COD＝150°﹣30°﹣60°＝60°，
故选：D．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
5．【考点】规律型：图形的变化类
【分析】依次解出n＝1，2，3，…，图案需要的棋子枚数．再根据规律以此类推，可得出第n个图案需要的棋子枚数，进一步代入求得答案即可．
解：∵n＝1时，棋子总数是1+1+2＝4；
n＝2时，棋子总数为1+1+2+3＝7；
n＝3时，棋子总数为1+2+3+4＝10枚；
…；
∴n＝n时，棋子总数有1+1+2+3+•••+n+n+1＝1 QUOTE （枚）．
∴n＝10时，棋子总数为1 QUOTE 67（枚）．
故选：C．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
6．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】由反比例函数的性质，可知点A在第三象限，点B在第二象限，即可得到答案．
解：∵在函数 QUOTE 中，k＝2＞0，
∴反比例函数 QUOTE 的图象经过第一、三象限，
∵A（x1，y1）、B（x2，y2）都在函数 QUOTE 的图象上，且x1＜0＜x2，
∴点A（x1，y1）在第三象限，点B（x2，y2）在第一象限，
∴y1＜y2；
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质，当k＞0时，图象经过第一、三象限．
7．【考点】科学记数法—表示较大的数；有理数大小比较
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值于小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数绝对值＜1时，n是负数．
比较科学记数法表示的数时，先比较10的指数，指数大的数更大；若指数相同，则比较系数．
解：由科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值于小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数绝对值＜1时，n是负数可得：
∵选项A和C的指数为105，选项B和D的指数为106，且106＞105，
∴最大数在B和D中产生．
又∵B和D指数相同，比较6.28＞3.14，
∴6.28×106＞3.14×106，
故选：D．
【点评】本题考查了科学记数法的概念以及数的大小比较．熟练掌握科学记数法的概念是解题的关键．
8．【考点】一元二次方程的应用
【分析】由每轮传染中平均一人传染了x人，可得出第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，结合“有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感”，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入64（1+x）中，即可求出结论．
解：∵每轮传染中平均一个人传染了x人，
∴第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝64，
整理得：（x+1）2＝64，
解得：x1＝7，x2＝﹣9 （不符合题意，舍去），
∴每轮传染中平均一个人传染了7人，
∴经过三轮传染后患流感的人数为64（1+x）＝64×（1+7）＝512．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；正方形的性质
【分析】连接EB、EE′，作EM⊥AB于M，设EE′交AD于N，根据对称性，△ADE≌△ADE′≌ABE，即可判断①，进而根据等腰直角三角形的性质AM＝EM＝EN＝AN＝1，根据角平分线的性质的ED平分∠ADO，EN⊥DA，EO⊥DB，EN＝EO＝1，AO＝DO QUOTE 1，即可判断②③，进而计算三角形的周长差即可判断④；根据 QUOTE ， QUOTE ，即可判断⑤．
解：如图，连接EB、EE′，作EM⊥AB于M，设EE′交AD于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，AO＝OB＝OD＝OC，
