2024年北京市中考一模数学试题（原卷+答案解析）

这是一份2024年北京市中考一模数学试题（原卷+答案解析），文件包含2024年北京市中考一模数学试题docx、2024年北京市中考一模数学试题答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列几何体放置在水平面上，其中俯视图是圆的几何体为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查三视图中的俯视图．根据题意逐项判断即可．
【详解】解：A.俯视图是圆，此选项符合题意；
B. 俯视图是长方形，此选项不符合题意；
C. 俯视图是三角形，此选项不符合题意；
D. 俯视图是正方形，此选项不符合题意．
故选：A．
2．据报道，2024年春节假期北京接待游客约1750万人次，旅游收入同比增长近四成．将17500000用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得．
【详解】解：，
故选：C．
3．如图，，，若，则的大小为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题平行线的性质，垂直的定义．根据平行线的性质得，再根据垂直定义得，即可由求解．
【详解】解：∵
∴
∵
∴
∴
故选：C．
4．实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了，利用数轴比较数的大；由a所在位置，得出a的取值范围，即可判断、，根据不等式的性质得出的取值范围，即可判断、，即可求解，
【详解】解：由数轴可知：，则：、错误，不符合题意，
∵，则：正确，符合题意，错误，不符合题意，
故选：C．
5．每一个外角都是的正多边形是（ ）
A．正四边形B．正六边形C．正七边形D．正九边形
【答案】D
【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理．根据多边形的外角和是和这个多边形的每一个外角都等于，即可求得多边形的边数．
【详解】解：∵多边形的外角和是，这个多边形的每一个外角都等于，
∴这个多边形的边数是，
故选：D．
6．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A．B．1C．D．4
【答案】B
【分析】根据方程有两个相等的实数根，判别式等于零，进行求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数之间的关系．熟练掌握判别式等于0，方程有两个相等的实数根，是解题的关键．
7．现有三张背面完全一样的扑克牌，它们的正面花色分别为，，，若将这三张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取两张，则抽取的两张牌花色相同的概率为，则两次抽取的牌花色相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了列表法求概率．正确列表并不重复不遗漏的列出所有可能的结果数以及满足题意的结果数成为解题的关键．
根据题意列出图表，得出所有等可能的情况数和满足题意的情况数，然后根据概率公式即可解答．
【详解】解：三张扑克牌分别用A、B、B表示，列表如下：
共有6种等可能的情况数，其中抽取的两张牌花色相同的有2种情况，
则抽取的两张牌花色相同的概率为．
故选：B．
8．如图．经过圆心O，是的一条弦，，是的切线．再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，便得．
条件①：平分
条你②：
条件③：
则所有可以添加的条件序号是（ ）
A．①B．①③C．②③D．①②③
【答案】B
【分析】连接，，令，交于点，由垂径定理可知，，，则，若选条件①，可是，证，可得，若选条件②，可知，得，设，则，可得，，则，可得，若选条件③，可知，即可证，进而可证，得，可知，即可判断答案．
【详解】解：连接，，令，交于点，
∵经过圆心O，是的一条弦，，
∴，，
则，
若选条件①，∵平分，
∴，
∴，
∴，故①符合题意；
若选条件②，∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∵，则，
∴，
设，则，
∴，，
则，
∴，即，故②不符合题意；
若选条件③，∵，即：
∴，
又∵
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，故③符合题意；
综上，所有可以添加的条件序号是①③，
故选：B．
【点睛】本题属于几何综合题，考查了垂径定理，切线的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
二、填空题
9．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴x-1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
10．分解因式 ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解．先提公因式a，再运用平方差公式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
11．方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查分式方程的解法．根据题意先去分母，再解整式方程，最后检验即可．
【详解】解：去分母，得
解得
检验：经检验是原分式方程的解．
故答案为：．
12．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则的值为 ．
【答案】0
【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．将点和代入之中得，，由此可得的值．
【详解】解：函数的图象经过点和，
，，
，，
．
故答案为：0．
13．如图，在中，，，．点D在射线上运动（不与点B重合）．当的长为 时，．
【答案】8
【分析】本题主要查了等腰三角形的性质，勾股定理．根据等腰三角形的性质，可得，再由勾股定理求出的长，即可求解．
