2023-2024学年上海市徐汇区位育中学七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年上海市徐汇区位育中学七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各数中，是无理数的是( )
A. 9B. 247C. π2D. 38
2.在图中，∠1和∠2是同位角的是( )
A. (1)、(2)B. (1)、(3)C. (2)、(3)D. (2)、(4)
3.如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是( )
A. ∠B=45∘B. ∠BAC=90∘C. BD=ACD. AB=AC
4.下列各式中与(−a2)3相等的是( )
A. a5B. a6C. −a5D. −a6
5.下列各整式中，次数为5次的单项式是( )
A. xy4B. xy5C. x+y4D. x+y5
6.如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，BC=2AD，如果对角线AC与BD相交于点O，△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确的是( )
A. S1=S3B. S2=2S4C. S2=2S1D. S1⋅S3=S2⋅S4
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
7.计算：4−12+40=______.
8.计算：[(1− 2)2]12=______.
9.计算：3a+3−a=______.
10.比较大小：3 11______10.(填“>”、“=”或“<”)
11.已知等腰三角形中，两条边长为3和7，则这个等腰三角形的周长为______.
12.在数轴上，如果点A、点B所对应的数分别为− 7、2 7，那么A、B两点的距离AB=______.
13.在△ABC中，如果∠A=∠B+∠C，那么△ABC是______三角形．(填“锐角”、“钝角”或“直角”)
14.两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的3倍少20∘，则这两个角的度数分别是______.
15.已知点A(a,0)和点B(0,5)，且直线AB与坐标轴围成的三角形的面积等于10，那么a的值为______.
16.在平面直角坐标系中，点P(4,−5)与点Q(−4,m+1)关于原点对称，那么m=______.
17.如果一个等腰三角形其中一腰上的高与另一腰的夹角是30∘，那么这个等腰三角形的顶角等于______度.
18.如图所示，将长方形纸片ABCD进行折叠，如果∠BHG=70∘，那么∠BHE=______度．
三、解答题：本题共9小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题3分)
如图，网格中有△ABC和点D，请你找出另外两点E、F，在图中画出△DEF，使△ABC≌△DEF，且顶点A、B、C分别与D、E、F对应.
20.(本小题5分)
计算：( 3+ 2)2×( 3− 2)2.
21.(本小题5分)
计算： (150)−2−(114)−2.
22.(本小题5分)
利用分数指数幂进行运算： 2×318×66.
23.(本小题5分)
在如图所示的平面直角坐标系中表示下面各点：
A(0,3)、B(1,−3)、C(−3,0)(每格的宽度为1个单位长度).
(1)A点到原点O的距离是______；
(2)将点B向x轴的负方向平移1个单位，得到点D，点D的坐标是______；
(3)直线BD与x轴的位置关系是______；
(4)△ACD的形状是______，它的面积是______平方单位.
24.(本小题5分)
求作△ABC中，已知∠B=60∘，AC=3.5cm，BC=4cm(利用刻度尺和圆规画出图形，保留作图的痕迹)
25.(本小题9分)
如图，在△ABC中，已知AB=AC，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且BD=CE，∠FDE=∠B.
(1)说明△BFD与△CDE全等的理由.
(2)如果△ABC是等边三角形，那么△DEF是等边三角形吗？试说明理由.
26.(本小题9分)
阅读理解题：
直角三角形是特殊的三角形，关于一般三角形全等的判定方法，对直角三角形都适用.对于一般三角形而言，利用“边、边、角”不能判定两个三角形全等，它能否成为直角三角形全等的判定定理呢？
两个直角三角形中，如果“边、边、角”对应相等，那么其中对应相等的角一定是直角.因此对应相等的边只能分别是斜边和一条直角边.我们只要研究：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形是否全等？
已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90 ∘，AB=A′B′，AC=A′C′，求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.
证明：把Rt△ABC和Rt△A′B′C′拼在一起，由于AC=AC′，因此可以AC和AC′重合，由于∠ACB=∠A′C′B′=90∘，因此点B、点C、点B′在一条直线上，于是得到△ABB′，
因为AB=AB′(已知)，
所以∠B=∠B′(等边对等角)，
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中(完成以下说理的过程)
{(ㅤㅤ)(ㅤㅤ)(ㅤㅤ)，
所以△ABC≌△A′B′C′(______).