∠DAC＝∠CAB＝∠DAE′＝45°，
根据对称性，△ADE≌△ADE′≌ABE，
∴DE＝DE′，AE＝AE′，
∴AD垂直平分EE′，故①正确，
∴EN＝NE′，
∵∠NAE＝∠NEA＝∠MAE＝∠MEA＝45°，AE QUOTE ，
∴AM＝EM＝EN＝AN＝1，
∵ED平分∠ADO，EN⊥DA，EO⊥DB，
∴EN＝EO＝1，AO＝DO QUOTE 1，
∴AE≠EO，故②错误
∴ QUOTE ，故③正确，
∴AB＝AD QUOTE AO＝2 QUOTE ，
∴ QUOTE ，故④正确，
∴ QUOTE ， QUOTE ，
∵DF＝EF，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ，故⑤错误；
综上分析可知，正确的是①③④，故B正确．
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，求正切，角平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
10．【考点】规律型：数字的变化类；整式的加减
【分析】根据每个说法所给的条件，利用规律逐项讨论并判断即可解答．
解：①根据题意得，当a1＝1时，a0没有比1小的正整数，不符合题意；
当a1＝3时，a0＝1或a0＝2符合题意，
∴有整式的和为（5+5）x2+（3+3）x+1+2＝10x2+6x+3；
∴选项①正确，符合题意；
②当n＝0时，M＝6；
当n＝1时，M＝6x+2或M＝6x+4；
当n＝2时，M＝6x2+3x+2或M＝6x2+4x+2或M＝6x2+5x+2或M＝6x2+5x+4；
当n＝3时，M＝6x3+4x2+3x+2或 M＝6x3+5x2+3x+2或 M＝6x3+5x2+4x+2；
当n＝4时，M＝6x4+5x3+4x2+3x+2；
M有且仅有11个，
∴选项②错误，不符合题意；
③第一种情况：an＝1，当n＝0时，M＝1，
∴此时，整式M有1个；
第二种情况：an＝2，当n＝0时，M＝2，
当n＝1时，M＝2x+1，
∴此时，整式M有2个；
第三种情况：an＝3，当n＝0时，M＝3，
当n＝1时，M＝3x+1或M＝3x+2，
当n＝2时，M＝3x2+2x+1，
∴此时，整式M有4个；
第四种情况：an＝4，当n＝0时，M＝4，
当n＝1时，M＝4x+1或M＝4x+2或M＝4x+3，
当n＝2时，M＝4x2+2x+1或M＝4x2+3x+1或M＝4x2+3x+2，
当n＝3时，M＝4x3+3x2+2x+1，
∴此时，整式M有8个；
第五种情况：an＝5，当n＝0时，M＝5，
当n＝1时，M＝5x+1或M＝5x+2或M＝5x+3或M＝5x+4，
当n＝2时，M＝5x2+2x+1或M＝5x2+3x+1或M＝5x2+4x+1或M＝5x2+3x+2或M＝5x2+4x+2或M＝5x2+4x+3，
当n＝3时，M＝5x3+3x2+2x+1或M＝5x3+4x2+2x+1或M＝5x3+4x2+3x+1或M＝5x3+4x2+3x+2，
当n＝4时，M＝5x4+4x3+3x2+2x+1，
∴此时，整式M有16个；
∴选项③错误，不符合题意；
正确的选项是①，
故选：B．
【点评】本题主要考查整式的规律类探索，理解题意后准确找出变化规律，并运用分类讨论的思想是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．【考点】概率公式
【分析】设袋子里有x个白球，根据摸到红球的概率是 QUOTE ，利用概率公式直接计算即可．
解：设袋子里有x个白球，
∵摸到红球的概率是 QUOTE ，
∴ QUOTE ，
解得x＝20，
经检验x＝20是方程的解，
则袋子里面有20个白球．
故答案为：20．
【点评】本题主要考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题关键．
12．【考点】平行线的性质
【分析】根据平行线的性质求解即可．
解：如图，
根据题意得，AB∥CD，
∴∠1+∠ABM＝180°，
即∠2+∠MBN+∠1＝180°，
∵∠1＝69°，∠MBN＝90°，
∴∠2＝21°，
故答案为：21．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
