上海市杨浦区2025-2026学年九年级第二学期质量调研(二) 数学学科试卷（原卷版＋解析版）

这是一份上海市杨浦区2025-2026学年九年级第二学期质量调研(二) 数学学科试卷（原卷版＋解析版），共26页。试卷主要包含了 计算等内容，欢迎下载使用。
2026.3
（测试时间：100分钟，满分：150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共22题；
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤．
4．数学教研室保留版权．
以下为试卷部分：
一、选择题（本大题共4题，第1-2题4分，第3-4题5分，满分18分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1. 下列选项条件中，一定能判定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：因为相似三角形的判定要求必须满足对应条件，三边对应成比例或两角分别相等或两边成比例且夹角相等，才能判定两三角形相似．
A、涉及的边不是的对应边，也不符合判定条件，不能判定，错误．
B、只给出的两条边长，缺少的相关条件，不能判定，错误．
C、满足三边对应成比例，符合相似三角形的判定定理，所以可以判定，正确．
D、仅给出一组角相等，缺少其他必要条件，不能判定，错误．
故选：C
2. 如图所示，中，、分别是边、上的点，且线段经过的重心，下列说法错误的是（ ）
①若，则； ②若，则
③； ④；
A. ②B. ②③C. ②③④D. ②④
【答案】B
【解析】
【详解】解：当时，连接与中点，交于点，如下图所示：
因为线段经过的重心，且为的中线，
故点为的重心，
即，
因为，
所以，
所以，
故结论①正确，结论③错误；
以上图为例，可以得到，
即，故，
因为，
所以，
所以，故结论③错误；
同理，
因为,
所以，
则上式
因为，
故结论④正确；
综上，错误的结论为②③，故选B．
【下列各题的四个选项中，有一个及以上的选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
3. 如图所示，点P在的边上，且，过点P的直线与的外接圆交于M、N，且点A为弧的中点．以下说法正确是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【详解】解：因为点A是的中点，
所以
所以，A选项正确；
所以，
因为
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以，C选项正确；
又因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
又因为，，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，即，
所以，D项正确，
而题中未给出，无法通过证明得到，B项错误．
故选：ACD
4. 在中，，为的角平分线，将沿着直线折叠，点落在点处，若，，则的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：如图所示，
由折叠的性质可知，，，
因为为的角平分线，
所以，
所以点在边上
所以，
因为，，
所以，
在直角中，，
所以．
故选：A.
二、填空题（本大题共12题，第5-10题4分，第11-16题5分，满分54分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
5. 抛物线顶点坐标是___________．
【答案】
【解析】
【详解】解：抛物线的顶点坐标是．
故答案为：
6. 在梯形中，，对角线相交于点O，如果，则___________．
【答案】
【解析】
【详解】解：根据题意，如图所示：
因为，和的高都等于梯形的高（两平行线间距离相等），且，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
则，
所以，
所以，
所以，
因为和共顶点，底边、在同一直线上，高相同，
因此面积比等于底边长的比，即，
故答案为：．
7. 计算：_____．
【答案】##
【解析】
【详解】解：．
故答案为：．
8. 若不等式的解集为一切实数，则a的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【详解】解：因为不等式的解集为一切实数，
即对于任意的，都有函数始终大于0，
当时，函数为满足题意；
当时，函数的对称轴为直线，
所以当时，函数值应大于，
故，解得；
综上，的取值范围为．
故答案为：。
9. 直线恒过定点___________．
【答案】
【解析】
【详解】解：因为，
所以，
当时，即时，，
所以直线恒过定点．
故答案为：。
10. 抛物线与轴的两个交点分别为、，与轴的交点为，若，则点A坐标为___________．
【答案】
【解析】
【详解】解：设，，且，坐标原点为O，
对于抛物线，令，得，即，
令，得，整理得，
由根与系数的关系得，，
如图所示，
因为，，
所以，，
所以，
又
所以，
所以OAOC=OCOB，即，
因为抛物线开口向下，与x轴有两个交点，
所以，且，
所以，
所以，
代入，得，即，
解得或（舍去），不符合抛物线与x轴交于两个点的条件.
