2025学年北京市海淀区中考数学一模试卷（原卷版＋解析版）

这是一份2025学年北京市海淀区中考数学一模试卷（原卷版＋解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
1. 中国传统工艺美术纹样承载着深厚的文化内涵和象征意义．下列纹样中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，正确理解中心对称图形的定义是解答本题的关键．
“ 把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”，根据中心对称图形的定义即可得到结果．
【详解】解：A、根据定义，该图是中心对称图形，符合题意；
B、根据定义，该图不是中心对称图形，不符合题意；
C、根据定义，该图不是中心对称图形，不符合题意；
D、根据定义，该图不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
2. 如图，直线、相交于点，．若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是对顶角相等，邻补角的性质，角的和差运算，．
根据对顶角得出，然后结合图形求解即可 再利用角平分线的定义求解 再利用角的和差关系可得答案．
【详解】解：，
， （对顶角相等）
，
故选：C．
3. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据点在数轴上的位置得出，，再结合有理数的除法，有理数的减法，绝对值的性质逐项分析即可求解．
【详解】解：根据题意可得：，，
故，B选项错误，不符合题意；
故，A选项错误，不符合题意；
故，C选项错误，不符合题意；
则，
故，D选项正确，符合题意；
故选：D．
4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（ ）
A. B. C. 1D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：；
故选C．
5. 不透明袋子中装有个红球和个黄球，这些小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出两个小球，恰好摸出个红球和1个黄球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了列树状图或表格求概率，概率公式．先根据题意列出树状图，再分别得出所有可能的情况数和满足摸出个红球和1个黄球的情况数，结合概率公式即可求解．
【详解】解：列树状图，如图：
有图可知，随机摸出两个小球，所有等可能的情况有种，其中满足摸出个红球和1个黄球的情况有种，
∴恰好摸出个红球和1个黄球的概率为．
故选：B．
6. 为进一步提高义务教育质量，某地区今年义务教育财政预算支出比去年上调了．已知该地区去年的义务教育财政预算支出约为元，则今年的义务教育财政预算支出约为（ ）
A. 元B. 元C. 元D. 元
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要查了同底数幂相乘．用乘以，即可求解．
【详解】解：元，
即今年的义务教育财政预算支出约为元．
故选：C
7. 已知：如图，四边形是平行四边形，点为上的一点（不与点、重合），连接．
求作：点，使得点在上，且．
甲、乙、丙三名同学的尺规作图方法如下：
甲：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接；
乙：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接；
丙：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．
上述三名同学的作法一定正确的是（ ）
A. 甲、乙B. 乙、丙C. 甲、丙D. 甲、乙、丙
【答案】C
【解析】
【分析】
结合基本的尺规操作，利用平行四边形的判定定理逐项进行判定即可．
【详解】解：
甲：如图所示，此时，
∴四边形是平行四边形，
∴，
故甲作法正确，符合题意；
乙：如图所示，此时，
而四边形不是平行四边形，
∴与不平行，
故乙作法错误，不符合题意；
丙：如图所示，此时，
∴，
即，对边平行且相等，
∴四边形是平行四边形，
∴，
故丙作法正确，符合题意；
故选：C．
8. 图1是半径为的圆形硬币，点是硬币外沿上的一定点．图2为四个轨道（厚度不计），分别记为轨道①、②、③和④，它们的形状分别为圆、长宽比为的矩形、正方形和正六边形，周长均为，对称中心均记为点P．点为轨道上一定点（除轨道①外，均为的中点）．将硬币放置在轨道外侧，使硬币与轨道在同一个平面内，且点与重合．若硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点第一次回到轨道上时，记轨道上该处位置为，则四个轨道中，最大的是（ ）
A. 轨道①B. 轨道②C. 轨道③D. 轨道④
【答案】B
【解析】