13．【考点】估算无理数的大小
【分析】由于3 QUOTE 4，由此可得 QUOTE 的整数部分和小数部分，再进一步代入求得数值即可．
解：∵3 QUOTE 4，
∴ QUOTE 的整数部分＝3，小数部分为 QUOTE 3，
则（﹣a）3+（b+3）2＝（﹣3）3+（ QUOTE 3+3）2＝﹣27+15＝﹣12．
故答案为：﹣12．
【点评】此题主要考查了无理数的估算和代数式求值，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
14．【考点】解一元一次方程
【分析】根据题意列出方程4x﹣5+3x+12＝0，然后求解即可．
解：根据题意得4x﹣5+3x+12＝0，
解得x＝﹣1，
所以当x＝﹣1时，代数式4x﹣5与3x+12的值互为相反数．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了解一元一次方程，正确计算是解题的关键．
15．【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理
【分析】由圆周角定理即可否定方方的结论；过点O作OC⊥AB于点C，延长OC交⊙O于点D，连接OB，由垂径定理得出CB＝4cm，再由勾股定理求出OC＝3cm，则CD＝2cm，即可否定圆圆的结论．
解：方方的结论错误，理由如下：
∵在⊙O上的点P′（不包括点A、点B）与点A、点B的连线组成的∠AP′B＝∠APB＝30°，
∴方方的结论错误；
圆圆的结论错误，理由如下：
如图3，过点O作OC⊥AB于点C，延长OC交⊙O于点D，连接OB，
则OB＝OD＝5cm，CB＝AC QUOTE AB＝4cm，
在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC QUOTE 3（cm），
∴CD＝OD﹣OC＝5﹣3＝2（cm），
∴在⊙O上，点D到直线AB的距离为2cm，
∴圆圆的结论错误，
故答案为：错误，错误．
【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
16．【考点】因式分解的应用
【分析】利用题意得到关于x，y的方程，组成方程组，解方程组即可；设设M＝1000a+100b+10c+d，则M′＝1000c+100d+10a+b，由题意求得D（M）＝9（a﹣c），连续偶数的平方差为4的倍数，确定a﹣c＝4或8，再利用等差数”M的特征解答即可得出结论．
解：由题意得：x﹣5＝6﹣y，
∴x+y＝11．
∵M＝1000x+600+50+y，M′＝5000+100y+10x+6，
∴ QUOTE ，
∴10x﹣y＝11．
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ．
∴数 QUOTE 为2659．
设M＝1000a+100b+10c+d，则M′＝1000c+100d+10a+b，
∵M为“等差数”，
∴a﹣c＝b﹣d．
D（M） QUOTE
QUOTE
QUOTE
QUOTE
＝9（a﹣c），
∵D（M）为正数且能表示为两个连续偶数的平方差，
∴a﹣c为4的倍数，
∴a﹣c＝4或8，
∵要求满足条件的最小“等差数”M，
∴a﹣c＝4，
∴b﹣d＝4．
∴a＝5，c＝1．
若要求满足条件的最小“等差数”M，则b应最小
∵一个四位数M各个数位上的数字互不相等且均不为0，
∴b＝6，d＝2．
∴满足条件的最小“等差数”M是5612．
故答案为：2659；5612．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，数位上数字的特征，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．
三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）
17．【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，进而求出整数解即可．
解： QUOTE ，
由①得：x＜2，
由②得：x≥﹣4，
∴不等式组的解集为﹣4≤x＜2，
∴不等式组的整数解为﹣4，﹣3，﹣，2，﹣1，0，1，
