2024-2025学年上海市徐汇中学七年级（下）期中数学试卷 （含解析）

这是一份2024-2025学年上海市徐汇中学七年级（下）期中数学试卷 （含解析），共7页。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）.
1．在下列不等式组中，无解的是（ ）
A．x＞1x＞2B．x＞1x＜2C．x＜1x＜2D．x＜1x＞2
2．已知a＞b，则下列四个不等式不一定成立的是（ ）
A．ac2＞bc2B．ac2+1＞bc2+1
C．﹣a＜﹣bD．a+5＞b+5
3．如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．∠2与∠4是同位角B．∠2与∠3是同旁内角
C．∠1与∠2是内错角D．∠1与∠A是内错角
4．下列命题中，判断错误的是（ ）
A．所有定理都有逆命题
B．对顶角相等的逆命题是真命题
C．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行
D．假命题的逆命题不一定是假命题
5．已知三角形的周长是13，则以下哪个长度不可能是该三角形的边长（ ）
A．4B．5C．6D．7
6．如果△ABC的三个内角满足3∠A＝5∠B，3∠C＝2∠B，那么这个三角形是（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．无法确定
二、填空题（本大题共12小题，每题2分，共24分）
7．不等式2x﹣9＜3的解集为 ．
8．如果一个锐角不大于它的余角，那么这个锐角最大为 度．
9．如图所示，直线AB与CD交于点O，OE平分∠BOD，OE⊥OF，∠AOC＝36°，那么∠DOF＝ °．
10．如图所示，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，图中线段 的长度表示点A到直线CD的距离．
11．如图所示，已知，AB∥CD，∠1＝（4x﹣25）°，∠2＝（85﹣x）°，∠1的度数为 ．
12．如图所示，BD、CD分别是△ABC的一条内角平分线与一条外角平分线，∠D＝30°，那么∠A的度数为 ．
13．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示所示，其中BC⊥AB，DE∥AB，经使用发现，当∠EDC＝126°时，台灯光线最佳．则此时∠DCB的度数为 ．
14．如图所示，一束光线与水平面成60°的角度照射地面，现在地面AB上支放一个平面镜CD，使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜CD与地面AB所成角∠DCB＝ ．
15．如果a＞b＞c，则不等式组x−a＜0x−b＞0x−c＞0的解集是 ．
16．在小于a的所有整数中，最大的是4，用不等式表示a应满足的条件： ．
17．如图所示，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠OMN＝30°，∠OCD＝45°．将三角尺OCD绕点O以每秒10°的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒．在旋转的过程中，边CD恰好与边MN平行，t的值为 ．
18．在△ABC中，如果存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝40°，可知∠A＝2∠C，则△ABC为2倍角三角形．如图所示，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上；已知∠BAO、∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F，如果△AEF为4倍角三角形，则∠ABO＝ ．
三、简答题
19．（8分）解不等式组1−2x3≤x+2①2(2x−1)＜2x+2②并把解集在数轴上表示出来．
20．（14分）根据提示完成证明
如图所示，已知AD⊥BC，垂足为点D，∠EFD＝90°，∠1+∠2＝180°，求证：∠CGD＝∠CAB．
证明：因为AD⊥BC（已知），
