河北省部分重点高中2024-2025学年高一下学期7月期末考试 数学（含解析）

这是一份河北省部分重点高中2024-2025学年高一下学期7月期末考试 数学（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．复数的虚部是（ ）
A．2B．C．D．
2．已知向量，若，则（ ）
A．B．4C．5D．
3．某校高一年级有720名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为48的样本，其中身高在175cm以下的学生人数为32，则该校高一年级身高在175cm以下的学生人数为（ ）
A．320B．360C．420D．480
4．在空间直角坐标系中，，则平面的一个法向量为（ ）
A．B．C．D．
5．已知随机事件和相互独立，且，则（ ）
A．0.9B．0.85C．0.8D．0.78
6．已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．用抽签法抽取的一个容量为10的样本的平均数为12，方差为6，用随机数表法抽取的一个容量为20的样本的平均数为15，方差为9，则样本的方差为（ ）
A．8B．10C．12D．14
8．已知菱形的边长为，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，则当三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列关于非零向量的说法正确的是（ ）
A．若共线，则B．若，则共线
C．若，则的夹角为锐角D．若的夹角为锐角，则
10．已知事件两两互斥，若，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．直线到平面的距离为
C．直线与平面所成角的正弦值为
D．平面与平面所成角的正弦值为
三、填空题
12．已知一组数据如下：，则这组数据的第80百分位数是 .
13．若圆锥的母线长为6，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为 .
14．在中，角的对边分别是，记的面积为，若，，，则的面积为 .
四、解答题
15．设复数（其中）.
(1)若，求的值；
(2)若是关于的方程的一个根，求的值.
16．如图，直三棱柱中，为线段的中点.
(1)证明：平面；
(2)平面将三棱柱分成两部分，求这大小两部分体积的比值.
17．在中，角的对边分别是，向量，，且.
(1)求；
(2)若的外接圆的面积为，求周长的取值范围.
18．这么近，那么美，周末到河北.“五一”小长假过后，为更好地提升旅游品质，邯郸东太行旅游度假区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），将评分绘制成频率分布直方图，请根据下面尚未完成的频率分布直方图解决下列问题.
(1)根据频率分布直方图，求的值；
(2)估计这100名游客对景区满意度评分的中位数；
(3)若工作人员从这100名游客中随机抽取了5名，其中评分在内的有2人，评分在内的有3人.现从这5人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分均在内的概率.
19．如图1，在直角梯形中，已知，现将沿折起到的位置，使平面平面，如图2.
(1)求证：；
(2)求与平面所成的角的正弦值；
(3)求二面角的平面角的余弦值.
1．C
根据虚部的定义求解即可.
【详解】由复数的定义可知复数的虚部为.
故选：C.
2．C
由，利用平行向量的坐标表示即可求解.
【详解】因为，所以，
解得.
故选：C.
3．D
根据分层抽样定义计算即可.
【详解】由比例分配的分层抽样方法可得高一年级身高在175cm以下的学生人数为.
故选：D.
4．A
根据法向量的求法求解即可.
【详解】由已知，设平面的一个法向量为，
，取，得，
选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线.
故选：A.
5．A
根据乘法公式以及并事件的概率求法，即可求得答案.
【详解】因为事件和相互独立，,
故，
所以.
故选：A.
6．B
根据有两解，列不等式求解可得结果.
【详解】如图，在中，，则有两解的充要条件为：，
即.
故选：B.
7．B
求出新样本的平均数，根据方差公式计算，即可求得答案.
【详解】由题知的平均数为，
则所求方差.
故选：B.
8．D
当三棱锥体积最大时，平面平面，分别取和的外接圆圆心，进而找到三棱锥的外接球的球心，求出外接球的半径，最后根据球的表面积公式即可得解.
【详解】当三棱锥体积最大时，平面平面，
取的中点，连接，
因为四边形为菱形，
所以，
因为平面平面，
所以，
如图，过上靠近的三等分点作平面的垂线，
过上靠近的三等分点作平面的垂线，
两条垂线的交点即为三棱锥的外接球的球心，连接，
因为，，
所以为等边三角形，
所以，
所以，
同理可得，
所以，
所以.
故选：D.
9．BD
由向量共线的意义、数量积的几何意义逐一判断各个选项即可得解.
【详解】对于选项A，当方向相反时，，故选项A错误；
对于选项B，若，则方向相同，即共线，故选项B正确；
对于选项C，若的夹角为锐角或的方向相同，故选项C错误；
对于选项D，若的夹角为锐角，故选项D正确.
故选：BD.
10．BC
利用互斥事件满足的关系式，对选项一一分析求解，求出答案.
【详解】A选项，因为事件两两互斥，
所以，
则，所以，故A错误；
B选项，，则，故B正确；
C选项，，故C正确；
D选项，，故D错误.