能否模仿例题的解题思路，自己画图，
换一种方法证明这两个直角三角形全等？
27.(本小题8分)
如图，已知AD平分∠BAC，BE//AD，F是BE的中点，求证：AF⊥BE.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、 9=3是有理数，故A错误；
B、247是有理数，故B错误；
C、π2是无理数，故C正确；
D、38=2是有理数，故D错误；
故选：C.
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2.【答案】B
【解析】解：如图(1)∠1和∠2是直线d、直线b被直线c所截的同位角，
如图(3)∠1和∠2是直线a、直线b被直线c所截的同位角，
而图(2)、图(4)中的∠1和∠2均不是两条直线被第三条直线所截的同位角，
故选：B.
根据同位角的定义结合具体的图形进行判断即可．
本题考查同位角，掌握同位角的定义是正确解答的关键．
3.【答案】D
【解析】【分析】
添加AB=AC，可得△ABC是等腰三角形，再根据三线合一的性质可得BD=CD，再利用SSS定理可判定△ABD≌△ACD.
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【解答】
解：当AB=AC时，△ABD≌△ACD，
∵AD是△ABC的边BC上的高，AB=AC，
∴BD=CD，
∵在△ABD和△ADC中AD=ADBD=CDAB=AC，
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
故选：D.
4.【答案】D
【解析】解：(−a2)3=−a6.
故选D.
根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则．
5.【答案】A
【解析】解：A、是5次单项式，故A正确；
B、是6次单项式，故B错误；
C、是多项式，故C错误；
D、是5次多项式，故D错误；
故选：A.
根据单项式的次数是所有字母的指数之和，可得答案．
本题考查了单项式，需注意：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，几个单项式的和叫做多项式，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
6.【答案】B
【解析】解：A、∵△ABD和△ACD同底、同高，则S△ABD=S△ACD，
∴S1=S3，故命题正确；
B、∵AD//BC，
∴△AOD∽△COB，
又∵BC=2AD，
∴S△COBS△AOD=(12)2=14，
则S2=2S4正确．故命题错误；
C、作MN⊥BC于点N，交AD于点M.
∵△AOD∽△COB，
又∵BC=2AD，
∴OMON=ADBC=12，即ONMN=23，
∴S△OBCS△ABC=23，
则设S△OBC=2x，则S△ABC=3x，则S△AOB=x，
即S2=2S1，故命题正确；
D、设AD=y，则BC=2y，设OM=z，则ON=2z，
则S2=12×2y×2z=2yz，S4=12×y×z=12yz，
S△ABC=12BC⋅MN=12×2y⋅3z=3yz，
则S1=S3=3yz−2yz=yz，
则S1⋅S3=y2z2，
S2⋅S4=y2z2，
故S1⋅S3=S2⋅S4正确．
故选B.
证三角形相似，再根据三角形的面积公式和相似三角形的面积比等于相似比的平方，以及三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形面的比等于相似比的平方，高线的比等于相似比，正确表示出S1、S2、S3、S4，是解决本题的关键．
7.【答案】32
【解析】解：原式=1 4+1=12+1=32.
故答案是：32.
本题考查了分数指数幂和零指数幂．任何不等于0的数的0次幂都等于1.
根据分数指数幂的运算法则进行计算．
8.【答案】 2−1
【解析】解：原式= (1− 2)2
=|1− 2|
= 2−1.
故答案为： 2−1.
利用二次根式的化简和绝对值的化简即可得出答案．
本题主要考查了二次根式的化简和绝对值的化简，熟练掌握二次根式和绝对值的意义是解决本题的关键．
9.【答案】0
【解析】解：原式=3a−3a=0，
故答案为：0.
利用立方根的定义及性质即可求得答案．
本题考查立方根，熟练掌握其定义及性质是解题的关键．
10.【答案】<
【解析】解：∵(3 11)2=99，102=100，
∴99<100，
∴3 11<10.
故答案为：<.
先对两个数进行平方计算，由于两个数均为正数，所以该数的平方越大数越大．
本题考查的是实数比较大小，解决本题的关键是熟练掌握用平方法来比较实数的大小．
11.【答案】17
【解析】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为3，底边长为7时，
∵3+3=6<7，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为7，底边长为3时，
∴这个等腰三角形的周长=7+7+3=17；
综上所述：这个等腰三角形的周长为17，
故答案为：17.