【分析】 先求出圆形硬币的周长为，则硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点第一次回到轨道上时，点M的运动路径长为；轨道①滚动可得的长为，据此可求出；
轨道②滚动可确定，过点P作于H，连接，证明四边形是矩形，得到，再证明是等腰直角三角形，得到，据此可求出；
轨道③滚动，类似于轨道②可求出；轨道④滑动，可得点是的中点，连接，证明都是等边三角形，得到，则，同理可得，则；据此可得答案．
【详解】解：∵圆形硬币的半径为，
∴圆形硬币的周长为，
∴硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点第一次回到轨道上时，点M的运动路径长为；
当沿着轨道①滚动时，则的长为，
∴；
当沿着轨道②滑动时，
∵四边形是长宽比为的矩形，
∴，
∵四边形周长为，
∴，
∵点N为的中点，
∴，
∴；
如图所示，过点P作于H，连接，
∵点P为矩形的对称中心，
∴，
∴，，
又∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
当沿轨道③滑动时，
∵正方形的周长为，
∴，
∵点N为的中点，
∴，
∴，
如图所示，过点P作于H，连接，
同理可得，，
∴，
∴，
∴，
∴；
当沿着轨道④滑动时，
∵正六边形的周长为，
∴，
∵点N为的中点，
∴，
∴点是的中点，
如图所示，连接，则，
又∵，
∴都是等边三角形，
∴，
∴，
同理可得，
∴；
综上所述，当沿着轨道②滚动时，最大，
故选：B．
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件列式求解．
【详解】解：由题意可得，
解得：，
故答案为：．
【点睛】理解分式有意义的条件是分母不能为零．
10. 分解因式：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解，提公因式后，再利用平方差公式因式分解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法相结合进行因式分解．
11. 方程的解为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得到答案．
【详解】解：
去分母得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解，
故答案为：．
12. 如图，的直径平分弦（不是直径）．若，则的大小为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据圆周角定理得出，根据垂径定理求出，根据在同圆中，等弧所对的圆心角相等即可求解．
【详解】解：连接，如图：
∵，，
∴，（同弧圆心角等于圆周角的2倍）
∵直径平分弦，
∴，
∴．（等弧所对的圆心角相等）
故答案为：．
13. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于，两点．若点的坐标是，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】把点分别代入和得的值，再联立方程组，解方程可得B的坐标．
【详解】解：把点代入得，
，
∴；
把点代入，得，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
联立方程组得，
解得或，
经检验均符合题意；
∵，
∴；
故答案为：．
14. 某智能家居公司生产了3000台智能音箱．为了解这3000台智能音箱的响应时间，从中随机抽取60台智能音箱进行检测，获得了它们的响应时间（单位：秒），数据整理如下：
根据以上数据，估计这3000台智能音箱中响应时间小于1秒的音箱数量为______台．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用样本所占比例估计总体数量，解题的关键是利用样本估计总体思想的运用．
用乘以智能音箱中响应时间小于1秒的音箱所占的比例即可．
【详解】解：估计3000台智能音箱中响应时间小于1秒的音箱数量为台．
故答案为：．
15. 如图，点是正方形对角线上的一点，于点．连接并延长交于点，连接．若，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据正方形的性质得出，，，
根据全等三角形的判定和性质得出，
根据等腰直角三角形的判定和性质求出，根据勾股定理求出，则，
根据平行线的判定定理得出，根据相似三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，是四边形的对角线，
∴
，，，
∴，
∴，
∵，
即，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，
，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴．
故答案为：．
16. 某公司设有三个充电桩，分别为一个快充桩和两个慢充桩．每个充电桩在同一时间仅为一辆车提供充电服务，且每辆车充电完成前，充电过程不得中断．现有五辆车待充电，每辆车的充电需求如下表：