则∠ ＝90°（垂直的意义），
因为∠EFD＝90°，
则∠ADC＝∠EFD（等量代换），
则EF∥AD（ ），
则∠2+∠3＝180°（ ），
因为∠1+∠2＝180°（已知），
则∠1＝∠3（ ）．
则 （ ）．
则∠CGD＝∠CAB（ ）．
21．（8分）用尺规，利用“内错角相等，两直线平行”作出过直线AB外一点M，平行直线AB的直线l．（不用写作法，但须保留作图痕迹）
四、解答题：
22．（10分）如图所示，已知在△ABC中，∠A＝32°，BE平分∠ABC，ED⊥BC于D，如果∠DEB＝28°，求∠C的度数．
23．（8分）我们在研究多边形的相关性质时，经常会将多边形分割成三角形进行研究，利用这样的思维方式，试证明下列问题．
如图所示，已知在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，
求证：AB∥CD且BC∥AD．
24．（10分）在△ABC中，∠A＝60°，点D、E分别是△ABC边AC、AB上的点，点P是一动点，设∠PDC＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）如图所示1，如果点P在线段BC上，且∠α＝50°，求∠1+∠2的度数；
（2）如果点P在线段BC延长线上，请分别写出图2，图3中，∠1、∠2与∠α之间的数量关系．
图2： ；图3： ．
五、附加题：（每题5分，共10分）
25．如果不等式组2x+5a≤3(x−2)x−a2＜x3有解，且每一个解x均不在﹣12≤x≤﹣10范围内，求a的取值范围．
26．如图所示，已知P是△ABC内一点，连结AP，PB，PC，
求证：12（AB+AC+BC）＜PA+PB+PC＜AB+AC+BC．
参考答案
一、选择题（共6题，每题3分，满分18分）
1．在下列不等式组中，无解的是（ ）
A．x＞1x＞2B．x＞1x＜2C．x＜1x＜2D．x＜1x＞2
【详解】A的解集为：x＞2，则A不满足题意；
B的解集为：1＜x＜2，则B不满足题意；
C的解集为：x＜1，则C不满足题意；
D的解集为：无解，则D满足题意．
故选：D．
2．已知a＞b，则下列四个不等式不一定成立的是（ ）
A．ac2＞bc2B．ac2+1＞bc2+1
C．﹣a＜﹣bD．a+5＞b+5
【详解】A．当c＝0时，ac2＝bc2，则此选项满足题意；
B．根据不等式性质，ac2+1＞bc2+1，则此选项不满足题意；
C．根据不等式性质，﹣a＜﹣b，则此选项不满足题意；
D．根据不等式性质，a+5＞b+5，则此选项不满足题意．
故选：A．
3．如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．∠2与∠4是同位角B．∠2与∠3是同旁内角
C．∠1与∠2是内错角D．∠1与∠A是内错角
【详解】A、B、D中的说法正确，则ABD不满足题意；
C、∠1与∠2不是内错角，则C满足题意．
故选：C．
4．下列命题中，判断错误的是（ ）
A．所有定理都有逆命题
B．对顶角相等的逆命题是真命题
C．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行
D．假命题的逆命题不一定是假命题
【详解】A、所有定理都有逆命题，正确，不满足题意；
B、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，原说法错误，满足题意；
C、两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行，正确，不满足题意；
D、假命题的逆命题不一定是假命题，例如相等的角是对顶角是假命题，而此命题的逆命题是对顶角相等，是真命题，正确，不满足题意．
故选：B．
5．已知三角形的周长是13，则以下哪个长度不可能是该三角形的边长（ ）
A．4B．5C．6D．7
【详解】设三角形的一边长是x，
因为三角形的周长是13，
则三角形另外两边的和是13﹣x，
由三角形三边关系定理得到：13﹣x＞x，
则x＜6.5，
则三角形边长的最大值不能大于或等于6.5．
故选：D．
