广东省广州市白云区源雅学校2024_2025学年七年级下学期期中考试数学试卷

这是一份广东省广州市白云区源雅学校2024_2025学年七年级下学期期中考试数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(每小题3 分,共30 分)
1. 下列图案中,可以通过其中一个基础图形平移得到的是( )
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查平移图案的识别，解题的核心是区分平移、旋转与轴对称三种变换的特点，通过对各选项逐一分析，采用排除法得出答案。
【详解】解：A选项的图案可由一个基础图形经过旋转变换得到，不符合平移的定义，排除；
B选项的图案同样可通过一个基础图形旋转得到，不属于平移变换，排除；
C选项的图案能够由一个基础图形沿固定方向平移得到，符合题意；
D选项的图案可通过一个基础图形的轴对称变换得到，不符合平移要求，排除。
故选：C。
2. 9的平方根是( )
A. ±81 B. ±3 C. -3 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】解答本题的关键是熟练掌握平方根的定义，结合定义对9的平方根进行求解判断。
【详解】解：因为3²=9，(-3)²=9，根据平方根的定义，若x²=a，则x叫做a的平方根，因此9的平方根是±3。
故选：B。
3. 若点 P 在第二象限,且点 P 到 x 轴的距离为2,到 y 轴的距离为1,则点 P 的坐标为( )
A. (1,﹣2) B. (2,1) C. (﹣1,2) D. (2,﹣1)
【答案】C
【解析】
【分析】本题重点考查平面直角坐标系中第二象限内点的坐标特征，以及点到坐标轴距离的含义，掌握相关规律即可快速解题。
【详解】解：第二象限内点的坐标特征是横坐标为负数，纵坐标为正数；同时，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值。
已知点P到x轴距离为2，到y轴距离为1，因此点P的横坐标为-1，纵坐标为2，即点P的坐标为(-1,2)。
故选：C。
4. 实数√2、23、2/5、π/2、0、√4³、∛64，其中无理数的个数是( )个
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查无理数的识别，关键是牢记无理数的定义和常见类型，先对题干中的实数进行化简，再逐一判断是否为无理数。
【详解】解：首先对可化简的实数进行整理：√4³=√64=8，∛64=4，因此题干中的实数可化为：√2、23、2/5、π/2、0、8、4。
根据无理数的定义（无限不循环小数），常见的无理数分为三类：①π类；②开方开不尽的数；③有规律但无限不循环的小数。据此判断，其中的无理数为√2和π/2，共2个。
故选：A。
5. 已知{x=2，y=1}是二元一次方程mx+3y=2的一组解，则m的值是( )
A. 1/2 B. 1 C. -1/2 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程解的含义，解题思路是将方程的解代入原方程，得到关于m的一元一次方程，进而求解m的值。
【详解】解：将{x=2，y=1}代入二元一次方程mx+3y=2中，可得2m+3×1=2，即2m+3=2。
解这个一元一次方程：2m=2-3，2m=-1，解得m=-1/2。
故选：C。
6. 下列结论错误的是( )
A. -2有立方根 B. √0.25=±0.5 C. (√3)²=3 D. -1是1的平方根
【答案】B
【解析】
【分析】本题综合考查立方根、平方根的定义以及算术平方根的计算，逐一分析每个选项的正确性，即可找出错误结论。
【详解】解：A选项：任何实数都有立方根，-2的立方根是∛(-2)，原结论正确，不符合题意；
B选项：√0.25表示0.25的算术平方根，算术平方根只有一个非负值，因此√0.25=0.5，原结论错误，符合题意；
C选项：(√3)²=√3×√3=3，原结论正确，不符合题意；
D选项：因为(-1)²=1，所以-1是1的平方根，原结论正确，不符合题意。
故选：B。
7. 用代入法解方程组{2x-y=5，y=3-x}时，代入正确的是()
A. 2x-3+x=5 B. 2x-3-x=5 C. 2x+3+x=5 D. 2x+3-x=5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组的基本步骤，核心是将其中一个方程中的未知数用另一个未知数表示，再代入另一个方程。
【详解】解：给定方程组{2x-y=5 (1)，y=3-x (2)}，采用代入法，需将方程(2)代入方程(1)中。
将y=3-x代入2x-y=5，可得2x-(3-x)=5，去括号后为2x-3+x=5。
故选：A。
8. 下列六个命题:
①两条直线被第三条直线所截,内错角相等;
②在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线平行;
③直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离;
④平方根等于它本身的数只有0;
⑤实数和数轴上的点一一对应;
⑥无理数都是无限小数.
