2025年北京市第四中学九年级中考一模数学试卷（原卷＋解析）

这是一份2025年北京市第四中学九年级中考一模数学试卷（原卷＋解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题2分，共16分）
1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不符合定义，不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不符合定义，不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不符合定义，不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 据网络平台数据，截至2025年3月5日18时25分，电影《哪吒之魔童闹海》观影人次突破300000000，成为中国影史首部观影人次突破300000000的电影．将300000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，关键是确定 n与a的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．
【详解】解：；
故选：B．
3. 如图，直线交于点O，于O，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了垂线、对顶角的性质，关键是掌握垂线、对顶角的性质．
已知，可得的度数，因为对顶角，即得的度数．
【详解】解：∵，
，（余角）
，
故选：A．
4. 实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴，根据实数a，b，c在数轴上对应点的位置，判断出a，b，c的符号以及绝对值的大小即可对选项逐一判断．
【详解】解：由数轴知：，，
∴，，，，
故选：C．
5. 不透明袋子中仅有2个白球，1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，放回并摇匀、再从中随机摸出一个球，则两次摸出的都是红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：由题意，列表如下：
共9种等可能的结果，其中两次摸出的都是红球的结果为1种，
∴；
故选B．
6. 如图，在中，，是边的中点．按下列要求作图：
根据上面作图，下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查作一个角等于已知角、全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，掌握基本作图以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
由作图过程可知，，，可判断选项A和选项B；
证明可判断选项C；由平行线分线段成比例定理可判断选项D．
【详解】解：由作图过程可知，，故A选项正确，不符合题意；
由作图过程可知，，，
∴，故B选项正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴
∵是边的中点，
∴，
∴，即
∵，
∴故C选项不正确，符合题意，
∵，
∴，
∴，D选项正确，不符合题意．
故选：C．
7. 某农业合作社在春耕期间采购了，两种型号无人驾驶农耕机器，已知每台型机器的进价比每台型机器进价的2倍少万元；采购相同数量的，两种型号机器．分别花费了万元和万元．若设每台型机器的进价为万元，根据题食可列出关于的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握分式方程的应用是解题的关键．
设每台型机器的进价为万元，则每台型机器的进价为万元，根据采购数量相同可列方程．
【详解】解：设每台型机器的进价为万元，则每台型机器的进价为万元，
依题意得，，
故选：C．
8. 如图，在等边中，点D，E分别是边、上的动点，且．以为边作等边．使点A与点F在直线同侧．交于点G．交于点H．给出下面四个结论：
①；
②；
③若，则；
④若，则四边形是菱形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ③④C. ①②③D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的判定性质，菱形的判定，相似三角形的判定与性质等知识；
由三角形内角和及等边三角形的性质得，由对顶角相等即可得，故①正确；
证明，再利用即可得到，故②正确；
利用，即可得，故③正确；
当时，由得，从而得是等边三角形，则，从而，即四边形是菱形，故④正确，最后确定答案．
【详解】解：∵都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，即；
∵是等边三角形，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴；
∵，
∴，
即，故③正确；
当时，即；
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，故④正确；
故选：D．
二、填空题（每小题2分，共16分）
9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【详解】分析：根据二次根式有意义的条件，即可求出实数的取值范围.
详解：被开方数为非负数，故．
故答案．
点睛：考查二次根式有意义的条件，被开方数大于等于零.
10. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查因式分解，原式提取后，再运用平方差公式 进行因式分解．
【详解】解：
，
故答案为：．
11. 方程组的解为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了用加减消元法解二元一次方程组．
【详解】解：，
得：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∴方程组的解为，
故答案为：．
12. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用关于原点对称点的性质（两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反）得出答案．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为．
故答案为：．
13. 某小区有500户家庭，随机抽取50户家庭，对某月用电量情况统计如表：
根据以上数据，估计该小区用电量在（千瓦时）的家庭有______户．
【答案】380
【解析】
【分析】本题考查了用木样本估计总体数量，理解用样本的百分比作为总体的百分比是解题的关键；求出该小区用电量在（千瓦时）的家庭所占的百分比，与小区所有家庭的乘积即可得到结果．
【详解】解：该小区用电量在（千瓦时）的家庭为：，
答：该小区用电量在（千瓦时）的家庭有380户．
14. 如图，是的直径，点、在上，若，则的度数为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得到，根据同弧所对的圆周角相等，得到，再利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：是的直径，
，（直径所对圆周角为90°）
，
，
，
故答案为：．
15. 如图，，两点在反比例函数的图象上．若将横、纵坐标都是整数的点称为整点，则线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的坐标为_________．
【答案】和
【解析】
【分析】