6．如果△ABC的三个内角满足3∠A＝5∠B，3∠C＝2∠B，那么这个三角形是（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．无法确定
【详解】由题意可得，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B，
则可得方程组3∠A=5∠B3×(180°−∠A−∠B)=2∠B，
得到∠A=90°∠B=54°，
则∠A＝90°，∠B＝54°，∠C＝36°，
则△ABC是直角三角形，
故选：A．
二、填空题（本大题共12小题，每题2分，共24分）
7．不等式2x﹣9＜3的解集为x＜6 ．
【详解】2x﹣9＜3，
2x＜3+9，
2x＜12，
x＜6．
则答案为：x＜6．
8．如果一个锐角不大于它的余角，那么这个锐角最大为 45 度．
【详解】设这个锐角为x°，
由题意得：x≤90﹣x，
2x≤90，
x≤45，
则这个锐角最大为45°，
则答案为：45．
9．如图所示，直线AB与CD交于点O，OE平分∠BOD，OE⊥OF，∠AOC＝36°，那么∠DOF＝ 108 °．
【详解】因为直线AB与CD交于点O，∠AOC＝36°，
则∠BOD＝∠AOC＝36°，
因为OE平分∠BOD，
则∠DOE=12∠BOD=12×36°＝18°，
因为OE⊥OF，
则∠EOF＝90°，
则∠DOF＝∠DOE+∠EOF＝18°+90°＝108°．
则答案为：108．
10．如图所示，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，图中线段 AD 的长度表示点A到直线CD的距离．
【详解】因为CD⊥AB，
则AD⊥CD，
则线段CD的长度表示点A到直线CD的距离，
则答案为：AD．
11．如图所示，已知，AB∥CD，∠1＝（4x﹣25）°，∠2＝（85﹣x）°，∠1的度数为 135° ．
【详解】如图所示：
因为AB∥CD，
则∠2+∠3＝180°，
因为∠1＝∠3
则∠1+∠2＝180°，
即（4x﹣25）+（85﹣x）＝180，
得到x＝40，
则∠1＝4x﹣25°＝135°，
则答案为：135°．
12．如图所示，BD、CD分别是△ABC的一条内角平分线与一条外角平分线，∠D＝30°，那么∠A的度数为 60° ．
【详解】因为∠ACE是△ABC的外角，
则∠ACE＝∠A+∠ABC，
因为BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
则∠DBC=12∠ABC，∠DCE=12∠ACE=12（∠A+∠ABC）=12∠A+12∠ABC．
因为∠DCE是△BCD的外角，
则∠DCE＝∠DBC+∠D=12∠A+12∠ABC，
则∠D=12∠A＝30°，
则∠A＝2∠D＝2×30°＝60°．
则答案为：60°．
13．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示所示，其中BC⊥AB，DE∥AB，经使用发现，当∠EDC＝126°时，台灯光线最佳．则此时∠DCB的度数为 144° ．
【详解】过点C作CF∥AB，
则∠ABC+∠BCF＝180°，
因为DE∥AB，
则DE∥CF，
则∠CDE+∠DCF＝180°，
则∠ABC+∠BCF+∠CDE+∠DCF＝360°，
即∠ABC+∠DCB+∠CDE＝360°，
因为BC⊥AB，
则∠ABC＝90°，
因为∠EDC＝126°，
则∠DCB＝360°﹣∠ABC﹣∠CDE＝144°，
则答案为：144°．
14．如图所示，一束光线与水平面成60°的角度照射地面，现在地面AB上支放一个平面镜CD，使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜CD与地面AB所成角∠DCB＝ 30° ．
【详解】如图所示，
因为入射角等于反射角，
则∠1＝∠2，
因为光线经过平面镜CD反射后成水平光线平行，
则∠2＝∠4，
又因为∠1＝∠3（对顶角相等），
则∠3＝∠4，
则∠2＝∠3，
因为光线与水平面成60°的角度照射地面，
则∠3＝60°÷2＝30°，
则∠4＝30°，即∠DCB＝30°．
则答案为：30°．
15．如果a＞b＞c，则不等式组x−a＜0x−b＞0x−c＞0的解集是b＜x＜a ．