其中真命题的个数是( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题综合考查相交线与平行线、点到直线的距离、平方根、实数与数轴、无理数的相关概念，逐一判断每个命题的真假，统计真命题的个数即可。
【详解】解：①假命题：只有两条平行直线被第三条直线所截时，内错角才相等；若两条直线不平行，内错角不相等；
②假命题：在同一平面内，只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行；若点在已知直线上，无法作出与之平行的直线；
③真命题：符合点到直线距离的定义，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，即为该点到直线的距离；
④真命题：设这个数为x，若x的平方根等于它本身，则±√x=x，只有当x=0时满足，因此平方根等于本身的数只有0；
⑤真命题：实数与数轴上的点存在一一对应关系，每个实数都能在数轴上找到对应点，反之亦然；
⑥真命题：无理数的定义是无限不循环小数，因此所有无理数都属于无限小数。
综上，真命题为③④⑤⑥，共4个。
故选：B。
9. 在平面直角坐标系中，A(m+2,-1)，B(m-1,-1)，则直线AB与y轴的位置关系是( )
A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 不能确定(与m的取值有关)
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平面直角坐标系中直线的位置关系，关键是观察两点的坐标特征，判断直线AB的走向，进而确定其与y轴的关系。
【详解】解：观察点A和点B的坐标可知，两点的纵坐标均为-1，根据平面直角坐标系的性质，纵坐标相等的点所在的直线平行于x轴。
因为x轴与y轴互相垂直，所以平行于x轴的直线AB必然垂直于y轴。
故选：B。
10. 如图，10块形状、大小相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则下列方程中，不符合题意的是( )
A. {x+y=50，2x=x+4y} B. {x+y=50，x=4y} C. {5y=50，x=4y} D. {x+4y=50，x=4y}
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查根据实际图形列二元一次方程组，解题的关键是从大长方形的边长关系中找出等量关系，再对照选项判断方程是否符合题意。
【详解】解：由图可知，大长方形的宽为50cm，因此可得出两个关于宽的等量关系：一是小长方形的长与宽之和等于50cm，即x+y=50；二是5个小长方形的宽之和等于50cm，即5y=50。
同时，根据大长方形对边相等的性质，可得出2x=x+4y，化简后即为x=4y。
结合上述等量关系，可列出的方程组为：{x+y=50，2x=x+4y}、{x+y=50，x=4y}、{5y=50，x=4y}，只有选项D中的方程组不符合题意。
故选：D。
二、填空题(每小题3 分,共18 分)
11. √10的小数部分可以表示为
【答案】√10 - 3
【解析】
【分析】本题考查无理数的估算，解题思路是先确定√10的整数部分，再用√10减去其整数部分，即可得到小数部分。
【详解】解：因为9＜10＜16，所以√9＜√10＜√16，即3＜√10＜4。
由此可知，√10的整数部分是3，因此其小数部分为√10 - 3。
故答案为：√10 - 3。
12. 如图，直线AB、CD相交于点O，若∠AOC + ∠BOD = 100°，则∠AOD的度数是
【答案】130°（或130度）
【解析】
【分析】本题考查对顶角和邻补角的性质，利用对顶角相等求出∠AOC的度数，再结合邻补角互补的性质，即可求出∠AOD的度数。
【详解】解：因为∠AOC与∠BOD是对顶角，根据对顶角的性质，对顶角相等，所以∠AOC = ∠BOD。
已知∠AOC + ∠BOD = 100°，因此2∠AOC = 100°，解得∠AOC = 50°。
又因为∠AOC与∠AOD是邻补角，邻补角之和为180°，所以∠AOD = 180° - 50° = 130°。
故答案为：130°。
13. 如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，若A(0,2)、B(1,1)，则点C的坐标为
【答案】(2, -1)
【解析】
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标确定，关键是根据已知点A、B的坐标，准确建立平面直角坐标系，进而确定点C的坐标。
