第24章 平面直角坐标系 期中复习专题讲义（含答案）

这是一份第24章 平面直角坐标系 期中复习专题讲义（含答案），共26页。
学会用待定系数法求一次函数解析式，能结合图像解决与一次函数相关的交点、最值、不等式等问题。
掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的内在联系，能利用一次函数图像解决方程和不等式的求解问题。
能结合实际情境建立一次函数模型，解决行程、计费、利润等实际应用问题，提升数学建模能力。
学会分析一次函数与几何图形的综合问题，能结合坐标、线段长度等知识求解相关问题。
掌握一次函数图像的对称变换规律，能写出变换后函数的解析式，解决对称相关的综合题型。
知识点01：一次函数的基本概念
核心定义
一般地，形如y = kx + b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。其中x是自变量，y是因变量。
特别地，当b = 0时，函数解析式为y = kx（k≠0），叫做正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。
注意：① k≠0是一次函数的必备条件，若k=0，则函数变为y = b，是常数函数，不是一次函数；② 自变量x的取值范围通常是全体实数，若有实际情境限制，需结合题意确定（如时间、路程不能为负数）。
一次函数与正比例函数的区别与联系
k、b的几何意义
k：表示一次函数图像的斜率，决定函数的增减性和图像的倾斜程度。
- 当k > 0时，y随x的增大而增大，图像从左到右呈上升趋势；
- 当k < 0时，y随x的增大而减小，图像从左到右呈下降趋势；
- |k|越大，图像倾斜程度越明显（越陡）；|k|越小，图像倾斜程度越平缓。
b：表示一次函数图像与y轴的交点纵坐标，交点坐标为（0，b）。
- 当b > 0时，交点在y轴正半轴；
- 当b = 0时，交点在原点（正比例函数）；
- 当b < 0时，交点在y轴负半轴。
知识点02：一次函数的图像与性质
图像形状
一次函数y = kx + b（k≠0）的图像是一条直线，因此也称为线性函数。画一次函数图像时，只需确定两个点，再过这两个点画直线即可（通常取与x轴、y轴的交点）。
交点求法：① 与y轴交点：令x = 0，得y = b，交点为（0，b）；② 与x轴交点：令y = 0，得x = -b/k（k≠0），交点为（-b/k，0）。
图像经过的象限（由k、b共同决定）
图像的平移规律（口诀：上加下减常数项，左加右减自变量）
对于一次函数y = kx + b（k≠0），图像的平移只改变b的值或自变量x的取值，不改变k的值（即斜率不变，倾斜程度不变）。
上下平移：将y = kx + b向上平移m（m > 0）个单位，解析式变为y = kx + b + m；向下平移m（m > 0）个单位，解析式变为y = kx + b - m。
左右平移：将y = kx + b向左平移n（n > 0）个单位，解析式变为y = k(x + n) + b；向右平移n（n > 0）个单位，解析式变为y = k(x - n) + b。
一次函数的对称变换规律
关于x轴对称：将原函数y = kx + b中的y变为 -y，整理得 -y = kx + b，即y = -kx - b；
关于y轴对称：将原函数y = kx + b中的x变为 -x，整理得y = k(-x) + b，即y = -kx + b；
关于原点对称：将原函数y = kx + b中的x变为 -x、y变为 -y，整理得 -y = -kx + b，即y = kx - b。
知识点03：一次函数的应用（解析式、与方程不等式的联系、实际应用）
待定系数法求一次函数解析式
步骤：① 设解析式：根据题意设一次函数解析式为y = kx + b（k≠0），若为正比例函数，设为y = kx（k≠0）；② 找条件：找出两个已知点的坐标（或两个x、y的对应值）；③ 列方程：将两点坐标代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组；④ 解方程组：求出k、b的值；⑤ 写解析式：将k、b的值代入所设解析式，即可得到一次函数解析式。
一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的联系
与一元一次方程的联系：一次函数y = kx + b（k≠0）的图像与x轴的交点横坐标，就是方程kx + b = 0的解；反之，方程kx + b = 0的解，就是一次函数图像与x轴的交点横坐标。
与一元一次不等式的联系：① 当k > 0时，y > 0对应kx + b > 0的解集为x > -b/k；y < 0对应kx + b < 0的解集为x < -b/k；② 当k < 0时，y > 0对应kx + b > 0的解集为x < -b/k；y < 0对应kx + b < 0的解集为x > -b/k。
一次函数的实际应用
常见类型：行程问题、计费问题、利润问题、产量问题等。
解题步骤：① 审题：明确题意，找出题目中的自变量、因变量及它们之间的关系；② 建模：设出一次函数解析式，根据题意找出两个对应点（或数量关系），用待定系数法求出解析式；③ 求解：根据解析式结合题意解决问题（如求最值、求特定值、判断范围等）；④ 检验：检验结果是否符合实际情境，不合理的舍去。
考点题型突破·拓思维
题型一 一次函数的定义与参数取值范围
【例1】已知函数y = (m - 2)x^(|m| - 1) + 3是一次函数，则m的值为（ ）
A．2 B．-2 C．±2 D．0