【详解】x−a＜0①x−b＞0②x−c＞0③，
解不等式①得：x＜a，
解不等式②得：x＞b，
解不等式③得：x＞c，
由题意可得不等式组x−a＜0x−b＞0x−c＞0的解集为：b＜x＜a．
则答案为：b＜x＜a．
16．在小于a的所有整数中，最大的是4，用不等式表示a应满足的条件：a＜5 ．
【详解】根据题意得：a＜5．
则答案为：a＜5．
17．如图所示，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠OMN＝30°，∠OCD＝45°．将三角尺OCD绕点O以每秒10°的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒．在旋转的过程中，边CD恰好与边MN平行，t的值为 10.5或28.5 ．
【详解】如图所示1，CD在点O右侧时，设OC与MN相交于F，
因为CD∥MN，
则∠OFN＝∠C＝45°，
则∠MOF＝15°，
则旋转角为105°，
当CD在点O的左侧时，设直线OC与MN相交于F，
因为CD∥MN，
则∠OFN＝∠C＝45°，
在△NOF中，∠NOF＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
则旋转角为360°﹣75°＝285°，
综上所述，当边OC旋转105°或285°时，边CD恰好与边MN平行．
t＝105°÷10°＝10.5秒，t＝285°÷10°＝28.5秒；
综上所述，第10.5或28.5秒时，边CD恰好与边MN平行．
则答案为：10.5或28.5．
18．在△ABC中，如果存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝40°，可知∠A＝2∠C，则△ABC为2倍角三角形．如图所示，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上；已知∠BAO、∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F，如果△AEF为4倍角三角形，则∠ABO＝ 45°或36° ．
【详解】因为AE平分∠BAO，AF平分∠OAG，
则∠EAB＝∠EAO，∠OAF＝∠FAG，
则∠EAF=∠EAO+∠OAF=12(∠BAO+∠OAG)=90°，
因为△EAF是4倍角三角形，
则当∠EAF＝4∠E时，∠E=14×90°=22.5°，当∠F＝4∠E时，∠E=15×90°=18°，
因为∠ABO＝2∠E，
则∠ABO＝45°或36°，
则答案为：45°或36°．
三、简答题
19．（8分）解不等式组1−2x3≤x+2①2(2x−1)＜2x+2②并把解集在数轴上表示出来．
【详解】由①得：x≥﹣1，
由②得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
将解集表示在数轴上如下：
．
20．（14分）根据提示完成证明
如图所示，已知AD⊥BC，垂足为点D，∠EFD＝90°，∠1+∠2＝180°，求证：∠CGD＝∠CAB．
证明：因为AD⊥BC（已知），
则∠ ①ADC ＝90°（垂直的意义），
因为∠EFD＝90°，
则∠ADC＝∠EFD（等量代换），
则EF∥AD（ ②同位角相等，两直线平行 ），
则∠2+∠3＝180°（ ③两直线平行，同旁内角互补 ），
因为∠1+∠2＝180°（已知），
则∠1＝∠3（ ④同角的补角相等 ）．
则 ⑤AB∥DG （ ⑥内错角相等，两直线平行 ）．
则∠CGD＝∠CAB（ ⑦两直线平行，同位角相等 ）．
【详解】证明：因为AD⊥BC（已知），
则∠ADC＝90°（垂直的意义），
因为∠EFD＝90°，
则∠ADC＝∠EFD（等量代换），
则EF∥AD（同位角相等，两直线平行），
则∠2+∠3＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
因为∠1+∠2＝180°（已知），
则∠1＝∠3（同角的补角相等）．
则AB∥DG（内错角相等，两直线平行）．
则∠CGD＝∠CAB（两直线平行，同位角相等）．