【详解】解：以已知点A(0,2)、B(1,1)为参照，建立平面直角坐标系（如图所示），根据网格特点和坐标规律，可得出点C的坐标为(2, -1)。
故答案为：(2, -1)。
14. 已知一个正数的两个平方根分别是a+1和2a-10，那么这个正数是
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查平方根的性质，牢记“一个正数的两个平方根互为相反数”这一规律，即可列出关于a的方程，进而求出这个正数。
【详解】解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以它们的和为0，即(a+1) + (2a - 10) = 0。
解这个方程：3a - 9 = 0，3a = 9，解得a = 3。
将a = 3代入a+1，可得其中一个平方根为3+1=4，因此这个正数为4²=16。
故答案为：16。
15. 已知a、b满足方程组{2a+b=9，a+2b=3}，则a+b的值为
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查加减消元法的灵活运用，无需单独求出a、b的值，将两个方程相加，化简后即可直接得到a+b的值。
【详解】解：将方程组中的两个方程相加，即(2a + b) + (a + 2b) = 9 + 3，化简可得3a + 3b = 12。
两边同时除以3，得a + b = 4。
故答案为：4。
16. 如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG=2∠D，则下列结论:①∠D=30°；②2∠D + ∠EHC=90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD。其中正确结论的是
【答案】①②（或②①）
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质和垂直的定义，结合已知条件逐步推导，逐一判断每个结论的正确性，即可得出答案。
【详解】解：因为FD∥EH，FG⊥EH，根据平行线的性质，垂直于其中一条直线的直线也垂直于另一条直线，所以FG⊥FD，因此∠AFG + ∠BFD = 180° - 90° = 90°。
已知∠AFG = 2∠D，又因为AB∥CD，所以∠D = ∠BFD（内错角相等），代入可得2∠D + ∠D = 90°，解得∠D = 30°，因此结论①正确。
因为FD∥EH，所以∠EHC = ∠D = 30°（同位角相等），因此2∠D + ∠EHC = 2×30° + 30° = 90°，结论②正确。
由∠D = 30°，可得∠BFD = 30°，FG⊥FD，所以∠GFD = 90°，但题干中未给出∠HFD的具体度数，无法确定∠HFD是否为30°或45°，因此FD平分∠HFB、FH平分∠GFD均无法确定，结论③④错误。
综上，正确的结论是①②。
故答案为：①②。
三、解答题
17. 计算：∛8 - √4 + |1 - √2|
【答案】√2 - 1
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，涉及立方根、算术平方根和绝对值的计算，按照先算开方、再算绝对值、最后算加减的顺序求解即可。
【详解】解：原式 = 2 - 2 + (√2 - 1) = √2 - 1。
18. 解方程：(x - 1)² = 36
【答案】x₁=7，x₂=-5
【解析】
【分析】本题考查利用平方根解方程，将方程两边同时开方，得到两个一元一次方程，分别求解即可得出方程的解。
【详解】解：因为(x - 1)² = 36，两边同时开方，可得x - 1 = ±6。
当x - 1 = 6时，解得x = 7；当x - 1 = -6时，解得x = -5。
因此，方程的解为x₁=7，x₂=-5。
19. 已知∠ABC的两边与∠DEF的两边分别平行，即AB∥DE，BC∥EF，试探究：
（1）如图1，∠B与∠E的关系是
（2）如图2，写出∠B与∠E的关系，并说明理由；
（3）根据上述探究，请归纳概括出一个真命题。
【答案】(1) ∠B = ∠E；(2) ∠B + ∠E = 180°，理由见解析；(3) 如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，结合图形，利用平行线的同位角相等、同旁内角互补的性质，分别探究两种情况下∠B与∠E的关系，进而归纳出通用命题。
【小问1详解】
解：∠B = ∠E，理由如下：
如图1，因为AB∥DE，所以∠B = ∠1（同位角相等）；
又因为BC∥EF，所以∠1 = ∠E（同位角相等）；
因此，∠B = ∠E。
故答案为：∠B = ∠E。
【小问2详解】