车辆充电交接时间忽略不计，请回答下列问题：
（1）若其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，则这四辆车的序号可以为______（写出一种即可）；
（2）这五辆车完成充电总用时最短为______分钟．
【答案】 ①. （答案不唯一） ②. 200
【解析】
【分析】根据每辆车的充电需求，合理安排时间是解决本题的关键．
（1）根据其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，进行合理安排即可；
（2）优先考虑慢充时间最长的应当安排快充，据此进行求解即可．
【详解】解：
（1）要使其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，可安排如下：快充桩可依次提供给充电，两个慢充桩可分别提供给充电，
故答案为：（答案不唯一）；
要使五辆车完成充电总用时最短，
可安排如下：快充桩可依次提供给充电，共需要（分钟），
两个慢充桩可分别提供给充电，其中充电完成需要150分钟，充电完成需要170分钟，
15055,
∴小明的得分满足得分之和不低于100分，且“智趣挑战”得分不低于55分．
答：小明可以获得校园文创奖品．
22. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点．
（1）求，的值；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）且
【解析】
【分析】
（1）将代入，先求出k，再将和k的值代入即可求出b；
（2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线的上方，在的下方，画出临界状态图象分析即可．
【小问1详解】
解：函数与的图象交于点，
∴，
解得；
所以
【小问2详解】
解：由（1）得：，，
如图，记Q为与的焦点，则，
当时，，即在的图象上，
当过时，，
如图，当函数的图象平行函数的图象时，，
此时满足：当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，
要满足当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，
即函数与的交点在点及点左侧，
即，
综上：当时，对于每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，的取值范围为：且．
23. 某学校生物社团开展丁一项关于“探究不同浓度生长素对绿豆幼苗生长的影响”的实验．社团成员将绿豆种子分别放置在5种不同浓度生长素溶液的培养皿中培养，每种浓度（单位：ppm）设置6个重复组、一段时间后测量绿豆幼苗的高度（单位：cm），得到相关的数据，对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．不同浓度生长素溶液中的绿豆幼苗高度的平均数与中位数统计图如下：
b．生长素浓度为10和15时，各重复组绿豆幼苗高度的数据如下：
c．同浓度生长素溶液中的绿豆幼苗高度的方差如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全统计图，并标明数据；
（2）从不同生长素浓度下绿豆幼苗高度的平均数的变化趋势来看，生长素浓度为______时对绿豆幼苗生长的促进作用更大；
（3）若将每组绿豆幼苗高度平均数与生长素浓度看作两个变量，根据这组数据，尝试建立一个简单的函数模型来描述它们之间的关系，你认为可以选择的是______（填序号）；
①正比例函数 ②一次函数 ③反比例函数 ④二次函数
（4）请判断：______（填“”“”或“”）．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）④ （4）
【解析】
【分析】
（1）求出生长素浓度为10的中位数为，生长素浓度为15时的平均数为，补全统计图即可；
（2）由统计图得到生长素浓度为时对绿豆幼苗生长的促进作用更大，即可得到答案；
（3）根据统计图得，数据呈现先增厚减的趋势，符合二次函数的特征，即可得到答案；
（4）求出生长素浓度为10的方差，再比较大小即可．
小问1详解】
解：6组数据，位于第3和第4位的分别为10.1和10.2，所以生长素浓度为10的中位数为，
生长素浓度为15时的平均数为，
补全统计图如下：
【小问2详解】
解：根据统计图得不同生长素浓度下绿豆幼苗高度的平均数分别为，
最大
生长素浓度为时对绿豆幼苗生长的促进作用更大，
故答案为：；
【小问3详解】
解：根据统计图得，数据呈现先增后减的趋势，符合二次函数的图像特征，
故答案为： ④；
【小问4详解】
解：生长素浓度为10的方差，
，
故答案为：．
24. 如图，在中，，以为直径作交于点D．点在线段上，．连接并延长交于．
（1）求证：；
（2）连接交于点．若，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，设，先证明，然后证明，再逐步求得，即得答案；