其和为：﹣4﹣3﹣2﹣1+0+1＝﹣9．
故答案为：﹣9．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
18．【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【分析】（1）根据题意作图即可．
（2）根据题意∠C＝∠DEB＝∠DEA＝90°，∠CBD＝∠DBE，从而得出CD＝DE，证明Rt△CDB≌Rt△EDB，求出BC＝BE＝6，AE＝4，解答即可．
解：（1）如图，BD，DE即为所求．
（2）∵∠C＝90°，
∴DC⊥BC，
∵DE⊥AB，∠CBD＝∠DBE，
∴CD＝DE，
在Rt△CDB与Rt△EDB中，
QUOTE ，
∴Rt△CDB≌Rt△EDB（HL），
∴BC＝BE＝6，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，
∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+CD+AE＝AC+AE＝7+4＝11．
【点评】该题考查了尺规作图，角平分线的性质定理，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确作图．
四．解答题（共7小题，满分70分，每小题10分）
19．【考点】用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；加权平均数；中位数；众数
【分析】（1）用总数减去其他频数可得a的值，根据中位数的定义可得c的值；用360°乘B组所占百分比可得扇形统计图B组所对应扇形的圆心角度数；
（2）根据加权平均数公式计算即可；
（3）利用样本估计总体可得答案．
解：（1）由题意得，a＝20﹣1﹣5﹣3﹣4＝7，c QUOTE 9.5，
扇形统计图B组所对应扇形的圆心角度数为：360°×（1﹣10%﹣15%﹣30% QUOTE ）＝72°；
故答案为：7，9，72；
（2）“枕头冬瓜”质量的平均数为 QUOTE （4.4+7×5+8×3+11.8×7+13.5×4）＝10；
即“枕头冬瓜”质量的平均数为10斤；
（3）3000 QUOTE 2500×30%＝1050+750＝1800（个），
答：质量在“10≤x＜12”范围的冬瓜的个数大约为1800个．
【点评】本题考查了用样本估计总体、频数分布表、扇形统计图、加权平均数、中位数、众数、极差，解决本题的关键是综合运用以上知识．
20．【考点】整式的混合运算—化简求值；分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂
【分析】根据题意化简得 QUOTE ，再计算x的值，最后代入计算即可．
解：原式 QUOTE
QUOTE
QUOTE ；
∵ QUOTE ，
∴原式 QUOTE ．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟悉多项式的混合运算．
21．【考点】分式方程的应用；一元一次方程的应用
【分析】（1）设乙品牌消毒剂每箱的价格是x元，则甲品牌消毒剂每箱的价格是（2x﹣20）元，利用数量＝总价÷单价，结合用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用200元购买乙品牌消毒剂的数量相同，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出乙品牌消毒剂每箱的价格，再将其代入（2x﹣20）中，即可求出甲品牌消毒剂每箱的价格；
（2）设购买了y箱乙品牌消毒剂，则购买了（40﹣y）箱甲品牌消毒剂，利用总价＝单价×数量，可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：（1）设乙品牌消毒剂每箱的价格是x元，则甲品牌消毒剂每箱的价格是（2x﹣20）元，
根据题意得： QUOTE ，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，
∴2x﹣20＝2×40﹣20＝60．
答：甲品牌消毒剂每箱的价格是60元，乙品牌消毒剂每箱的价格是40元；
（2）设购买了y箱乙品牌消毒剂，则购买了（40﹣y）箱甲品牌消毒剂，