则答案为：①ADC；②同位角相等，两直线平行；③两直线平行，同旁内角互补；④同角的补角相等；⑤AB∥DG；⑥内错角相等，两直线平行；⑦两直线平行，同位角相等．
21．（8分）用尺规，利用“内错角相等，两直线平行”作出过直线AB外一点M，平行直线AB的直线l．（不用写作法，但须保留作图痕迹）
【详解】如图所示，在直线AB上任取一点C，连接MC，在MC的左侧作∠CMN＝∠BCM，作直线MN，
则直线MN即为所求的直线l．
四、解答题：
22．（10分）如图所示，已知在△ABC中，∠A＝32°，BE平分∠ABC，ED⊥BC于D，如果∠DEB＝28°，求∠C的度数．
【详解】因为ED⊥BC，∠DEB＝28°，
则∠DBE＝180°﹣90°﹣28°＝62°，
因为BE平分∠ABC，
则∠DBE＝∠ABE＝62°，
则∠C＝180°﹣62°﹣62°﹣32°＝24°．
23．（8分）我们在研究多边形的相关性质时，经常会将多边形分割成三角形进行研究，利用这样的思维方式，试证明下列问题．
如图所示，已知在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，
求证：AB∥CD且BC∥AD．
【详解】如图所示，连接AC，
因为AB＝CD，BC＝AD，AC＝AC，
则△ABC≌△CDA（SSS），
则∠BAC＝∠ACD，∠DAC＝∠ACB，
则AD∥BC，AB∥CD．
24．（10分）在△ABC中，∠A＝60°，点D、E分别是△ABC边AC、AB上的点，点P是一动点，设∠PDC＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）如图所示1，如果点P在线段BC上，且∠α＝50°，求∠1+∠2的度数；
（2）如果点P在线段BC延长线上，请分别写出图2，图3中，∠1、∠2与∠α之间的数量关系．
图2： ∠2＝∠α+∠1+60° ；图3： ∠2＝∠1﹣∠α+60° ．
【详解】（1）根据图1可得：∠DPB＝∠1+∠C，∠EPC＝∠2+∠B，
则∠DPB+∠EPC＝∠1+∠2+∠C+∠B，
因为∠DPE＝∠α＝50°，
则∠α+180°＝∠1+∠2+（180°﹣∠A），∠A＝60°，
即∠1+∠2＝60°+α＝110°；
（2）由图2得∠2＝∠α+∠1+60°，由图3得∠2＝∠1﹣∠α+60°，理由如下：如图所示2，
如图所示2，设AC，EP 交于点F，
因为∠AFE＝∠1+∠α，∠2＝∠A+∠AFE，
则∠2＝60°+∠1+∠α；
如图所示3，设AC，EP 交于点F，
因为∠AFE＝∠1﹣∠α，∠2＝∠A+∠AFE，
则∠2＝∠1﹣∠α+60°；
则答案为：图2：∠2＝∠α+∠1+60°；图3：∠2＝∠1﹣∠α+60°．
五、附加题：（每题5分，共10分）
25．如果不等式组2x+5a≤3(x−2)x−a2＜x3有解，且每一个解x均不在﹣12≤x≤﹣10范围内，求a的取值范围．
【详解】2x+5a≤3(x−2)①x−a2＜x3②，
由①得，x≥6+5a，
由②得，x＜3a，
则不等式组的解集是6+5a≤x＜3a，
因为每一个解x均不在﹣12≤x≤﹣10范围内，则有两种情况：
情况一：3a≤﹣12，得到a≤﹣4，
情况二：5a+6＞﹣10，得到a＞−165，同时5a+6≤x＜3a有解，
则3a＞5a+6，
则a＜﹣3
则−165＜a＜﹣3．
则综上，a的取值范围是a≤﹣4或−165＜a＜﹣3．
26．如图所示，已知P是△ABC内一点，连结AP，PB，PC，
求证：12（AB+AC+BC）＜PA+PB+PC＜AB+AC+BC．
【详解】证明：延长AP交BC于D，
由三角形三边关系定理得到：AP+PD＜AC+CD，PB＜PD+BD，
则AP+PD+PB＜AC+CD+PD+BD，
则AP+PB＜AC+BC，
同理PB+PC＜AB+AC，PC+PA＜AB+BC，
则2 （PA+PB+PC）＜2（AB+BC+AC），
则PA+PB+PC＜AB+BC+AC；
由三角形三边关系定理得到：PA+PB＞AB，PB+PC＞BC，PA+PC＞AC，
则2（PA+PB+PC）＞AB+BC+AC，
则PA+PB+PC＞12（AB+BC+AC），
则12（AB+BC+AC）＜PA+PB+PC＜AB+BC+AC．