将代入得，
解得，，
因为，
所以，
所以点A坐标为 ．
故答案为：。
11. 有盲盒甲和盲盒乙，甲每次抽中的概率恒为，乙第一次抽中的概率为，随着次数的增加每次增加，则抽五次后恰好抽中一次概率更大的是___________．（选填“甲”或“乙”或“概率相同”）．
【答案】甲
【解析】
【详解】解∶甲每次抽中概率为，每次抽不中概率为，根据独立重复试验概率公式得，
甲五次内恰好抽中一次的概率为；
乙五次抽中概率依次为，恰好抽中一次的概率为仅一次抽中其余四次不中的概率和，
乙五次内恰好抽中一次的概率为
，
所以，
抽五次后抽中一次概率更大的是甲．
故答案为：甲。
12. 在中，，，点为线段的中点，连接并延长至点使得，则___________．
【答案】
【解析】
【详解】解：如图所示，
因为，
所以，
因为，
所以是等腰直角三角形，
所以，，
因为点为线段的中点，
所以，，
所以，
所以，
在和中，
，
所以，
所以，
因为是的外角，
所以，
所以，
所以，
所以．
故答案为：1.
13. 在平行四边形中，，，为中点，将线段顺时针旋转度至，若点恰在直线上，则___________．
【答案】
【解析】
【详解】解：因为四边形是平行四边形，，
所以四边形是矩形，
所以，
设，
因为，为中点，
所以，
如图所示，以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，过点作于点，过点作轴于点，交于点，设，，则，，，，，直线的解析式为，
所以，，
所以四边形是矩形，
所以，，
即，，
因为将线段顺时针旋转度至，
所以，，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
在和中，
，
所以，
所以，，
所以，，
所以，，
所以，，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
即，
所以，，
所以，
所以，
因为点恰在直线上，且直线的解析式为，
所以，
解得：，
所以．
故答案为：。
14. 如图所示，圆O为的外接圆，与相交于圆心，且，，直线与圆O交于，则___________．
【答案】
【解析】
【详解】解：连接并延长交于点，交于，连接，
由题意知，
所以，
因为，，
所以垂直平分，即，
因为，，
所以为等腰直角三角形；
因为，
所以，
所以，
所以，
所以；
同理可证，
所以，
所以，
即，
所以也是等腰直角三角形；
所以，
所以，
所以，
所以也是等腰直角三角形；
设，
则，，
所以，
所以，
，
在中，，
所以，
所以．
故答案为：。
15. 将一张矩形纸片（如图所示），先按下列操作画出示意图，再按要求解决问题．
①沿过点C的直线折叠，使点B落在边上的点E处，折痕交边于点G；
②沿过点E的直线折叠，使点D落在线段上的点H处，折痕交边于点F；
③沿过点E的直线折出矩形，折痕交线段于点M，连接．
如果，则___________．
【答案】
【解析】
【详解】解：由题意，作图如下：
因为矩形，
所以，
因为折叠，点B落在边上点E处，
所以，，
所以，
所以，
所以，，
设，则，
所以，
所以，
因为折叠，点D落在线段上的点H处，
所以，
因为矩形，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，，
所以，
所以，
所以，
所以，即：，
所以，即，
所以或（舍去）；
所以，
所以．
故答案为：。
16. 如图所示，在矩形中，，点为边的中点，点关于的对称点为点，连接交边于点，连接、，若，设，请列出一个可解出的值的方程___________．
【答案】
【解析】
【详解】解：如图所示，设交于点，交于点，作于点，设，，
因为四边形是矩形，
所以，，，，
因为点是的中点，
所以，
因为点与点关于对称，
所以垂直平分，
所以，，
因为，
又因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
由勾股定理可以得到，
因为，，
所以，
所以，
所以，
所以，，
因为，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，，
所以，
因为，，
所以，
所以，即，
所以，
在直角中，，
所以，
所以，
化简，得，
解得，符合题意，
所以关于的方程为．
故答案为：。
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
17. 小明正在进行“关于生物遗传概率的探究”：
他从互联网上收集到了这些信息：
1．相对性状：同种生物同一性状的不同表现形式（如卷发、直发、双眼皮、单眼皮）；
2．显隐性：题目中标注“显性”的性状，只要有1个显性基因就会表现（如
表现卷发）；“隐性”性状必须有2个隐性基因才会表现（如表现直发）；