【详解】解：∵，，即，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
即当的长为8时，．
故答案为：8
14．某实验基地为全面掌握“无絮杨”树苗的生长规律，定期对2000棵该品种树苗进行抽测．近期从中随机抽测了100棵树苗，获得了它们的高度x（单位：）．数据经过整理后绘制的频数分布直方图如右图所示．若高度不低于的树苗为长势良好，则估计此时该基地培育的2000棵“无絮杨”树苗中长势良好的有 棵．
【答案】940
【分析】本题主要考查了根据样本所占百分比估计总体频数，用2000乘以样本中高度不低于的树苗的百分比，即可求出结果．
【详解】解：该基地培育的2000棵“无絮杨”树苗中长势良好的有：
（棵），
故答案为：940．
15．如图，在正方形中．点E，F，G分别在边，，上，．若，，则的度数为 （用含的式子表示）．
【答案】/
【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，过点G作于点H，证明，得出，求出，根据，即可求出结果．
【详解】解：过点G作于点H，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
16．2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．某校今年“节”策划了五个活动，规则见下图：
小云参与了所有活动．
（1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为 ；
（2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为 ．
【答案】 鲁班锁； 1，2，3
【分析】本题主要考查了逻辑推理：
（1）根据小云参与了所有活动．可得小云第一个挑战必定成功，再由只挑战成功一个，可得小云第一个挑战成功需要得到4个“币”，即可；
（2）根据题意可得小云第一个挑战必定成功，且挑战成功的活动可能为华容道或魔方或鲁班锁，第二，三、五次挑战失败，然后分三种情况讨论，即可．
【详解】解：∵小云参与了所有活动．
∴小云第一个挑战必定成功，
∵小云只挑战成功一个，
∴小云第一个挑战成功需要得到4个“币”，
∴挑战成功的活动名称为鲁班锁；
故答案为：鲁班锁；
（2）∵小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，
∴小云第一个挑战必定成功，且挑战成功的活动可能为华容道或魔方或鲁班锁，第二，三、五次挑战失败，
若第一次挑战华容道，
当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战魔方时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战鲁班锁时，最终剩下的“币”数量的取值为；
若第一次挑战魔方，
当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战华容道时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战鲁班锁时，最终剩下的“币”数量的取值为；
若第一次挑战鲁班锁，
当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战华容道或魔方时，最终剩下的“币”数量的取值为；
综上所述，最终剩下的“币”数量的所有可能取值为1，2，3．
故答案为：1，2，3
三、解答题
17．计算：；
【答案】
【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用特殊锐角三角函数值，绝对值，负整数指数幂，二次根式的性质计算即可．
【详解】解：原式
．
18．解不等式组：
【答案】
【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的一般解法是解决问题的关键．
先解不等式，得，再解不等式，得，由此可得原不等式组的解集．
【详解】解：原不等式组为
解不等式①，得．
解不等式②，得．
原不等式组的解集为．
19．已知，求代数式的值．
【答案】1
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据完全平方公式去括号，然后把分母合并同类项得到，再根据已知条件可得，据此可得答案．
【详解】解：
，
，
．
原式．
20．如图，在中，O为的中点，点E，F分别在上，经过点O，．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若E为的中点，，．求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先得出，．结合线段中点，得出，得证，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可作答．
（2）先得出，结合菱形性质，在中，由勾股定理得，代入数值进行计算，即可作答．
【详解】（1）证明：四边形为平行四边形，
．
，．
为的中点，
．
．
．
，
四边形为平行四边形．
，
四边形为菱形．
（2）解：为的中点，，
．
四边形为菱形，
．
．
在中，由勾股定理得．
为的中点，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
21．下图是某房屋的平面示意图．房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨房和卫生间地面铺设瓷砖．将房间地面全部铺设完预计需要花费10000元，其中包含安装费1270元．若每平方米木地板的瓷砖的价格之比是，求每平方米木地板和瓷砖的价格．

【答案】每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 设每平方米木地板的价格为元，则每平方米瓷砖的价格为元，根据花费10000元，其中包含安装费1270元列方程求解即可．
【详解】解：设每平方米木地板的价格为元，则每平方米瓷砖的价格为元．
厨房面积：，
卫生间面积：，
客厅面积：，
卧室面积：，
由题意可得，，
解得，
，．
