华东师大版（2024）七年级下册（2024）图形的全等表格教学设计及反思

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教学内容分析
《图形的全等》作为华师大版七年级下册第九章的总结性内容，是对轴对称、平移、旋转三种图形变换的系统性整合与深化。教材以图形变换后 “完全重合” 的特性为切入点，抽象出全等图形的核心概念，揭示 “形状相同、大小相等” 的本质属性，构建起 “图形变换” 与 “全等关系” 的逻辑桥梁。教学内容涵盖全等图形的定义、性质及其与图形变换的内在联系，不仅为后续八年级学习全等三角形判定定理奠定直观基础，更通过观察、操作、推理等活动，着重培养学生的几何直观、推理能力与模型观念，落实新课标对图形与几何领域的核心素养要求。
学习者分析
学生已系统掌握轴对称、平移、旋转的变换特征，能识别变换前后图形的对应关系，具备初步的图形分析与操作能力；在前期学习中积累了一定的观察、归纳经验，为探究全等图形的性质奠定了方法基础；学生易混淆 “形状相同” 与 “全等”，忽视 “大小相等” 这一关键条件，需通过 “同比例缩放图形” 等反例对比，强化概念本质；面对不规则多边形或组合图形时，学生难以快速确定对应顶点、对应边，尤其在图形经过复合变换后，对应关系的识别难度显著增加；对 “全等图形必可通过变换重合” 的逆向关系理解不足，需借助动态演示、动手操作等方式，突破思维局限.
教学目标
1.能准确阐述全等图形的定义，识别生活与数学情境中的全等图形，并用符号 “≌” 规范表示全等关系； 熟练运用全等图形的性质和判定，根据图形变换类型确定对应边、对应角，解决简单的线段长度、角度计算问题.
2.通过 “观察实例 — 操作验证 — 归纳性质 — 应用拓展” 的探究过程，经历从具体到抽象的数学建模活动，提升几何直观能力与逻辑推理能力，掌握 “从特殊到一般” 的数学研究方法。
3.感受全等图形在建筑设计、艺术创作、工业生产中的美学价值与实用价值，体会数学与生活的紧密联系，增强用数学眼光观察世界、用数学思维解决问题的信心。
教学重点
1.深刻理解 “完全重合” 的内涵，掌握对应边相等、对应角相等的性质，并能运用性质进行简单的推理与计算.
2.明确三种图形变换是判定全等的操作方法，熟练建立 “变换 — 全等” 的双向逻辑关系，灵活应用于图形分析与问题解决。
教学难点
在非规则多边形或经过复合变换的图形中，能综合运用变换特征、图形特征，准确找出对应顶点、对应边、对应角，避免因图形位置变化导致的对应错误.
学习活动设计
教师活动
学生活动
环节一：情境导入
教师活动1：
1.图形的轴对称、平移和旋转，这是图形的三种基本变换有什么共同点呢？
图形经过这样的变换，位置发生了改变，但变换前后两个图形的对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小并没有改变.
2.下列各组图形的形状与大小有什么特点？
学生活动1：
通过探究活动理解．学生通过已学习的知识经过个人思考、小组合作等方式推导出本课新知.
激发学生探究图形全等的兴趣。
活动意图说明：
从实际出发，从学生已有的生活经验出发.以问题导入，吸引学生注意力，复习上节内容，导入本节新内容--图形的全等．
环节二：新知探究
教师活动2：
(一)全等图形的认识
问题1：观察思考：每组中的两个图形有什么特点？
问题2：观察思考：每组中的两个图形有什么特点？
我们已经认识了图形的轴对称、平移与旋转，这是图形的三种基本变换，图形经过这样的变换，位置发生了改变，但变换前后两个图形的对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小并没有改变.
归纳总结：要想知道两个图形的形状和大小是否完全相同，可以通过轴对称、平移与旋转这些图形的变换，把两个图形叠合在一起，观察它们是否完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等图形.
思考：观察下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？与同伴进行交流.
它们不能重合，不是全等图形，全等图形的形状与大小都相同.
读一读：
轴对称、 平移与旋转都是从实际生活中抽象得到的一些基本变换， 它们保证了变换过程中， 任意两点之间的距离不变， 从而保证了图形的形状和大小都不发生变化， 反映了图形之间的全等关系. 这种运用动态变换研究图形之间关系的方法， 是一种重要而且有效的方法.
做一做：
图9.5.1中给出了8个图形，你能发现哪两个图形是全等图形吗?动手试试看.
全等图形：
(2)和(4) (3)和(6)
一个图形经过轴对称、平移和旋转等变换所得到的新图形一定与原图形全等；
反过来，两个全等的图形经过上述变换后一定能够互相重合.
[归纳总结]
1.两个能够完全重合的图形称为全等图形.