解：∠B + ∠E = 180°，理由如下：
如图2，因为AB∥DE，所以∠B + ∠1 = 180°（同旁内角互补）；
又因为BC∥EF，所以∠1 = ∠E（同位角相等）；
因此，∠B + ∠E = 180°。
【小问3详解】
解：结合（1）（2）的探究结果，可归纳出真命题：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补。
20. 如图所示，已知直角三角形ABC，∠B=90°，AB=6个单位长度，将直角三角形ABC沿着由点B到点C的方向平移6个单位长度，得到三角形A'B'C'。
（1）画出平移后的三角形A'B'C'；
（2）若A'B'与AC相交于D，A'D=2个单位长，求四边形A'DCC'的面积。
【答案】(1) 见解析；(2) 30
【解析】
【分析】本题考查平移作图和平移的性质，平移前后图形的形状、大小不变，对应点的连线平行且相等，利用这一性质可简化四边形面积的计算。
【小问1详解】
解：根据平移的定义，将点A、B、C分别沿着由B到C的方向平移6个单位长度，得到对应点A'、B'、C'，连接A'B'、B'C'、A'C'，即可得到平移后的三角形A'B'C'（如图所示）。
【小问2详解】
解：由平移的性质可知，BB' = 6，AB∥A'B'，且AB = A'B' = 6。
已知A'D = 2，所以B'D = A'B' - A'D = 6 - 2 = 4。
因为平移前后两个三角形的面积相等，即S△A'B'C' = S△ABC，所以四边形A'DCC'的面积等于梯形ABB'D的面积（用两个三角形的面积分别减去重叠部分△B'CD的面积）。
梯形ABB'D的面积 = 1/2 × (AB + B'D) × BB' = 1/2 × (6 + 4) × 6 = 30。
因此，四边形A'DCC'的面积为30。
21. 小丽想用一块长宽之比为3:2，面积为390cm²的长方形纸片，沿着长或宽的方向裁出2块面积均为144cm²的正方形纸片（不拼接）。
（1）请求出长方形纸片的长和宽；
（2）小丽能用这块长方形纸片裁出符合要求的正方形纸片吗？
【答案】(1) 长方形纸片的长和宽分别为3√65 cm、2√65 cm；(2) 能
【解析】
【分析】本题考查算术平方根的实际应用和无理数的估算，先根据长宽比和面积求出长方形的长和宽，再通过估算无理数的大小，判断能否裁出符合要求的正方形。
【小问1详解】
解：设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm，根据长方形面积公式，可得3x·2x = 390。
化简方程：6x² = 390，x² = 65，解得x = √65（负值已舍去，因为长度不能为负）。
因此，长方形的长为3√65 cm，宽为2√65 cm。
【小问2详解】
解：能，理由如下：
正方形的面积为144cm²，因此其边长为√144 = 12 cm，两块正方形的边长之和为2×12 = 24 cm。
对√65进行估算：因为√64＜√65＜√81，所以8＜√65＜9。
由此可得，3√65的范围是24＜3√65＜27，2√65的范围是16＜2√65＜24。
因为两块正方形的边长之和24 cm小于长方形的长3√65 cm，所以小丽能用这块长方形纸片裁出符合要求的正方形纸片。
22. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC:∠BOC=2:3。
（1）求∠DOE的度数；
（2）若OF⊥OE，求证：OF平分∠AOD。
【答案】(1) 36°；(2) 证明见解析
【解析】
【分析】本题考查角平分线的定义、垂直的定义以及对顶角的性质，先根据平角的性质求出相关角度，再结合角平分线和垂直的定义完成求解和证明。
【小问1详解】
解：因为∠AOC与∠BOC组成平角，所以∠AOC + ∠BOC = 180°。
已知∠AOC:∠BOC = 2:3，设∠AOC = 2k，∠BOC = 3k，则2k + 3k = 180°，解得k = 36°。
因此，∠AOC = 2×36° = 72°。
因为∠AOC与∠BOD是对顶角，对顶角相等，所以∠BOD = 72°。
又因为OE平分∠BOD，所以∠DOE = 1/2∠BOD = 1/2×72° = 36°。
【小问2详解】
证明：由（1）可知，∠BOD = 72°，∠DOE = 36°。
因为∠AOD与∠BOD是邻补角，所以∠AOD = 180° - ∠BOD = 180° - 72° = 108°。
已知OF⊥OE，所以∠EOF = 90°（垂直的定义）。
因此，∠DOF = ∠EOF - ∠DOE = 90° - 36° = 54°。
进而可得，∠AOF = ∠AOD - ∠DOF = 108° - 54° = 54°。