答：每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元．
22．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．
(1)求该函数的解析式；
(2)当时．对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)函数的解析式为
(2)
【分析】本题考查一次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法和数形结合思想求解是解答的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）将代入中，求得，则；将代入中求得，则，作出图象，再结合一次函数的图象与性质求解即可．
【详解】（1）解：把点和代入得：
，
解得，
该函数的解析式为；
（2）解：将代入中，
解得，
此时函数解析式为
将代入中，
解得，
此时函数的解析式为，
如图，

由于当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，
根据图象可得直线与直线的交点的横坐标不小于1，
．
23．商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅．下面给出了商品售价和成本（单位：元）的相关公式和部分信息：
．计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为：
，；
．规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半；
．甲、乙两种商品成本与售价信息如下：
甲商品的成本与售价信息表
乙商品的成本与售价统计图
根据以上信息，回答下列问题：
(1)甲商品这五周成本的平均数为___________，中位数为___________；
(2)表中m的值为____________，从第三周到第五周，甲商品第_______周的售价最高；
(3)记乙商品这周售价的方差为，若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，重新计算每周售价，记这周新售价的方差为，则________；（填“”“”或“”）．
【答案】(1)，
(2)，四
(3)
【分析】（1）由题意知，成本从小到大依次排序为；则甲商品这五周成本的平均数为，中位数为第3个位置的数，求解作答即可；
（2）由题意知，第二周成本的涨跌幅为，第二周售价的涨跌幅为，可求；同理可求；；根据，作答即可；
（3）由，可知改规定后售价的波动比改规定前的售价波动小，即，然后作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，成本从小到大依次排序为；
∴甲商品这五周成本的平均数为，
中位数为第3个位置的数即中位数是，
故答案为：，；
（2）解：由题意知，第二周成本的涨跌幅为，
∴第二周售价的涨跌幅为，
解得，；
同理，第四周成本的涨跌幅为，第四周售价的涨跌幅为，
解得，；
第五周成本的涨跌幅为，第五周售价的涨跌幅为，
解得，；
∵，
∴从第三周到第五周，甲商品第四周的售价最高，
故答案为：，四；
（3）解：由题意知，改规定前“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”，改规定后“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，
∵，
∴改规定后售价的波动比改规定前的售价波动小，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平均数，中位数，一元一次方程的应用，方差与稳定性．熟练掌握平均数，中位数，一元一次方程的应用，方差与稳定性是解题的关键．
24．如图，、均为的直径．点E在上，连接，交于点F，连，，点G在的延长线上，．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据圆周角定理可得，结合已知可得，再根据等腰三角形的性质得出，求出即可得出结论；
（2）连接，根据等腰三角形的性质求出，进而可得，的长，然后根据三角函数的定义和勾股定理求出，再在中，根据三角函数的定义和勾股定理求出，进而可得的长．
【详解】（1）证明：，
，
，
，即，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
为的直径，
与相切；
（2）解：连接，如图，
，，，
．
在中，，，
∴，
，
，
，
为的直径，
．
∴在中，，
∴，
由勾股定理得．
，
，
．
，
∴在中，，
∴，
∴，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，切线的判定等知识，作出合适的辅助线，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
25．某校为培养学生的阅读习惯，发起“阅读悦听”活动，现有两种打卡奖励方式：
方式一：每天打卡可领取听书时长；
方式二：第一天打卡可领取听书时长，之后每天打卡领取的听书时长是前一天的2倍．
(1)根据上述两种打卡奖励方式补全表二：
表一每天领取听书时长
表二累计领取听书时长
(2)根据表二，以天数n为横坐标，以该天累计领取的听书时长为纵坐标，绘制了相应的点，并用虚线表达了变化趋势．其中表示方式二变化趋势的虚线是________（填a或b），从第_______天完成打卡时开始，选择方式二累计领取的听书时长超过方式一；
(3)现有一本时长不超过的有声读物，小云希望通过打卡领取该有声读物．若选择方式二比选择方式一所需的打卡天数多两天，则这本有声读物的时长t（单位：）的取值范围是______．
【答案】(1)，
(2)，7
(3)
【分析】（1）根据表二中两种方式每天累计领取听书时长的数字规律，即得答案；
（2）根据表二中的数据变化情况及图中两线的交点情况，即得答案；
（3）由已知可得选择方式一只需打卡1天，选择方式二需打卡3天，由此即得答案．
【详解】（1）表二中，对于方式一，第1天累计领取听书时长为，
第2天累计领取听书时长为，
第3天累计领取听书时长为，
依次规律，第n天累计领取听书时长为；
