第二章 平面向量及其应用（复习课件）-2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

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单元复习课件 第二章 平面向量及其应用 北师大版必修第二册·高一学习内容导览单元知识图谱2单元复习目标13考点串讲针对训练5题型剖析46课堂总结1.理解向量的概念及零向量、单位向量、共线向量的概念.熟练掌握向量的线性运算、数量积运算. 3.熟练掌握正弦、余弦定理及其变形，能利用余弦、正弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题.掌握测量距离、高度、角度等问题中正、余弦定理的应用.2. 理解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 考点一 向量的概念与表示1.向量的概念向量：在数学中，我们把既有 又有 的量叫做向量.大小方向2.向量的表示 有向线段 长度模  3.零向量与单位向量 考点一 向量的概念与表示01个单位长度1.相等向量与共线向量 考点二 向量的基本关系相同或相反非零任意相等相同2.相反向量 考点二 向量的基本关系1.相反向量：与向量a长度 ，方向 的向量，叫做a的 向量，记作 .2.相反向量的性质：(1)零向量的相反向量仍是 .(2)对于相反向量有：a+(-a)=(-a)+a= .(3)如果a，b互为相反向量，那么a=-b，b=-a，a+b= .相等相反相反-a零向量003.向量的夹角 考点二 向量的基本关系 非零向量∠AOB当θ=0时，a与b ；当θ=π时，a与b .2.两向量垂直：如果a与b的夹角是___，我们说a与b垂直，记作 .规定：零向量与任一向量垂直，即对于任一的向量a，都有 .同向反向a⊥b 0⊥a考点三 向量的加减法1.向量的加法的三角形法则  加法三角形2.向量加法的平行四边形法则考点三 向量的加减法  03.向量的减法定义及法则考点三 向量的加减法（1）向量的减法：向量a减向量b等于向量a加上b的 ，即a-b=a+(-b)  终点终点考点四 向量的数乘运算1.数乘运算的定义实数λ与向量a的积是一个 ，这种运算叫做向量的 ，记作 ，它的长度与方向规定如下：(1)|λa|= .(2)λa(a≠0)的方向：向量数乘λa|λ||a| 2．向量数乘的运算律考点四 向量的数乘运算设λ，μ为实数，那么(1)λ(μa)= .(2)(λ+μ)a= .(3)λ(a+b)= .   3.共线（平行）向量基本定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 .b=λa考点五 平面向量基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a， 实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.2.基：e1，e2 ，我们把｛e1，e2｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基.若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为 .在正交基下的向量的线性表示称为 . 若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为 . 不共线任一有且只有一对不共线1.平面向量基本定理正交基正交分解标准正交基考点五 平面向量基本定理及坐标表示2.平面向量的坐标表示设向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则如表所示.x1+x2y1+y2x1-x2y1-y2x2-x1y2-y1(λx，λy)3.向量平行的坐标表示考点五 平面向量基本定理及坐标表示设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0.向量a，b共线的充要条件是 .口诀：交叉相乘差为0.x1y2-x2y1=04.向量垂直的坐标表示设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0.向量a，b垂直的充要条件是 .x1x2+y1y2=0考点六 向量的数量积1.向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作 ，即 . 规定：零向量与任一向量的数量积为 .    对于向量a，b，c和实数λ，有(1)a·b=b·a(交换律). (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律).(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).2.数量积的运算律3.数量积的性质考点六 向量的数量积  ≤3.数量积的坐标表示考点六 向量的数量积设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b= .x1x2+y1y2若a=(x，y)，则|a|2= 或|a|=___________. x2+y2  考点七 正弦定理与余弦定理1.余弦定理及其推论平方的和余弦的积的两倍b2+c2-2bccos Ac2+a2-2cacos Ba2+b2-2abcos C   1.正弦定理语言叙述：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即________________=2R(其中R为△ABC的外接圆半径).2.正弦定理及其变形公式考点七 正弦定理与余弦定理正弦     sin A∶sin B∶sin C题型一 向量的线性运算C题型一 向量的线性运算题型一 向量的线性运算题型一 向量的线性运算 C题型二 向量的数量积运算C题型二 向量的数量积运算题型二 向量的数量积运算题型二 向量的数量积运算(1)向量数量积的两种计算方法①定义法：当已知向量的模和夹角θ时，a·b=|a||b|cos θ，有时需要注意结合平面向量基本定理和向量共线定理去表示向量；②坐标法：当已知向量的坐标a=(x1，y1)，b=(x2，y2)时，a·b=x1x2+y1y2. 题型三 余弦定理、正弦定理C题型三 余弦定理、正弦定理A题型三 余弦定理、正弦定理题型三 余弦定理、正弦定理题型三 余弦定理、正弦定理题型三 余弦定理、正弦定理 题型四 平面向量的应用1.一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶,该船实际航行方向与水流方向成30°角.求水流速度与船的实际速度.题型四 平面向量的应用  向量在实际应用中应注意的问题(1)分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图.(2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等.(3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形.(4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累.✅ 知识构建：平面向量及其应用向量的概念及表示→向量的线性运算→向量的数量积→向量的坐标表示→正余弦定理及应用✅ 思想方法：数学运算能力、数形结合、化归与转化、数学建模能力今天，我们都有哪些收获？快来说说吧.感谢聆听!