上海市建平实验中学2024-2025学年九年级下学期5月考试数学试题（含答案）

这是一份上海市建平实验中学2024-2025学年九年级下学期5月考试数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分）
1. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2. 下列汽车标志中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
3. 已知．若为整数且，则的值为（ ）
A. 43B. 44C. 45D. 46
4. 用换元法解方程+=2时，若设=y，则原方程可化为关于y的方程是( )
A. y2﹣2y+1=0B. y2+2y+1=0C. y2+y+2=0D. y2+y﹣2=0
【答案】A
5. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则最符合这一结果的试验是（ ）
A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，随机出的是“剪刀”
B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中随机抽取一张牌的花色是红桃
C. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
D. 不透明的袋子中有红球和黄球各一个，它们除颜色外无其它差别，从中随机摸出一球是黄球
【答案】A
6. 如图，正方形，，连接，交于点O，并分别与边，交于点F，E，连接，下列结论中正确的结论序号是（ ）

①；②；③；
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】B
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分）
7. 计算：_______．
【答案】
8. 不等式组的解集是________．
【答案】x＞3
9. 已知关于的方程，则________
【答案】
10. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是_____．
【答案】
11. 如果直线经过点，那么不等式的解集为_________．
【答案】．
12. 燕几（即宴几）是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思.全套燕几一共有七张桌子，每张桌子高度相同.其桌面共有三种尺寸，包括2张长桌、2张中桌和3张小桌，它们的宽都相同.七张桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开组合成不同的图形，其方式丰富多样，燕几也被认为是现代七巧板的前身.下图给出了《燕几图》中列出的名称为“函三”和“回文”的两种桌面拼合方式.若全套七张桌子桌面的总面积为61.25平方尺，则长桌的长度为________尺.
【答案】7
13. 将抛物线的图像向左平移2个单位后，发现新的抛物线的图像经过原点，则新抛物线的对称轴为直线_______.
【答案】
14. 如图，点是的重心，过点作，分别交于点，如果，，那么_______．
【答案】
15. 如图，四边形是菱形，过点C作，交的延长线于点B，若，，则的长为________．
【答案】
16. 如图，两个边长相等的正六边形的公共边为，点A，B，C在同一直线上， 点，分别为两个正六边形的中心． 则的值为______．
【答案】
17. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点A和线段，给出如下定义：若将线段绕点A旋转可以得到的弦（，分别是B，C的对应点），则称线段是的以点A为中心的“关联线段”.已知是边长为1的等边三角形，点，其中.若是的以点A为中心的“关联线段”，则t的值为_________.
【答案】或
18. 如图，已知的半径长为1，、是的两条弦，且，的延长线交于点，连接、．记、、的面积分别为、、，如果是和的比例中项，则的长为________．
【答案】
三、简答题（共78分，其中第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分）
19. 计算：.
【答案】
【详解】解：
20. 解方程组：
【答案】或
【详解】解：由（1）得或，
或，
解方程组得：， ，
则原方程组的解为 和 .
【点睛】本题主要考查解二元二次方程组，解此题的关键在于利用因式分解法将第一个方程求解，然后得到新的方程组.也可以利用代入消元法进行求解.
21. 如图，是的直径，点C，D在上，平分.
（1）求证：；
（2）延长交于点E，连接交于点F，若，求的正切值.
【答案】（1）见解析 （2）
【小问1详解】
证明： 如图， 连接交于，
∵是的直径，
，
∵平分，，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，，
∴，
，
设， ，
∵， ，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴.
22. 小平在学习过程中遇到一个函数，下面是小平对其研究的过程，请补充完整：
（1）函数的自变量的取值范围是______；
（2）下表是与的几组对应值．
其中的值为______；
（3）①根据表格中的数据，在平面直角坐标系中，画出函数图象；
②过点作平行于轴的直线，结合图像解决问题：若直线与函数的图象有三个交点，则的取值范围是______．
【答案】（1）
（2）4 （3）①见解析；②
【小问1详解】
解：∵，
∴，即，
故答案为：；
【小问2详解】
解：当时，，
故答案为：4；
【小问3详解】
（3）①描点，连线得，
②观察函数图象可知，在直线时即，直线与函数有2个交点，在时，有3个交点，
故答案为：．
23. 如图，已知平行四边形，点为边上的中点，连接，交对角线于点，.
（1）求证：；
（2）连接，若.求证：平行四边形是矩形.
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：如图，连接，延长交于点，
∵为边上的中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴为中点，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点在以为圆心，为直径的圆上，如图，
∴，
∴，
由（）得，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形．
24. 已知直角平面内有一条直线和一条曲线，这条直线与x轴、y轴分别交于点A和B，且，这条曲线是函数的图像在第一象限内的一个分支，点P是图像上的任意一点，它的坐标为，由点P向x轴、y轴作垂线，，垂足为M，N，分别与直线相交于点E和点F．
（1）设交点E，F都在线段上（如图①）
①直接写出直线的解析式，并求出的面积（结果用a，b的代数式表示）；
②求证：.
（2）当点P在曲线上运动时，（如图②）
①判断：与是否一定相似？答：_______（填：是或否）
②中是否有大小始终保持不变的角，如果有，请找出这个角，并求出它的大小，如果没有，请说明理由．
【答案】（1）①，；②证明见解析
（2）①是；②有，在中，一定等于
【小问1详解】
①解：根据题意设直线的解析式为，
直线与x轴、y轴分别交于点A和B，且，
，，
将，代入，得
，解得，
直线的解析式为；
，由点P向x轴、y轴作垂线，，垂足为M，N，分别与线段相交于点E和点F，
，，
，，
②证明：如图①，
由①可知，，，，
，，
点在函数的图像上，
，即，
，
，，
，
．
【小问2详解】
解：①当点P曲线上运动时（如图②，图③），
同（1）②可证；
故答案为：是；
②当点P曲线上移动时，在中，一定等于，
由①知，，
，
如图①，对有，，
又，
，
如图②，对有，，
又，
，
图③，对有，，
又，
，
综上，当点P在曲线上移动时，在中，一定等于．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形判定与性质，三角形外角的定义，已知两点坐标求两点距离，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
25. 如图，已知在等腰中，，，，垂足为F，点D是边上一点（不与A，B重合）
（1）求边的长；
（2）如图2，延长交的延长线于点G，如果直线与的外接圆相切，求线段的长；
（3）过点D作，垂足为E，交于点Q，连接，如果为等腰三角形，直接写出线段的长.
【答案】（1）
（2）
（3）或或
【小问1详解】
解：过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，
∴在由勾股定理可得：，
解得：（舍负），
∴，，
∴；
【小问2详解】
解：的外接圆，记为，连接，过点作于点，
∴点为中点，
∵，
∴，，
∵与相切，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
；
【小问3详解】
解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
当时，如图，作交于点P，则，
∵，
则，
∴，
∴，，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴同理可得：，
∴，
∵，即
解得，即．
∴ ；
当时，如图，作交于点O，则，
设，
同理，，，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
同理∵，即
解得，即．
∴；
当时，
设，
同理，，，
∴，
∴，
同理∵，即
解得，即．
∴；
综上：当为等腰三角形，线段的长为或或．