根据题意得：60（40﹣y）+40y＝2000，
解得：y＝20．
答：购买了20箱乙品牌消毒剂．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
22．【考点】函数的图象；函数关系式；函数自变量的取值范围
【分析】（1）分三种情况分别求解：当点P分别在AB、BD、CD上时，分别确定对应x的取值范围，再求出对应△PBE的面积，进而写出y关于x的函数即可；
（2）画出该分段函数的图象，并根据图象，写出该函数的一条性质即可；
（3）计算S△BDC，当y取该值时对应的横坐标即为所求．
解：（1）∵AB＝BC，点D为AC中点，
∴∠A＝∠C＝30°，∠ADB＝90°．
∵∠A＝30°，
∴BD QUOTE AB QUOTE 4 QUOTE 2 QUOTE ，CD＝AD＝AB•cs∠A＝4 QUOTE 6．
①如图，当点P在AB上时，即当0≤x＜4时．
连接PE．延长AB，作EM垂直于AB的延长线于点M．
∵∠MBE＝∠A+∠C＝2×30°＝60°，
∴ME＝BE•sin∠MBE＝4 QUOTE 2 QUOTE ．
PB＝AB﹣PA＝4 QUOTE x QUOTE （4﹣x）．
∴S△PBE QUOTE PB•ME QUOTE （4﹣x）×2 QUOTE 3x+12，
∴y＝﹣3x+12（0≤x＜4）．
②如图，当点P在BD上时，即当4≤x≤6时．
连接PE，过点E作EN⊥BD于点N．
∵EN⊥BD，CD⊥BD，
∴EN∥CD，
∴∠BEN＝∠C＝30°，
∴EN＝BE•cs∠BEN＝4 QUOTE 2 QUOTE ．
PB QUOTE x﹣AB QUOTE x﹣4 QUOTE （x﹣4）．
∴S△PBE QUOTE PB•EN QUOTE （x﹣4）×2 QUOTE 3x﹣12，
∴y＝3x﹣12（4≤x≤6）．
③如图，当点P在CD上时，即当6＜x≤9时．
连接PB、PE．EF⊥AC，垂足为点F．
S△PBE＝SRt△BCD﹣SRt△BDP﹣S△PEC．
SRt△BCD QUOTE BD•CD QUOTE 2 QUOTE 6＝6 QUOTE ．
∵DP＝2（x﹣6），
∴SRt△BDP QUOTE BD•DP QUOTE 2 QUOTE 2（x﹣6）＝2 QUOTE x﹣12 QUOTE ．
∵PC＝CD﹣DP＝6﹣2（x﹣6）＝﹣2x+18，EF＝CE•sin∠C＝（BC﹣BE）•sin30°＝（4 QUOTE 4） QUOTE 2 QUOTE 2，
∴S△PEC QUOTE PC•EF QUOTE （﹣2x+18）×（2 QUOTE 2）＝﹣2（ QUOTE 1）x+18（ QUOTE 1）．
∴S△PBE＝6 QUOTE （2 QUOTE x﹣12 QUOTE ）﹣[﹣2（ QUOTE 1）x+18（ QUOTE 1）]＝﹣2x+18，
∴y＝﹣2x+18（6＜x≤9）．
综上，y＝﹣3x+12（0≤x＜4），y＝3x﹣12（4≤x≤6），y＝﹣2x+18（6＜x≤9）．
（2）该函数的图象如图所示．
由函数图象可以看出，当0≤x＜4或6＜x≤9时，y随x的增大而减小；当4≤x≤6时，y随x的增大而增大．
（3）由（2）可知，S△PBE＝S△BDC＝6 QUOTE 6×1.732＝10.392．
由图象可知，当y＝10.392时，x≈0.5．
【点评】本题考查函数的关系式、图象及自变量的取值范围，根据自变量的取值范围写出对应的函数是本题的关键．
23．【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用
【分析】（1）过点C作CN⊥AB于N，根据三角形外角的性质得∠A＝45°，则AN＝CN，在Rt△BNC中求出CN和BN即可解答；
（2）根据AB的值确定BN的值，解直角三角形求出BD、DM，分别求出路线B→C→A，路线B→D→M→A，比较即可得出答案．
解：（1）过点C作CN⊥AB于N，
∵∠ABC＝30°，
∴∠A＝75°﹣30°＝45°，
∵BC＝1600m，
∴NC＝AN QUOTE BC＝800m，
∴BN＝BC•cs30°＝1600 QUOTE 800 QUOTE （m），
∴AB＝AN+BN＝（800+800 QUOTE ）m，
答：动物园A与小墩家B距离为（800+800 QUOTE ）米；