2.图形经过轴对称、平移或旋转等变换所得到的新图形一定与原图形全等.
3.两个全等图形经过轴对称、平移或旋转等变换后一定能够互相重合.
(二)全等图形的性质和判定
思考：观察图9.5.2中的两对多边形，每对中的其中一个可以经过怎样的变换和另一个图形重合？
归纳总结：两对多边形都是全等图形，也称为全等多边形．两个全等的多边形，经过变换而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角.
如下图9.5.3中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE≌五边形A′B′C′D′E′(这里，符号“≌”表示全等，读作“全等于”). 点A与点A′、点B与点B′、点C与点C′、点D与点D′、点E与点E′分别是对应顶点.
思考：请指出两个图形的对应角和对应边.
对应角：
∠A与∠A' ∠B与∠B' ∠C与∠C'
∠D与∠D' ∠E与∠E'
对应边：
AB=A'B' BC=B'C' CD=C'D'
DE=D'E' EA=E'A'
归纳总结：1.全等多边形的性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等.
2.全等多边形的判定方法：边、角分别对应相等的两个多边形称为全等多边形.
3.全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等.
4.全等三角形的判定方法：如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等.
如图9.5.4所示，△ABC≌△DEF，且∠A=∠D，∠B=∠E.你能指出它们之间其他的对应顶点、对应角和对应边吗？
解：对应顶点：点A与点D、点B与点E、点C与点F；
对应边： AB与DE、BC与EF、CA与ED；
对应角：∠A与∠D、∠B与∠E、∠C与∠F.
学生活动2：
学生小组合作交流．
学生可小组合作交流，自主探究，得出结论
教师巡视，听取学生的看法、见解，随时参与讨论.
活动意图说明：引导学生建立模型，鼓励学生大胆探索，了解图形全等的意义.了解图形全等的特征.识别全等图形.体会图形的三种基本变换与图形全等的关系. 积累解题经验，提高灵活地运用所学知识解决问题的能力.
环节三：例题讲解
教师活动3：
例1 如图9.5.5，△ABC沿着BC的方向平移至△DEF，∠A=80°，∠B=60°求∠F的度数.
【分析】通过平移后的两个三角形是什么关系？它们具有什么性质？
【解】由图形平移的特征，可知△ABC和△DEF的形状与大小相同，
即△ABC≌△DEF.
∴∠D=∠A=80°(全等三角形的对应角相等).
同理∠DEF=∠B=60°.
又∵∠D+∠DEF+∠F=180°(三角形的内角和等于180°)，
∴∠F=180°−∠D−∠DEF=180°−80°−60°=40°.
【总结】全等三角形对应边相等，根据图形以及全等三角形对应顶点的字母写在对应位置上准确找出对应角是解题的关键.
例2 如图，△ACF≌△DBE，∠E＝∠F，若AD＝11，BC＝7.
(1)试说明AB＝CD；
(2)求线段AB的长.
【分析】
(1)根据全等三角形对应边相等AC＝DB，AC－BC＝DB－BC，AB＝CD；
(2)由AD－BC＝AB＋CD，且AB＝CD，AB＝eq \f(1,2)(AD－BC) ，代入数据进行计算即可得解.
【解】(1)∵ △ACF≌△DBE，
∴ AC＝DB，
∴ AC－BC＝DB－BC，
即AB＝CD.
(2)∵ AD＝11，BC＝7，且AB＝CD，
∴ AB＝eq \f(1,2)(AD－BC)＝eq \f(1,2)×(11－7)＝2.
【总结】全等三角形对应边相等，根据图形以及全等三角形对应顶点的字母写在对应位置上准确找出对应边AC，DB是解题的关键.
学生活动3：
学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，巩固例题，学生尝试练习师巡视，个别指导.
活动意图说明：
让学生在一定的数学活动中去体验、感受数学，培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识.从而更好地理解知识，让学生的认知结构得到不断的完善．
板书设计
9.5 图形的全等
1.全等形的概念.
2.全等多边形的概念：
全等三角形的概念 ：
能相互重合的顶点叫对应顶点，能相互重合的边叫做对应边，能相互重合的角叫做对应角.全等的符号“≌”，读作“全等于”.
3.全等多边形性质.
4.全等三角形的性质与判定.
例
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.下列四个图形中，属于全等图形的是( )
A.①和② B.②和③ C.①和③ D.全部
2.如图，直角△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到直角△DEF，则下列结论中，错误的是( )
A.BE=EC B.BC=EF C.AC=DF D.△ABC≌△DEF
3.若△ABC≌△A'B'C'，且∠C=50°，∠BAC-∠A'B'C'=10°，则∠BAC= .
4.如图所示，△ABC与△DEC全等，且∠ACB=90°.
(1)说明△ABC经过怎样的变换得到△DEC，并指出对应边和对应角；
(2)请直接写出直线AB，DE的位置关系.