3．基因型：用字母表示基因组成，显性基因用大写（D、A、B），隐性基因用小写（d、a、b）；
显性性状基因型：2种可能（纯合子：如，2个显性基因；杂合子：如，1显1隐）；
隐性性状基因型：只有1种（纯合子：如，2个隐性基因）；
4．遗传规律：亲代会将一对基因（例如：）中的1个（例如：D）传给子代，子代的一对基因来自父亲和母亲；
5．独立遗传：本题三对性状的基因互不影响》
已知性状显隐性（均为常染色体遗传）
①毛发直卷：卷发（D）对直发（d）为显性（表现卷发，表现直发）；
②眼睑形状：双眼皮（A）对单眼皮（a）为显性（表现双眼皮，表现单眼皮）；
③拇指形态：直拇指（B）对弯拇指（b）为显性（表现直拇指，表现弯拇指）．
小明的数学老师提出了下列问题：
（1）一对卷发夫妇，丈夫基因型为，妻子基因型为，求二人生育一个直发孩子概率．
（2）一对双眼皮夫妇，生育了1个单眼皮孩子，据此先判断夫妇的基因型，再求二人再生育一个双眼皮纯合子孩子的概率．
（3）已知男性基因型为（卷发、直拇指），女性基因型为（直发、直拇指），求二人生育一个卷发、弯拇指孩子的概率．
（4）一对卷发夫妇，男方父母均为“卷发、单眼皮”（且男方父亲为卷发纯合子，男方母亲为卷发杂合子），女方母亲为“直发、单眼皮”、女方父亲为“卷发、双眼皮（纯合子）”．求这对夫妇生育一个直发、单眼皮孩子的概率．
【答案】（1）
（2）夫妇基因型均为，概率为
（3）
（4）
【解析】
【小问1详解】
解：因为卷发（D）对直发（d）为显性，丈夫基因型为，妻子基因型为，
所以无法得到基因型为的孩子，即二人不可能生育一个直发孩子，
所以；
【小问2详解】
解：因为双眼皮（A）对单眼皮（a）为显性，且一对双眼皮夫妇，生育了1个单眼皮孩子，
所以孩子的基因型为，
所以夫妇的基因型均为，
列表如下：
共有4种等可能的结果，其中二人再生育一个双眼皮纯合子孩子的结果有1种，
所以；
【小问3详解】
解：由题意，列表如下：
共有8种等可能的结果，其中二人生育一个卷发、弯拇指孩子的结果只有1种，
所以；
【小问4详解】
解：由题意，男方父亲的基因型为，母亲的基因型为，女方父亲的基因型为，母亲的基因型为，
所以男方的基因型为或，概率均为，女方的基因型为，
当男方的基因型为时，孩子的头发不能是直发，
当男方的基因型为时，列表如下：
共有8种等可能的结果，其中生育一个直发、单眼皮孩子的结果只有1种，
所以，
又因为男方的基因型为的概率为，
所以该对夫妇生育一个直发、单眼皮孩子的概率为．
18. 已知二次函数经过点；；
（1）直接写出二次函数的解析式、对称轴、顶点坐标、变化趋势．
（2）设该二次函数图象与x轴交于点A（点A在抛物线的右侧），与y轴交于点B，顶点为C，直接写出的面积和周长．
【答案】（1）二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大
（2）的面积为3，的周长为
【解析】
【小问1详解】
解：因为二次函数经过点；；，
所以将点；；依次代入二次函数解析式，
可以得到：，
解得：，
所以二次函数的解析式为：，
对称轴为直线，即对称轴为直线，
因为，
所以二次函数顶点坐标为，
当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大．
【小问2详解】
解：因为该二次函数图象与x轴交于点A，
所以对于，令，
解得：，，
因为点A在抛物线的右侧，
所以，
因为该二次函数图象与y轴交于点B，
所以对于，令，
解得：，
所以，
因为顶点为C，
所以，
如图所示，过点C作轴，过点A作交延长线于点F，
因为，
所以，，
因为，
所以，
因为轴，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以四边形是矩形，
所以，，
因为，
所以，
所以，，
，
，
所以；
在中，
因为，，，
所以，
在中，
因为，，，
所以，
在中，
因为，，，
所以，
所以的周长为：，
所以的面积为3，的周长为．
19. 如图所示，四边形为平行四边形，连接、交于，点在线段上，且．
（1）延长、交于，求证：；
（2）点在的延长线上，且，求证：．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【小问1详解】
证明：如图所示，
在平行四边形中，，
所以，
又因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以；
【小问2详解】
证明：如图所示，作的外接圆，
因为四边形是平行四边形，
所以，，，
所以，，，
因为，
所以，
所以、、、四点共圆，即点在的外接圆上，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以．
20. 已知抛物线，抛物线上有点．