（2）连接，先证明，接着证明，即得和，从而可得，继续证明是等边三角形，最后利用直角三角形的性质，即可求得答案．
【小问1详解】
证明：如图，连接，设，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图，连接，
由（1）可得，，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
即的半径为．
25. 科学兴趣小组利用不同材料制作了，两种太阳能电池板，记录了在一定条件下，当光照强度为（单位：）时，电池板的输出电压（单位：）和电池板的输出电压（单位：）．部分数据如下：
通过分析数据发现，可以用函数刻画与，与之间的关系，回答下列问题：
（1）①可以看作是关于的正比例函数，则的值为______；
②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高．请选出中不符合这条规律的数据，在表格中划“×”；
（2）结合（1）的研究结果，在给出的平面直角坐标系中画出，两个函数的图象；
（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当光照强度为时，电池板的输出电压与电池板的输出电压之差约为______V（结果保留小数点后一位）；
②如果想使两块电池板的输出电压之和不低于，则光照强度应至少达到______（结果保留整数）．
【答案】（1）①；②见解析
（2）见解析 （3）①；②31
【解析】
【分析】
（1）①设，利用待定系数法求出，再将代入计算即可得；
②根据当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高即可得；
（2）根据表格数据，描点画出函数图象即可得；
（3）①根据表格和函数图象求出当时，，的值，由此即可得；
②根据表格和函数图象求出当时，，的值，再根据都是随的增大而增大即可得．
【小问1详解】
解：①由题意，设，
将点代入得：解得，
则，
所以，
故答案为：．
②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高．选出中不符合这条规律的数据，在表格中划“”如下：
【小问2详解】
解：在给出的平面直角坐标系中画出，两个函数的图象如下：
．
【小问3详解】
解：①当时，，
由表格和函数图象可知，当时，，
则，
即当光照强度为时，电池板的输出电压与电池板的输出电压之差约为，
故答案为：．
②由表格数据可知，当时，，
当时，，，
∴，
∵都是随的增大而增大，
∴如果想使两块电池板的输出电压之和不低于，则光照强度应至少达到，
故答案为：31．
26. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为．
（1）当，时，求的值；
（2）当时，若对于，都有，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）当时，点的坐标为，根据抛物线上点的坐标特征得出，，根据题意求得，根据抛物线的性质即可求出；
（2）分为抛物线的对称轴在点的左侧和右侧两种情况进行分析，当抛物线的对称轴在点的左侧时，即时，根据抛物线的对称性求出点关于对称的点为，结合抛物线的性质得出点在的左侧，即，结合题意列出不等式，即可求出的取值范围是；当抛物线的对称轴在点的右侧时，即时，结合抛物线的性质得出点在的左侧，点在的左侧，结合题意列出不等式，即可求出的取值范围是；即可求解．
【小问1详解】
解：当时，点的坐标为，
∵点，在抛物线上，
∴，．
又∵，
∴．
即，
∵抛物线的对称轴为，
故．
【小问2详解】
解：分两种情况：
情况1：当抛物线的对称轴在点的右侧时，即时，
，
∴抛物线开口向上，
故当时，随的增大而减小，
∵，
∴点在的左侧，
即，
∵时，都有成立，
∴，
解得，
又∵，
故的取值范围是．
情况2：当抛物线的对称轴在点的左侧时，即时，
点关于对称的点为，
根据抛物线的对称性可得点也在抛物线上，
则；
∵，
∴抛物线开口向上，
故当时，随的增大而减小．
∵，
∴点在的左侧，
即，
∵时，都有成立，
∴，
解得；
又∵，
故的取值范围是；
综上，的取值范围是．
27. 如图，在中，，，于，将射线绕点顺时针旋转得到射线，过点作的垂线交于点，交射线于点，连接．
（1）依题意补全图形，并求的大小（用含的式子表示）；
（2）在上取点，使，连接．用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】（1）
（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据要求画出图形，证明，再证明，即可得到结论；
（2）过点作于，连接DH，证明．则，，在以为圆心，BD为半径的圆上．得到．证明．得到．求出．即可得到结论．
【小问1详解】
解：如图所示：
，于．
∴．
如图，∵射线绕点顺时针旋转得到射线，
∴
．
∵于，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
【小问2详解】
线段和的数量关系为．
证明：过点作于，连接，如图所示．
∵于，
∴．
∵，
∴．
∵由（1），，
∴．
，，在以为圆心，为半径的圆上．