选做题：
5.在直角三角形ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C=( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
6.如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DO=4，平移距离为6，则阴影部分面积为 .
7.如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，已知∠ABE=162°，∠DBC=30°，AD=DC=2.5，BC=4.
(1)求∠CBE的度数.
(2)求△CDP与△BEP的周长和.
【综合拓展类作业】
8.如图①，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=9 cm，AC=12 cm，AB=15 cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3 cm/s，设运动时间为t s.
(1)如图①，当t= 时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；
(2)如图②，在△DEF中，∠E=90°，DE=4 cm，DF=5 cm，∠D=∠A.在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止.在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度.
答案：1.A；2.A；3.70°；
4. 【解析】(1)△ABC与△DEC全等，观察题中图形发现可将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC(答案不唯一).
对应边：AB与DE，AC与DC，BC与EC，
对应角：∠A与∠D，∠ACB与∠DCE，∠ABC与∠E.
(2)直线AB，DE互相垂直.
5.D；6.48；
7. 【解析】(1)因为∠ABE=162°，∠DBC=30°，所以∠ABD+∠CBE=132°，
因为△ABC≌△DBE，所以∠ABC=∠DBE，
所以∠ABD=∠CBE=132°÷2=66°，
即∠CBE的度数为66°；
(2)因为△ABC≌△DBE，
所以DE=AC=AD+DC=5，BE=BC=4，
所以△CDP与△BEP的周长和为DC+DP+PC+BP+PE+BE=DC+DE+BC+BE
=2.5+5+4+4=15.5.
8. 【解析】(1)①当点P在BC上时，如图①-1所示，
若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则CP=12BC=92 cm，
此时，点P移动的距离为AC+CP=12+92=332(cm)，
移动的时间为：332÷3=112(s)，
②当点P在BA上时，如图①-2所示，
若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则PB=12AB=152 cm，即点P为BA的中点，
此时，点P移动的距离为AC+CB+BP=12+9+152=572(cm)，
移动的时间为：572÷3=192(s)；
答案：112或192
(2)△APQ≌△DEF，即对应顶点为A与D，P与E，Q与F；
①当点P在AC上时，如图②-1所示，
此时，AP=4，AQ=5，
所以点Q移动的速度为5÷(4÷3)=154 cm/s，
②当点P在AB上时，如图②-2所示，此时，AP=4，AQ=5，
即点P移动的距离为9+12+15-4=32(cm)，点Q移动的距离为9+12+15-5=31(cm)，
所以点Q移动的速度为31÷(32÷3)=9332 cm/s，
综上所述，在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，点Q的运动速度为154 cm/s或9332 cm/s.
作业设计
【知识技能类作业】
必做题：
1.下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是( )
①②③④
A.①和②B.②和③ C.②和④D.③和④
2.如图，Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到Rt△DEF，则下列结论中不一定正确的是( )
A.BE＝EC B.BC＝EF C.AC＝DF D.△ABC≌△DEF
3.如图，已知△ABC≌△BAD.若∠DAC＝20°，∠C＝88°，则∠DBA＝ °.
4.如图，△ABC≌△DEF，∠A＝30°，∠B＝50°，BF＝2，则∠DFE＝ °，EC＝ .
选做题：
5.如图，△ABC≌△DEF，点B、E、C、F在同一条直线上.
(1)若∠BED＝140°，∠D＝75°，求∠ACB的度数；
(2)若BE＝2，EC＝3，求BF的长.
6.如图，已知△ABC≌△EBD.
(1)若BE＝6，BD＝4，求线段AD的长；
(2)若∠E＝30°，∠B＝48°，求∠ACE的度数.
7.如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，若DE＝10，BC＝4，∠D＝30°，∠C＝70°.
(1)求线段AE的长；
(2)求∠DBC的度数.
【综合拓展类作业】
8.如图1，已知△ABC≌△ADE，∠B＝10°，∠AED＝20°，AB＝4cm，C为AD的中点.
(1)求∠BAE的度数和AE的长；
图1
(2)如图2，延长BC，交ED于点F，求∠DFC的度数.
图2
参考答案
1.B 2.A 3.36 4.100 2
5.(1)∠ACB＝65° (2)BF＝7
6.(1)AD＝2 (2)∠ACE＝78°
7.(1)AE＝6 (2)∠DBC＝10°
8.(1)∠BAE＝60°，AE＝2cm.
(2)∠DFC＝150°
教学反思
首先展示全等图形的图片，激发学生兴趣，从图中总结全等图形的概念，最后总结全等多边形和全等三角形的性质及判定方法，通过练习来理解全等图形的性质并渗透符号语言推理．通过实例熟悉运用全等图形的性质解决一些简单的实际问题.能够简单了解全等三角形的判定，为之后的学习奠定基础.