因为∠AOF = ∠DOF，所以OF平分∠AOD（角平分线的定义）。
23. 如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°。
（1）若∠BCD=150°，求∠ACE的度数；
（2）试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，请说明理由；
（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究∠BCD等于多少度时，CD∥AB，并简要说明理由。
【答案】(1) 30°；(2) ∠BCD + ∠ACE = 180°，理由见解析；(3) ∠BCD=120°或60°，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定和性质，以及角的和差计算，结合三角板的角度特点，分情况讨论，逐步完成求解和探究。
【小问1详解】
解：因为△ABC和△DCE都是直角三角形，直角顶点为C，所以∠BCA = ∠ECD = 90°。
已知∠BCD = 150°，所以∠DCA = ∠BCD - ∠BCA = 150° - 90° = 60°。
因此，∠ACE = ∠ECD - ∠DCA = 90° - 60° = 30°。
【小问2详解】
解：∠BCD + ∠ACE = 180°，理由如下：
由题意可知，∠BCD = ∠ACB + ∠ACD = 90° + ∠ACD（∠ACB为直角）；
∠ACE = ∠DCE - ∠ACD = 90° - ∠ACD（∠DCE为直角）；
将两式相加，可得∠BCD + ∠ACE = (90° + ∠ACD) + (90° - ∠ACD) = 180°。
【小问3详解】
解：当∠BCD = 120°或60°时，CD∥AB，分两种情况说明：
①如图2，当CD∥AB时，∠B与∠BCD为同旁内角，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得∠B + ∠BCD = 180°。
已知∠B = 60°，所以∠BCD = 180° - 60° = 120°。
②如图3，当CD∥AB时，∠B与∠BCD为内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可得∠B = ∠BCD = 60°。
综上，∠BCD为120°或60°时，CD∥AB。
24. 阅读材料并回答下列问题：当m、n都是实数，且满足2m = 8 + n，就称点P(m - 1, (n + 2)/2)为“爱心点”。
（1）判断点A(5,3)，B(4,6)哪个点为“爱心点”，并说明理由；
（2）若点C(a,-8)也是“爱心点”，请求出a的值；
（3）已知p、q为有理数，且关于x、y的方程组{x+y=√3 p + q，x - y=√3 p - 3q}的解为坐标的点B(x,y)是“爱心点”，求p、q的值。
【答案】(1) 点A是爱心点，点B不是爱心点，见解析；(2) a=-6；(3) p=0，q=-2/3
【解析】
【分析】本题考查新定义“爱心点”的应用，结合二元一次方程组的解法，根据“爱心点”的定义列出方程，逐步求解即可。
【小问1详解】
解：点A是爱心点，点B不是爱心点，理由如下：
对于点A(5,3)，根据“爱心点”的定义，可得{m - 1 = 5，(n + 2)/2 = 3}，解得{m=6，n=4}。
验证2m = 8 + n：2×6 = 12，8 + 4 = 12，等式成立，因此点A是爱心点。
对于点B(4,6)，可得{m - 1 = 4，(n + 2)/2 = 6}，解得{m=5，n=10}。
验证2m = 8 + n：2×5 = 10，8 + 10 = 18，10≠18，等式不成立，因此点B不是爱心点。
【小问2详解】
解：因为点C(a,-8)是爱心点，所以{m - 1 = a，(n + 2)/2 = -8}。
由(n + 2)/2 = -8，解得n = -18。
根据“爱心点”的定义，2m = 8 + n，将n = -18代入，可得2m = 8 + (-18) = -10，解得m = -5。
又因为m - 1 = a，所以a = -5 - 1 = -6。
【小问3详解】
解：先解关于x、y的方程组：
将方程组{x + y = √3 p + q，x - y = √3 p - 3q}两式相加，得2x = 2√3 p - 2q，解得x = √3 p - q；
两式相减，得2y = 4q，解得y = 2q。
因为点(x,y)是爱心点，所以{m - 1 = x = √3 p - q，(n + 2)/2 = y = 2q}，解得{m = √3 p - q + 1，n = 4q - 2}。