分两种情况：当等腰三角形的腰长为3，底边长为7时；当等腰三角形的腰长为7，底边长为3时；然后分别进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
12.【答案】3 7
【解析】解：∵点A、点B所对应的数分别为− 7、2 7，
∴A、B两点的距离AB=2 7−(− 7)，
=3 7.
故答案为：3 7.
求数轴上两点之间的距离：数轴上表示两个点所对应的两个数的差的绝对值，即用较大的数减去较小的数即可．
本题主要考查了两点间的距离，能根据求数轴上两点间的距离的方法，列出式子是本题的关键．
13.【答案】直角
【解析】解：∠A+∠B+∠C=180度．
又∠A=∠B+∠C，
则2∠A=180∘，
即∠A=90∘.
即该三角形是直角三角形．
故答案为：直角．
根据三角形的内角和是180∘计算．
本题考查了三角形的内角和定理，解决本题的关键是熟记三角形内角和为180∘.
14.【答案】10∘，10∘或130∘，50∘
【解析】解：∵两个角的两边都平行，
∴此两角互补或相等，
设其中一个角为x∘，
∵其中一个角的度数是另一个角的3倍少20∘，
∴若两角相等，则x=3x−20，解得：x=10，
∴若两角互补，则x=3(180−x)−20，解得：x=130，
两个角的度数分别是10∘，10∘或130∘，50∘.
故答案为：10∘，10∘或130∘，50∘.
由两个角的两边都平行，可得此两角互补或相等，然后设其中一个角为x∘，分别从两角相等或互补去分析，由其中一个角的度数是另一个角的3倍少20∘，列方程求解即可求得答案．
此题考查了平行线的性质．此题难度不大，解题的关键是掌握若两个角的两边都平行，则此两角互补或相等，注意方程思想的应用．
15.【答案】±4
【解析】解：∵直线AB与坐标轴围成的三角形的面积等于10，
∴12|a|×5=10，
∴|a|=4，
∴a=±4，
故答案为：±4.
由点A(a,0)和点B(0,5)知OA=|a|，OB=5，根据三角形面积公式列方程可得答案．
本题考查一次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是掌握三角形面积公式．
16.【答案】4
【解析】解：∵点P(4,−5)与点Q(−4,m+1)关于原点对称，
∴m+1=5，
解得：m=4，
故答案为：4.
直接利用关于原点对称点的性质得出m的值即可．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
17.【答案】60或120
【解析】解：当高在三角形内部时(如图1)，顶角是60∘；
当高在三角形外部时(如图2)，顶角是120∘.
故答案为：60或120.
等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．
此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出60∘一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．
18.【答案】55
【解析】解：由题意得EF//GH，
∴∠1=∠BHG=70∘，
∴∠FEH+∠BHE=110∘，
由折叠可得∠2=∠FEH，
∵AD//BC
∴∠2=∠BHE，
∴∠FEH=∠BHE=55∘.
故答案为55.
利用平行线的性质可得∠1=70∘，利用折叠及平行线的性质，三角形的内角和定理可得所求角的度数．
考查折叠问题；综合利用平行线的性质，三角形的内角和定理及折叠的性质解题是解决本题的思路．
19.【答案】解：从图上可看出两个三角形的三条边对应相等．
所以△DEF即为所求．
【解析】若是三边对应相等的两个三角形互为全等三角形，根据此可画出图．
本题考查全等三角形的性质，三边对应相等，以及在表格中如何画出全等的三角形．
20.【答案】解：( 3+ 2)2×( 3− 2)2
=[( 3+ 2)( 3− 2)]2
=(3−2)2
=12
=1.
【解析】先利用积的乘方，再利用平方差公式进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21.【答案】解： (150)−2−(114)−2
= 502−142
= (50+14)(50−14)
= 64×36
=8×6
=48.
【解析】根据负整数指数幂，二次根式的性质进行计算即可解答．
本题考查了负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22.【答案】解： 2×318×66
=212×213×323×216×316
=212+13+16×323+16
=2×356
=2635.
【解析】运用分数指数幂和同底数幂相乘知识进行计算、求解．
此题考查了分数指数幂的计算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算．
23.【答案】3(0,−3)平行 等腰直角三角形 9
【解析】解：如图所示．
(1)由题意得，A点到原点O的距离是3.
故答案为：3.