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
28. 在平面直角坐标系中，对于点、和图形，将图形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，得到图形．若点在图形上，则称点为图形关于点的“位移点”．
如图，点、．
（1）若半径为1，
①在、、中，关于点的“位移点”是______；
②若在线段上存在一点，使得点为关于点的“位移点”，直接写出的长的取值范围；
（2）已知点，半径为1，点在上，点为线段关于点的“位移点”．点，半径为，点在上．若存在点D，P，使为以点为直角顶点的等腰直角三角形，直接写出的取值范围．
【答案】（1）①、；②
（2）或
【解析】
【分析】（1）①将沿射线方向平移的长的距离，可以得到，且半径为1，根据新定义可知关于点的“位移点”在上，再逐个分析即可判断；②沿射线方向平移的长的距离，可以得到，且半径为1，根据新定义可知点在上，再利用线段的性质得到的最小值为，的最大值为，再对的长分情况讨论即可求解；
（2）分①点在的右左侧；②点在的右侧2种情况讨论，连接，以为斜边作等腰直角三角形，作轴于，作于，连接，利用相似三角形的性质求出，利用全等三角形的性质求出点的坐标，得出点的轨迹是以点为圆心，半径为1的圆，记为；将线段沿射线方向平移的长的距离，可以得到线段，根据新定义可知在线段上存在一点，使得点在以为圆心，半径为1的圆上，记此时的圆为，再讨论与的位置关系即可求出的取值范围．
【小问1详解】
解：①，半径为1，
沿射线方向平移的长的距离，可以得到，且半径为1，
，
，
，
、在上，
关于点的“位移点”是、，
故答案为：、；
②由题意得，沿射线方向平移的长的距离，可以得到，且半径为1，
点为关于点“位移点”，
点在上，
，
，
，
的最小值为，的最大值为，
点在线段上，
当时，最小；当点与点重合时，最大，
当点与点重合时，
则，此时的最大值为，
当时，
，，
是等腰直角三角形，，
又，
，此时的最小值为；
综上所述，的长的取值范围为．
【小问2详解】
解：①当点在的左侧，连接，以为斜边在左侧作等腰直角三角形，作轴于，作于，连接，如图所示，
同理①的方法可得，，，
点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，记为；
将线段沿射线方向平移的长的距离，可以得到线段，则有，，
半径为1，点在上，
，
又点为线段关于点的“位移点”，
在线段上存在一点，使得点在以为圆心，半径为1的圆上，记此时的圆为，
当点与点重合，且与相切（在下方）时，此时，如图所示，
，
，
解得：，
当时，满足题意；
②当点在的右侧，连接，以为斜边在右侧作等腰直角三角形，作轴于，作于，连接，如图所示，
和是等腰直角三角形，
，，
，即，
，
，
，
，
，
又，
，
又，，
，
，，
设，，
由点可得，解得，
，
点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，记为；
将线段沿射线方向平移的长的距离，可以得到线段，则有，，
半径为1，点在上，
，
又点为线段关于点的“位移点”，
在线段上存在一点，使得点在以为圆心，半径为1的圆上，记此时的圆为，
当点与点重合，且与相切（在右侧）时，此时，有最大值，如图所示，
此时，
，
当，且与相切（在左侧）时，此时，有最小值，如图所示，连接，
由（1）得，是等腰直角三角形，则有，
由平移的性质得，，
，，
轴，
，
是等腰直角三角形，，
，
；
的取值范围为；
综上所述，的取值范围为或．
【点睛】，理解“位移点”的定义画出对应的示意图是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的知识理解运用和数形结合能力，适合有能力解决难题的学生．考生须知
1．本试卷共8页，共两部分，28道题，满分100分．考试时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
响应时间t（秒）
音箱数量（台）
15
25
10
10
车辆序号
A
B
C
D
E
快充桩充电时间（分钟）
70
40
无法使用
90
60
慢充桩充电时间（分钟）
210
120
150
无法使用
170
生长素浓度
各重复组绿豆幼苗高度
10
9.9
10.0
10.1
10.2
10.7
10.7
15
8.4
8.5
86
8.7
8.8
9.2
生长素浓度
0
5
10
15
20
方差
0.108
0.083
n
0.067
0.041
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
0.6
1.2
1.8
m
3.0
3.6
4.2
4.8
5.4
6.0
0
2.4
3.8
4.6
5.0
5.3
5.5
5.7
5.8
5.6
6.0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
0.6
1.2
1.8
3.0
3.6
4.2
4.8
5.4
6.0
0
2.4
3.8
4.6
5.0
5.3
5.5
5.7
5.8
5.6
6.0