根据，两点在反比例函数的图象上．求出反比例函数解析式、点的坐标，根据点、、的坐标，分别求出直线、的解析式，根据坐标与图形，分析当时、当时，线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的情况，得出答案即可．
【详解】解：∵两点在反比例函数的图象上，
∴，反比例函数解析式为，
又在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵，
∴设直线解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴直线解析式为，
设直线解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴直线解析式为，
∵当时，，，
，
∴整点在线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的三角形（不含边界）中，
∵，当时，，
，
∴整点也在线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的三角形（不含边界）中，
综上所述，线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的三角形（不含边界）中，
整点的坐标为和，
故答案为：和．
16. 某工厂需要生产三种产品A，B，C，每种产品的生产分为两个阶段：第一阶段是制作，第二阶段是包装，每种产品在每个阶段所需的时间（单位：小时）如表所示：
若由一名工人单独完成三种产品的生产，那么总共需要_____小时；若由两位工人合作完成这三种产品的生产，每个阶段由一个人单独完成，每种产品制作完才可以包装，那么完成这三种产品的生产最少需要_____小时．
【答案】 ①. 54 ②. 28
【解析】
【分析】三种产品各个阶段所需时间相加即可；
一人依次完成A产品第一阶段，B产品的第一阶段，C产品的第二阶段，
另一人依次完成C产品第一阶段，A产品的第二阶段，B产品的第二阶段，则至少需要28小时．
【详解】解：三种产品各个阶段所需时间相加得，（小时）；
当由两位工人合作完成时，一人依次完成A产品第一阶段，B产品的第一阶段，C产品的第二阶段，另一人依次完成C产品第一阶段，A产品的第二阶段，B产品的第二阶段，同事进行则至少需要（小时）．
故答案为：54；28．
三、解答题（本题共12道小题，共68分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】分别计算余弦，算术平方根，绝对值，零指数幂，然后进行加减运算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了余弦，算术平方根，绝对值，零指数幂等知识．
18. 解不等式组，写出它的所有整数解．
【答案】，，0，1，2
【解析】
【分析】先根据不等式的性质分别求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可．
【详解】解：
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
所以不等式组的解集是，
所以整数解是，0，1，2．
19. 已知，求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】先将化简为，根据，代入化简后的式子中计算求值即可。
【详解】解：
，
∵ ，
∴，代入上式得，
∴．
20. 如图，四边形是平行四边形，于点，于点，，连接．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，再证明，得，则，然后证明四边形是平行四边形，即可得出结论；
（2）由矩形的性质得，再由勾股定理得，然后由全等三角形的性质得，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形；
【小问2详解】
解：，
，
由（1）可知，四边形是矩形，
，
，
，
，
由（1）可知，，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识．
21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）若为正整数，且方程的根均为整数，求此时的值．
【答案】（1）
（2）或5
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法等知识．
（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到，求出不等式的解集即可得到k的范围；
（2）找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意k的值．
【小问1详解】
解：由题意，得，
解得；
∴实数的取值范围是；
【小问2详解】
解：∵k为正整数，且方程的根均为整数，
∴是平方数
∴或5
当时，方程
解得，都是整数，符合题意；
当时，方程
解得，都是整数，符合题意；
综上所述，或5．
22. 平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．
（1）求该函数的解析式．
（2）当时，对于的每一个值，若函数的值小于函数的值且大于函数的值，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）且
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法求解析式；
（2）根据函数值小于一次函数的值，得出，当时，求出的值，然后根据题意得到不等式，即可求出的取值范围．
【小问1详解】
解：将点，代入一次函数
得，
解得
一次函数解析式：；
【小问2详解】
解：当时，
∵的值大于
∴
即
对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，
∴
又∵是不等式的解集
∴恒成立，
解得：
的取值范围是且．
23. 为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，某校举行健美操比赛．最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛，团体决赛需要分别进行五个单项比赛．单项比赛和团体决赛的计分规则如下表：
现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，部分信息如下：
a．甲班五个单项得分和乙班四个单项得分的折线图：
b．丙班五个单项得分表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲班五个单项得分的中位数为：________；
（2）已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为80，84，86，83，82，则丙班第二个单项的得分________；
（3）甲班与丙班相比较，排名比较靠前的是________班（填“甲”或“丙”）；
（4）若最终的比赛结果乙班排名居中，则乙班第五个项目的得分可能为________（得分为整数）．
【答案】（1）92 （2）83
（3）丙 （4）98
【解析】
【分析】（1）根据中位数的意义即可求解；
（2）去掉最高分与最低分，求出三个得分的平均数即可；
（3）计算两班的团体得分，即可判断；
（4）由（3）的计算知，乙的第5个单项得分即可确定．
【小问1详解】
解：甲班得分由低到高排列为80，83，92，93，98，则中间位置的分数是92，即中位数为92；
故答案为：92；
【小问2详解】
解：在80，84，86，83，82中，去掉最高分86，去掉最低分80，
则；
故答案为：83；
【小问3详解】
解：甲班的团体得分为：，
丙班的团体得分为：，
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