故选：BC.
11．ACD
对于A，只需证明平面即可说明A正确；对于B，由等体积法验算点面距离即可；对于C，D，由线面角、面面角的定义逐一验算CD选项即可得解.
【详解】对于A，如图，连接，因为平面平面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，故A正确；
对于B，平面平面，所以平面.
因为正方体的棱长为2，所以是边长为的正三角形.
设直线到平面的距离为，由等体积法得：
，解得，故B错误；
对于C，连接，平面即为平面.
设与交于点，则为的中点.过点作，交于点，
则为的中点，平面，平面，
所以，又，所以平面.
连接，则为直线与平面所成的角，
，故C正确；
对于D，设，连接，则，
所以为平面与平面所成角的平面角，因为，
所以，故D正确.
故选：ACD
12．8.5/
根据题意，利用百分位数的计算方法，即可求解.
【详解】由题意，数据，可得，
故第80百分位数是第8个数和第9个数的平均数，即为.
故答案为：8.5.
13．
设圆锥的底面半径为，母线长为，分析得出，可求得以及圆锥的高，再利用圆锥的体积公式可求得结果.
【详解】设圆锥底面半径为，母线长为.
因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，所以，即，，
那么圆锥的高.
圆锥的体积.
故答案为：.
14．/
由辅助角公式可得，结合，可求得，再利用余弦定理可得，结合可求得，从而可判断为直角三角形，即可求解.
【详解】由题意，即，因为，所以.
由余弦定理可知，
因为，所以.代入解得，
此时，所以为直角三角形，
所以的面积为.
故答案为：.
15．(1)3
(2)或
（1）利用共轭复数的定义和两复数相等得到方程组，求出，得到答案；
（2）将代入方程，化简后，根据两复数相等得到方程组，求出答案.
【详解】（1），因为，所以，
故，所以.
（2）是关于的方程的一个根，
，即.
所以，解得或.故或.
16．(1)证明见解析
(2)5
（1）构造线线平行，根据线面平行的判定定理可证结论.
（2）分别计算棱柱和棱锥的体积，可求两部分的体积之比.
【详解】（1）如图：
连接交于点，连接，
则为的中点，又为线段的中点，则，
因为平面平面，
所以直线平面.
（2）由题知，所以，
所以三棱柱的体积.
三棱锥的体积，
所以多面体的体积.
所以.
17．(1)；
(2).
（1）利用向量数量积的坐标运算，结合正弦定理角化边，再根据余弦定理计算可得，由此求得角；
（2）利用正弦定理求得，再根据余弦定理结合基本不等式求得，又根据三角形的三边关系可得，即可得周长的取值范围.
【详解】（1）因为，所以，
即，
由正弦定理可知，所以，
根据余弦定理，，
又，所以.
（2）因为的外接圆的面积为，所以半径.
由正弦定理可知，所以.
由，知，
即，
解得，即，当且仅当时等号成立，
又，所以，
所以，即周长的取值范围为.
18．(1)
(2)
(3)
（1）根据直方图中频率和为1求参数即可；
（2）由中位数的求法，结合直方图求解即可；
（3）根据分层抽样的各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解.
【详解】（1）由图知：，可得.
（2）由，
所以中位数在之间，设中位数为，那么，
解得.所以中位数为86.
（3）设在中抽取的2人分别为；在中抽取的3人分别为；
从这5人中随机抽取2人，则样本空间为：
，共有10个基本事件.
设选取的2人评分均在内为事件，
则中包含3个基本事件，所以.
19．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）因为，则，
可得，则.
又因为平面平面，且平面平面平面，
可得平面，
且平面，所以.
（2）法一（几何法）：过点作，交于点.
因为，则为的中点，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
连接，则为与平面所成的角.
由（1）知，
因为，则，
所以直线与平面所成的角的正弦值.
法二（空间向量法）：过点作，交于点.
因为，则为的中点，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
以为坐标原点，所在的直线为轴，过且平行于所在的直线为轴，所在的直线为轴，如图建立空间直角坐标系，
则，可得，
因为平面，所以平面的一个法向量可为，
可得.
直线与平面所成的角的正弦值为.
（3）法一（几何法）：由（2）知平面平面，所以.
过作交于点，连接，
因为，平面，所以平面，
且平面，所以，
可知为二面角的平面角.
在中，，则，
可得，
所以二面角的平面角的余弦值为；
法二（空间向量法）：由（2）知，
则.
设平面的法向量为，
则，即，令，可得，
所以平面的一个法向量为，
且平面的一个法向量可为.可得，
由图可知二面角的平面角为锐角，
所以二面角的平面角的余弦值为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
D
A
A
B
B
D
BD
BC
题号
11









答案
ACD