(2)∵将点B向x轴的负方向平移1个单位，得到点D，
∴点D的坐标是(0,−3).
故答案为：(0,−3).
(3)由图可得，直线BD与x轴的位置关系是平行．
故答案为：平行．
(4)由勾股定理得，AC= 32+32=3 2，CD= 32+32=3 2，
∴AC=CD.
∵AD=6，
∴AC2+CD2=AD2，
∴∠ACD=90∘，
∴△ACD为等腰直角三角形．
△ACD的面积是12×CD⋅AC=12×3 2×3 2=9(平方单位).
故答案为：等腰直角三角形；9.
根据点A，B，C的坐标描点即可．
(1)由题意可知A点到原点O的距离是3.
(3)根据平移的性质可得点D的坐标．
(3)由图可得，直线BD与x轴的位置关系是平行．
(4)利用勾股定理以及勾股定理的逆定理可得△ACD为等腰直角三角形，再利用三角形的面积公式计算△ACD的面积即可．
本题考查作图-平移变换、勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握平移的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理是解答本题的关键．
24.【答案】解：如图，△ABC即为所求．

【解析】作射线BE，在射线BE上截取BC，使得BC=4cm，分别以B，C为圆心，BC为半径作弧，两弧交于点T，连接BT，以C为圆心，3.5cm为半径作弧交BT于点A，连接AC，△ABC即为所求．
本题考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
25.【答案】解：(1)∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠FDC=∠B+∠2=∠FDE+∠1，∠FDE=∠B，
∴∠1=∠2，
在△BDF和△CED中，
∠2=∠1∠B=∠CBD=CE，
∴△BDF≌△CED(AAS)；
(2)解：△DEF是等边三角形．理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60∘，
∴∠FDE=∠B=60∘，
∵△BDF≌△CED，
∴DF=ED，
∴△DEF是等边三角形．
【解析】(1)利用AB=AC得到∠B=∠C，再利用三角形外角性质证明∠1=∠2，然后根据“AAS”证明△BDF≌△CED；
(2)根据等边三角形的性质得∠B=60∘，再利用全等的性质得DF=ED，加上∠FDE=∠B=60∘，然后根据等边三角形的判定方法可判断△DEF是等边三角形．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等边三角形的判定与性质．
26.【答案】∠B=∠B′∠ACB=∠A′C′B′=90∘AB=A′B′，AAS.
换一种方法证明如下：
∵AB=A′B′，
将Rt△ABC和Rt△A′B′C′拼在一起点A与点B′重合，点B与点A′重合，BC和B′C′相交于点O，如下图所示：
在△ACO和△A′C′O中，
∠C=∠C′=90∘∠AOC=∠A′OC′AC=A′C′，
∴△ACO≌△A′C′O(AAS)，
∴OC=OC′，BO=B′O，
∴OC+BO=OC′+B′O，
即BC=B′C′，
在△ABC与△A′B′C′中，
AB=A′B′AC=A′C′BC=B′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠B=∠B′，∠ACB=∠A′C′B′=90∘，AB=A′B′，依据“AAS”即可判定△ABC和△A′B′C′全等；
【解析】解：完成推理过程如下：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∠B=∠B′∠ACB=∠A′C′B′=90∘AB=A′B′，
∴△ABC≌△A′B′C′(AAS)，
故答案为：∠B=∠B′∠ACB=∠A′C′B′=90∘AB=A′B′，AAS.
换一种方法如下：将Rt△ABC和Rt△A′B′C′拼在一起点A与点B′重合，点B与点A′重合，BC和B′C′相交于点O，先依据“AAS”判定△ACO和△A′C′O全等，则OC=OC′，BO=B′O，即BC=B′C′，然后依据“SSS”判定△ABC与△A′B′C′全等即可．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
27.【答案】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵BE//AD，
∴∠EBA=∠BAD，∠E=∠CAD，
∴∠EBA=∠E，
∴AE=AB，
又∵F是BE的中点，
∴AF⊥BE.
【解析】先由角平分线定义得出∠BAD=∠CAD，再根据平行线的性质得出∠EBA=∠BAD，∠E=∠CAD，那么∠EBA=∠E，由等角对等边得出AE=AB，又F是BE的中点，根据等腰三角形三线合一的性质即可证明AF⊥BE.
本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，难度适中．得出AE=AB是解题的关键．