（2）由（1）可知：AB＝（800+800 QUOTE ）m，
∵M为AB的中点，
∴AM＝BM＝（400+400 QUOTE ）m，
∵BC∥DM，
∴∠BMD＝∠ABC＝30°，
∵∠D＝90°，
∴BD QUOTE BM＝（200+200 QUOTE ）m，DM QUOTE BD＝（200 QUOTE 600）m，
∵AN＝CN＝800m，∠A＝45°，
∴AC QUOTE AN＝800 QUOTE （m），
∴路线B→C→A为BC+AC＝1600+800 QUOTE 2728（m），
路线B→D→M→A为BD+DM+AM＝200+200 QUOTE 200 QUOTE 600+400+400 QUOTE 1200+800 QUOTE 2584（m），
∵2584＜2728，
∴走路线B→D→M→A较近．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，等腰直角三角形的判定和三角形的外角性质，解决本题的关键是掌握方向角定义．
24．【考点】二次函数综合题
【分析】（1）分割法得到四边形BCDE的面积 QUOTE ，即可得出结果；
（2）根据三角形的中位线定理，证明△ADE∽△ABC，进而推出 QUOTE ，进而得到当四边形BCDE的面积最大时，S最大，过点B作BM⊥CE，过点D作DN⊥CE，则BM≤BG，DN≤DG，进而得到四边形BCDE的最大面积 QUOTE ，列出函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可；
（3）根据平移求出抛物线y的解析式，设xF＝m，根据三角形的中线平分面积，得到K为F，Q的中点，进而得到Q点坐标，设 QUOTE ，根据斜率公式求出k2，根据直线过点H，将解析式写为y﹣yH＝k2（x﹣xH），得到y QUOTE （n﹣m）（x﹣1）+x+1，令x＝1，求出y值，即可得出结果．
解：（1）∵BD⊥CE，BD＝1，CE QUOTE ，
∴四边形BCDE的面积＝S△BCE+S△DCE
QUOTE
QUOTE
QUOTE
QUOTE
QUOTE ，
故答案为： QUOTE ；
（2）∵△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC， QUOTE ，
∴△ADE∽△ABC，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
当四边形BCDE的面积最大时，△ABC的面积最大，
如图，过点B作BM⊥CE，过点D作DN⊥CE，则BM≤BG，DN≤DG，
∵四边形BCDE的面积＝S△BCE+S△DCE
QUOTE
QUOTE
QUOTE CE•BD，
∴四边形BCDE的面积最大 QUOTE CE•BD，
∵ QUOTE ，BD＝x，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
∴当 QUOTE 时，S最大为 QUOTE ；
（3）直线l是过定点．
由（2）知： QUOTE ，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
∵直线y＝k1x﹣k1交该图象于点F，H（F点在H点左边），
设xF＝m，xH＝n，
∵k1x﹣k1 QUOTE ，
∴2x2+（3k1﹣7）x﹣3k1+2＝0
∴根据韦达定理得m+n QUOTE ，mn QUOTE ，
∴m+n﹣mn QUOTE ，
∵S△HFK＝S△HKQ，
∴K为FQ的中点，
过点F，Q的直线与直线x＝1交于点K，
∴xK＝1，
∴xQ＝2﹣m，
∴ QUOTE ，
设 QUOTE ，
∴k2 QUOTE ，
∴直线l：y﹣yH＝k2（x﹣xH），
即 QUOTE
QUOTE ，
∵m+n﹣mn QUOTE ，
∴ QUOTE mn QUOTE （m+n） QUOTE ，
∴y QUOTE
QUOTE （n﹣m）（x﹣1）+x+1，
∵n﹣m≠0，
∴当x﹣1＝0，即x＝1时，y＝1+1＝2，
∴直线l过定点（1，2）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，主要考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