根据2m = 8 + n，代入m和n的表达式，可得：
2(√3 p - q + 1) = 8 + (4q - 2)，化简得2√3 p - 2q + 2 = 6 + 4q，即2√3 p - 6q = 4。
因为p、q为有理数，而√3是无理数，所以无理数项的系数必须为0，即2√3 p = 0，解得p = 0。
将p = 0代入-6q = 4，解得q = -2/3。
因此，p = 0，q = -2/3。
25. 汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一探照灯，便于夜间察看河水及两岸河堤的情况，如图1，探照灯A射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，探照灯B射出的光束自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视。若探照灯A射出的光束的转动速度是a°/秒，探照灯B射出的光束的转动速度是b°/秒，且a、b满足|a - 3b| + (a + b - 4)² = 0，假定这一带水域两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°。
（1）求a、b的值；
（2）如图2，两探照灯同时转动，在探照灯A射出的光束到达AN之前，两探照灯射出的光束交于点C，若∠BCA=70°，求∠BAC的度数；
（3）若探照灯B射出的光束先转动40秒，探照灯A射出的光束才开始转动，在探照灯B射出的光束第一次到达BQ之前，当两探照灯的光束互相平行时，请直接写出探照灯A转动的时间。
【答案】(1) a=3，b=1；(2) ∠BAC=30°；(3) t=20s或t=80s
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质、非负数的性质以及一元一次方程的应用，结合光束转动的速度和时间，分情况讨论光束平行的条件，逐步求解即可。
【小问1详解】
解：因为|a - 3b|和(a + b - 4)²都是非负数，且它们的和为0，所以每个非负数都必须为0。
由此可得方程组{a - 3b = 0，a + b - 4 = 0}，解这个方程组：
由a = 3b，代入a + b - 4 = 0，得3b + b - 4 = 0，4b = 4，解得b = 1，因此a = 3×1 = 3。
所以，a=3，b=1。
【小问2详解】
解：过点C作CG∥PQ，因为PQ∥MN，所以PQ∥CG∥MN（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
设探照灯A转动时间为t秒，因为A的转动速度为3°/秒，B的转动速度为1°/秒，所以∠MAC = 3t°，∠PBC = t°。
因为PQ∥CG，所以∠GCB = ∠PBC = t°（内错角相等）；
因为CG∥MN，所以∠GCA + ∠MAC = 180°（同旁内角互补），即∠GCA = 180° - 3t°。
已知∠BCA = 70°，而∠BCA = ∠GCA - ∠GCB，所以180° - 3t° - t° = 70°。
解这个方程：180° - 4t° = 70°，4t° = 110°，解得t = 55。
因为∠MAN = 180°，∠BAN = 45°，所以∠MAB = 180° - 45° = 135°。
因此，∠BAC = ∠MAC - ∠MAB = 3×55° - 135° = 165° - 135° = 30°。
【小问3详解】
解：设探照灯A转动了t秒时，两束光束互相平行，探照灯B先转动40秒，因此B转动的总时间为(t + 40)秒，B的转动速度为1°/秒，A的转动速度为3°/秒。
探照灯B第一次到达BQ时，转动的角度为180°，所需时间为180÷1 = 180秒，因此A转动的时间t需满足t + 40＜180，即t＜140秒。
分两种情况讨论：
①当0＜t＜60秒时，A的光束未回转，此时两光束平行需满足3t = t + 40，解得t = 20秒（符合t＜60的条件）。
②当60＜t＜120秒时，A的光束已回转，此时A转动的角度为3t - 180°，两光束平行需满足(3t - 180°) + (t + 40°) = 180°，化简得4t - 140° = 180°，4t = 320°，解得t = 80秒（符合60＜t＜120的条件）。
③当120＜t＜140秒时，A的光束第二次回转，此时A转动的角度为3t - 360°，两光束平行需满足3t - 360° = t + 40°，解得t = 200秒（大于140秒，不符合条件，舍去）。
综上，当t=20s或t=80s时，两探照灯的光束互相平行。