（1）当抛物线顶点坐标为，且经过时；
①求抛物线解析式；
②点坐标为，为抛物线上第一象限的一个动点，其横坐标为，若是锐角，且，请求出的取值范围．
（2）已知；
①若，与的横坐标之和为，求直线的斜率；
②若该抛物线经过点、，该抛物线与轴不同于点的交点为点，点在线段上，延长交抛物线于点，点的横坐标为，若，求的取值范围；
③若，，点为抛物线上第一象限的动点，已知、，直线与直线分别交抛物线于另一点，请问：直线是否过定点？若是，请求出定点坐标，若不是，则说明理由．
【答案】（1）①；②
（2）①；②；③直线过定点，定点坐标为
【解析】
【小问1详解】
解：①因为抛物线顶点坐标为，
所以可设抛物线的解析式为，
将代入，得，
，
解得，
所以抛物线的解析式为；
②如图所示，设交轴于点，过点作的垂线，交抛物线于点，交轴于点，在抛物线上取点，使得，作直线交轴于点，作于点，
设直线的函数解析式为，
将，代入，得，
，
解得，
所以，
将代入，得，
所以点的坐标为，
由勾股定理可以得到，，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，即，
所以，
所以点的坐标为，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，即，
所以，
在直角中，，
所以，
所以，
解得，
所以，
在直角中，，
所以，
所以点的坐标为，
设直线的函数解析式为，
将，代入，得，
，
解得，
所以直线的函数解析式为，
联立直线与抛物线，得，
，
解得或，
所以点的坐标为，
同理，直线的函数解析式为，
联立直线与抛物线，得，
，
解得或，
所以点的坐标为，
因为是锐角，且，
所以点在点和点之间，且不与点重合，
所以；
【小问2详解】
解：①由题意可知，抛物线的解析式为，
设点的坐标为，点的坐标为，则，
设直线的函数解析式为，
将，代入，得，
，
将，并化简，得，
，
因式分解，得，
因为，，
所以，即，
所以直线的斜率为；
②将点，代入，得，
，
解得，
所以抛物线的解析式为，
所以点的坐标为，
将代入，得，
，
解得或，
所以点的坐标为，
如图所示，
由题意可知，，
所以，
设直线的函数解析式为，
将点，，代入，得，
，
解得，
所以直线的函数解析式为，
将代入，解得，
所以点的坐标为，
所以，，
，，
因为，
所以，
移项并合并，得，
因式分解，得，
所以，
解得或，
因为，
所以；
③因为，，，
所以抛物线的解析式为，
设点的坐标为，
设直线的函数解析式为，
将，代入，得，
，
解得，
所以直线函数解析式为，
联立直线与抛物线，得，
，
解得或，
所以点的坐标为，
同理，点的坐标为，
设直线的函数解析式为，
将，，代入，得，
，
解得，
所以直线的函数解析式为，
当时，为定值，
所以直线过定点．
21. 如图所示，点A、B、C、D、O在同一直线上，且满足，以为直径作半圆O，点P为半圆O上一动点，
（1）直接写出的度数；
（2）求的值．
【答案】（1） （2）1
【解析】
【小问1详解】
解：如图所示，连接，
因为是半圆O的直径，
所以；
【小问2详解】
解：如图所示，连接，
设半圆O的半径为r，
所以，
因为，
所以，
即，
化简得，
所以，
即，
又因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以．
22. 如图所示，在梯形中，，，，
（1）当，，时，求的值
（2）若等腰梯形的腰长等于上、下底的比例中项，F为边上一点，E为边上一点；
①若，求证：．
②连接，是否存在等腰梯形，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出的值，若不存在，请写出理由．
【答案】（1）
（2）①见解析；②存在，，理由见解析
【解析】
【小问1详解】
解：如图所示，过点A作于点G，过点D作于点H，
因为在梯形中，，
所以，，
所以四边形是矩形，
所以，，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以；
【小问2详解】
解：①因为等腰梯形腰长是上下底的比例中项，
所以，变形得，
因为，
所以，得，
如图所示，过点作延长线于点T，过点作于点R，
因为在等腰梯形中，，，
所以，
所以，
因为，
所以，，
因为，，
所以 ，
所以；
②存在，理由：
设，，，其中，
因为等腰梯形腰长是上下底的比例中项，
所以，
过点A作于点G，过点D作于点H，
同（1）可以得到，
当时，
所以，
因为在等腰梯形中，，
所以，即与共线，不存在；
当时，
因为，，
所以，
因为，
所以，得，即，不存在；
当时，如图所示，过点作于点P，
所以，
所以，
因为，
所以，得，
因为，
所以，得，
所以，得，
所以；
综上，存在，．
A
a
A
a