25．【考点】几何变换综合题
【分析】（1）根据题意，当AP⊥BC时，AP取最小值，此时证明四边形ADCP为矩形，进而解得PC，BP的值，然后由勾股定理求解即可；
（2）①当点Q恰好落在CD边上时，过点A作AE⊥BC于点E，证明△AEP≌△PCQ，由全等三角形的性质可得AE＝PC＝6，进而可得 BP＝8，即可获得答案；
②过点P作PN⊥AB于点N，过点Q作QM⊥BC于点M，易得△AEP≌△PMQ，易得PM＝AE＝6，MQ＝PE＝6﹣x，再证明△PQM∽△ACE，由相似三角形的性质可解得 QUOTE ，证明△BPN为等腰直角三角形，可解得PN，AN的值，然后根据正切的定义求解即可；
（3）过点A作AE⊥BC于点E，过点Q作QM⊥BC，交BC延长线于点M，过点Q作QN⊥CD于点N，证明△AEP≌△PMQ，由全等三角形的性质可得PM＝AE＝6，MQ＝PE，设EP＝a，则MQ＝EP＝a，PC＝8﹣a，进而可得NQ＝a﹣2，DN＝6﹣a，在Rt△DNQ中，由勾股定理可得 QUOTE ，故当a＝4 时，DQ取最小值，并确定答案．
解：（1）根据题意，当AP⊥BC时，AP取最小值，如图，
∵AD∥BC，∠C＝90°，AD＝8，
∴∠D＝180°﹣∠C＝90°，
当AP⊥BC时，有∠APC＝∠C＝∠D＝90°，
∴四边形ADCP为矩形，
∴PC＝AD＝8，
∵ QUOTE ，BC＝14，
∴BP＝BC﹣PC＝14﹣8＝6，
∴在Rt△ABP中，AP＝√AB2﹣BP2＝（62）﹣62＝6，
∴AP的最小值是6．
故答案为：6；
（2）①当点Q恰好落在CD边上时，过点A作AE⊥BC于点E，如图，
∵∠AEP＝∠C＝∠APQ＝90°，
∴∠EAP+∠APE＝∠CPQ+∠APE＝90°，
∴∠EAP＝∠CPQ，
又∵AP＝PQ，
∴△AEP≌△PCQ（AAS），
∴AE＝PC，
由（1）可知，此时CE＝AD＝8，AE＝6，
∴AE＝PC＝6，
∴BP＝BC﹣PC＝8，
即x的值为8；
②过点P作PN⊥AB于点N，过点Q作QM⊥BC于点M，如图，
∵∠AEP＝∠PMQ＝∠APQ＝90°，
∴∠EAP+∠APE＝∠MPQ+∠APE＝90°，
∴∠EAP＝∠MPQ，
又∵AP＝PQ，
∴△AEP≌△PMQ（AAS），
∴PM＝AE＝6，MQ＝PE＝BE﹣BP＝6﹣x，
∵PQ∥AC，
∴∠ACE＝∠MPQ，
∵∠AEC＝∠PMQ＝90°，
∴△PQM∽△ACE，
∴ QUOTE ，
即 QUOTE ，
解得 QUOTE ，
∵在Rt△ABE 中，∠AEB＝90°，AE＝BE＝6，
∴ QUOTE ，
即△BPN为等腰直角三角形，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ，
∴ QUOTE ；
（3）如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点Q作QM⊥BC，交BC延长线于点M，过点Q作QN⊥CD于点N，
∵∠M＝∠CNQ＝∠NCM＝90°，
∴四边形MQNC为矩形，
∴NQ＝MC，NC＝MQ，
∵∠AEP＝∠PMQ＝∠APQ＝90°，
∴∠EAP+∠APE＝∠MPQ+∠APE＝90°，
∴∠EAP＝∠MPQ，
又∵AP＝PQ，
∴△AEP≌△PMQ（AAS），
∴PM＝AE＝6，MQ＝PE，
设 EP＝a，则MQ＝EP＝a，PC＝EC﹣EP＝8﹣a，
∴NQ＝MC＝PM﹣PC＝6﹣（8﹣a）＝a﹣2，DN＝DC﹣CN＝DC﹣MQ＝6﹣a，
在Rt△DNQ中，可得 QUOTE ，
∴当a＝4时，DQ取最小值，最小值为 QUOTE ．
【点评】本题考查几何变换的综合应用，主要考查了旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角函数等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
题号
一
二
三
总分
得分
组别
质量x（斤）
频数（个）
组内冬瓜的平均质量/斤
A
4≤x＜6
1
4.4
B
6≤x＜8
5
7
C
8≤x＜10
3
8
D
10≤x＜12
a
11.8
E
12≤x≤14
4
13.5
品种
平均数
中位数
众数
极差
枕头冬瓜
b
11
10
8.5
矮冬瓜
9.9
c
9
10