【变式1】已知一次函数y = kx + b（k≠0），当x = 1时，y = 3；当x = -1时，y = 1，求k、b的值，并写出函数解析式。

【变式2】已知正比例函数y = kx（k≠0），当x = 2时，y = -6，求k的值，并判断当x增大时，y的变化趋势。

【变式3】已知一次函数y = (2k - 3)x + (k + 1)，若函数图像经过原点，求k的值；若函数图像与y轴交于正半轴，求k的取值范围。
题型二 一次函数的图像性质（象限、增减性）
【例2】一次函数y = -2x + 3的图像经过的象限是（ ）
二、三象限 B．第一、二、四象限
三、四象限 D．第二、三、四象限

【变式1】已知一次函数y = (k - 1)x + 2，若y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A．k > 1 B．k < 1 C．k ≥ 1 D．k ≤ 1

【变式2】已知一次函数y = kx + b（k≠0）的图像经过点（-1，2），且y随x的增大而减小，请写出一个符合上述条件的函数解析式：________。

【变式3】已知一次函数y = kx + b（k≠0）的图像经过点A（2，3）和点B（-1，-3），判断该函数图像经过哪些象限，并说明理由。
题型三 一次函数图像的平移与对称变换
【例3-1】将一次函数y = 2x - 3的图像向上平移2个单位长度，得到的函数解析式为（ ）
A．y = 2x - 5 B．y = 2x - 1 C．y = 4x - 3 D．y = 2x + 1
【例3-2】将一次函数y = -x + 1的图像向左平移3个单位长度，得到的函数解析式为________。
【例3-3】求一次函数y = 3x + 2关于y轴对称的函数解析式，并判断对称后的函数图像经过哪些象限。
【变式3-1】将一次函数y = kx + b（k≠0）的图像向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数解析式为y = 2x - 1，求原函数解析式。
【变式3-2】已知一次函数y = 2x + 1，求其关于x轴对称和关于原点对称的函数解析式。

题型四 待定系数法求一次函数解析式
【例4-1】已知一次函数的图像经过点（0，-2）和点（3，4），求该一次函数的解析式。

【例4-2】已知正比例函数的图像经过点（-2，6），求该正比例函数的解析式，并求当x = 3时y的值。

【变式4-1】已知一次函数y = kx + b（k≠0），当x = 2时，y = 5；当x = -1时，y = -1，求k、b的值，并求当y = 8时x的值。
【变式4-2】已知一次函数的图像经过点A（1，3），且与y轴交于点B（0，2），求该一次函数的解析式，并判断点C（2，5）是否在该函数图像上。

题型五 一次函数与方程、不等式的综合应用
【例5-1】已知一次函数y = 2x - 4，求该函数图像与x轴、y轴的交点坐标，并求方程2x - 4 = 0的解。

【例5-2】已知一次函数y = kx + b（k≠0）的图像经过点（1，2）和（-2，-1），解不等式kx + b > 0。

【变式5-1】已知一次函数y = -3x + 6，当x取何值时，y > 0？当x取何值时，y ≤ 0？

【变式5-2】已知一次函数y = kx + b（k≠0）的图像经过点（0，3），且y随x的增大而减小，若kx + b ≤ 3，求x的取值范围。

题型六 一次函数的实际应用
【例6】某商店销售一种笔记本，每本进价为10元，售价为x元（10 < x ≤ 20），销售量为y本，且y与x之间的函数关系为y = -10x + 300。
求销售该笔记本的利润W（元）与售价x（元）之间的函数解析式（利润 = 销售量×（售价 - 进价））；
当售价为多少元时，利润最大？最大利润是多少元？

【变式1】甲、乙两车从A地出发，沿同一条公路驶向B地，甲车先出发，乙车后出发，两车的行驶路程y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示（略），已知甲车的函数解析式为y = 60x，乙车的函数解析式为y = 80x - 20。
求乙车出发后，经过多长时间追上甲车？
当x = 3时，两车之间的距离是多少km？

题型七 一次函数与几何图形的综合应用
【例7】在平面直角坐标系中，一次函数y = -x + 4的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（2，0），求△ABC的面积。

【变式1】在平面直角坐标系中，一次函数y = 2x + 4的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段AB平移至A'B'，其中点A的对应点A'（1，0），求点B'的坐标及平移后直线A'B'的解析式。
【变式2】在平面直角坐标系中，点A（0，2），点B（3，0），过点A作直线l平行于x轴，点C在直线l上，且△ABC的面积为6，求点C的坐标。
函数类型
解析式
区别
联系
一次函数
y = kx + b（k≠0）
b可以为0，也可以不为0
当b=0时，一次函数变为正比例函数
正比例函数
y = kx（k≠0）
b必须为0，图像必过原点
正比例函数是特殊的一次函数
k、b的符号
图像经过的象限
增减性
典型示例
k > 0，b > 0
第一、二、三象限
y随x增大而增大
y = 2x + 3
k > 0，b = 0
第一、三象限（过原点）
y随x增大而增大
y = 3x
k > 0，b < 0
第一、三、四象限
y随x增大而增大
y = 2x - 1
k < 0，b > 0
第一、二、四象限
y随x增大而减小
y = -x + 2
k < 0，b = 0
第二、四象限（过原点）
y随x增大而减小
y = -2x
k < 0，b < 0
第二、三、四象限
y随x增大而减小
y = -x - 1