对于方式二，第1天累计领取听书时长为，
第2天累计领取听书时长为，
第3天累计领取听书时长为，
依次规律，第n天累计领取听书时长为；
故答案为：，．
（2）由表二的数据可知，表示方式二变化趋势的虚线是a，第7天开始，曲线a上点的纵坐标大于射线b上对应点的纵坐标，
即选择方式二累计领取的听书时长超过方式一；
故答案为：，7．
（3）该有声读物的听书时长不超过，
选择方式一只需打卡1天，
选择方式二需打卡3天，
t的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字规律的探求，函数的表示方法,从函数图象获取信息及求函数值的取值范围等知识，正确理解题意是解题的关键．
26．在平面坐标系中，点在抛物线上，其中．
(1)当，时．求抛物线的对称轴；
(2)已知当时，总有．
①求证：；
②点，在该抛物线上，是否存在a，b，使得当时，都有？若存在，求出与之间的数量关系；若不存在，说明理由．
【答案】(1)抛物线的对称轴为直线
(2)①证明见解析；②存在，，理由见解析
【分析】（1）将点代入，求出、的关系式，根据对称轴公式，即可求解，
（2）①方法一：求出抛物线与轴交点，根据的符号分类讨论，即可求解，方法二：将代入，，根据，，得到，即可求解，
（3）设抛物线的对称轴为，则，由，得到，，根据的范围，二次函数的增减性，分情况讨论即可求解，
本题考查了，求抛物线的对称轴，二次函数的增减性，解题的关键是：熟练掌握二次函数的增减性．
【详解】（1）解：由题意可知，点在抛物线上，
，
，
，
抛物线的对称轴为直线；
（2）解：①方法一：
令，则，
解得：或，
抛物线与轴交于点，，
，
抛物线开口向上，
（i）当时，，
当时，；当或时，，
当时，总有，
，
，
，
（ii）当时，，
当时，；当或时，，
当时，，不符合题意，
综上，，
方法二：
由题意可知，．
若，则．
，
．
，
．
当时，．
当时，总有．
．
，
，
②存在，
设抛物线的对称轴为，则，
，
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
，
，，
（i）当时，
，
，符合题意，
（ii）当时，
当时，
，
，
当时，
设点关于抛物线对称轴的对称点为点，
则，，
，
，，
，
，
，
，
，
当时，符合题意，
（iii）当时，
令，，则，不符合题意，
（iv）当时，
令，则，
，不符合题意，
（v）当时，
，
，不符合题意，
当，即时，符合题意，
，
，
由（1）可得，
．
27．在中．，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段．点D关于直线的对称点为E．连接，．
(1)如图1，当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明；
(2)连接，依题意补全图2．若，求的大小．
【答案】(1)，证明见解析；
(2)．
【分析】（1）先证明是等边三角形，由等边三角形的性质与直角三角形的性质得，再根据正切三角函数定义求解即可得出结论．
（2）方法一：延长至，使，连接，，，，，如图2，先证明，再证明，得．从而得出．即可求解．
方法二：如图3，取中点，连接，，，，设．先证明，再证明．得．即可求解．
【详解】（1）解：线段与的数量关系：．
证明：连接，如图1．
点，关于直线对称，
直线是线段的垂直平分线．
．
．
．
是等边三角形．
，．
中，，，
．
依题意，得，点在上．
．
．
．
．
．
在中，．
．
．
（2）解：依题意补全图2，如图．
方法一：延长至，使，连接，，，，，如图2．
，
．
，
是等边三角形．
，．
点，关于直线对称，
直线是线段的垂直平分线．
，．
．
，
．
，
．
．
，
．
，，
．
．
．
．
方法二：如图3，取中点，连接，，，，设．
点，关于直线对称，
直线是线段的垂直平分线．
，．
．
．
，
．
．
，，
．
．
．
由（1）可得．
为中点，
．
．
，，，
．
．
．
，，
．
．
．
【点睛】本题考查轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正切三角函数，旋转的性质，全等三角形的判定与性质．掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正切三角函数等知识是解题的关键．
28．在平面直角坐标系中，对于图形与图形给出如下定义：为图形上任意一点，将图形绕点顺时针旋转得到，将所有组成的图形记作，称是图形关于图形的“关联图形”．
(1)已知，，，其中．
若，请在图中画出点关于线段的“关联图形”；
若点关于线段的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出的取值范围；
(2)对于平面上一条长度为的线段和一个半径为的圆，点在线段关于圆的“关联图形”上，记点的纵坐标的最大值和最小值的差为，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出的取值范围（用含和的式子表示）．
【答案】(1)①见详解；②或
(2)
【分析】（）根据新定义找出关键点的旋转后连接即可；
同上理分情况讨论即可；
（）画出分析图，如图所示，线段的长度为，圆的半径为，易得且相似比为，再移动图形即可求出；
本题考查了旋转的性质，圆的有关性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示：线段即为所求；
如图：
当 时，点关于线段的“关联图形”与轴恰有公共点，
∴时，点关于线段的“关联图形”与轴有公共点；
当 时，点关于线段的“关联图形”与轴恰有公共点，
∴时，点关于线段的“关联图形”与轴有公共点；
综上所述：或；
（2）如图，
画出分析图，如图所示，线段的长度为，圆的半径为，
点分别绕点顺时针旋转得到，
分析可知且相似比为，
可得圆的半径均为，
随意转动图，可得．
A
B
B
A
（B，A）
（B，A）
B
（A，B）
（B，B）
B
（A，B）
（B，B）
第一周
第二周
第三周
第四周
第五周
成本
售价
m
n
p
天数
1
2
3
4
···
n
方式一
60
60
60
60
···
60
方式二
5
···
天数
1
2
3
4
···
n
方式一
60
120
180
240
···
方式二
···