陕西西安市长安区第一中学2025-2026学年高一下学期第一次质量检测数学试卷（Word版附解析）

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1. 已知为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据共线向量定理及相关性质、充分必要条件的定义求解判断即可.
【详解】若存在实数，使，则共线；
若，则同向；
所以“存在实数，使”是“”的必要不充分条件.
2. 在平行四边形中，，，，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据线性运算及数量积的定义计算求解.
【详解】因为，
在平行四边形中，，，
所以.
3. 已知点是的重心，若，则（ ）
A. -1B. C. 0D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的线性运算计算即可.
【详解】
设是的中点，则.
所以.
因为，所以，
因此.
4. 已知，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数t不能取的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】若点能构成三角形，则三点不共线，即向量与不共线，计算两个向量的坐标，根据向量共线的坐标表示可得实数t不能取的值.
【详解】由题可知，，.
若点能构成三角形，则三点不共线，即向量与不共线，
所以，即，所以.
故选：C.
5. 在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，以为基底，根据向量的线性运算及数量积可得，结合得到范围即可．
【详解】设，因为四边形是菱形，
所以，
由点是的中点，得，
由题意得，，
所以
，
因为，所以的取值范围是．
6. 已知平面向量．若，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【详解】因为，所以 ，
展开整理得，
又因为，
故，，
，
代入等式得：，解得.
7. 已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】设两个向量的夹角为，则，
所以向量在向量方向上的投影数量为，
所以投影向量为.
8. 已知中，，D是边上一点，，，且，则边的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由求出，由的值和求出，利用诱导公式求出和，由，利用两角差的正弦公式求出的值，利用正弦定理求出的值，由得到，计算出的值，由是边上一点得到，代入数值得解.
【详解】，，
，，
，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，，，，
在中，，
，，
，，
，，
，，，
是边上一点，.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分）
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则向量与的夹角为钝角
B. 若，则向量在向量方向上的投影向量为
C. 两个非零向量，若，则与共线且反向
D. 若为的外心，，则为的垂心
【答案】BCD
【解析】
【详解】对于A：因为，即，所以向量与的夹角为钝角或平角，A错误；
对于B：若，则，所以向量在向量方向上的投影向量为，B正确；
对于C：将两边平方，化简得，所以，结合向量夹角的范围得夹角为，C正确；
对于D：因为为的外心，，则，
所以，
所以，同理可得，故为的垂心，D正确.
10. 如图，是半径为1的圆的两条不同的直径，，则（ ）
A.
B.
C. 满足的实数与的和为定值4
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据所给线段长度关系判断A，建立平面直角坐标系，利用坐标运算判断B，根据三点共线判断C，利用向量的坐标运算求向量夹角判断D.
【详解】，
，故A错误；
以为原点，以为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，
则，设，则，
则，
，故B正确；
，
三点共线，，即，故C正确.
，
，
，
，
，
，故D正确.
11. 已知的内角的对边分别为，则能判定一定是等腰三角形的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用正余弦定理、和差公式逐一分析即可.
【详解】对A，由正弦定理将边化角得，
即，所以等腰三角形；
对B，因为，
所以，
所以，整理得，
又，所以，即，所以为等腰三角形；
对C，，
所以，整理得，
所以或，即是直角三角形或等腰三角形；
对D，，
当且仅当，即时等号成立，又，所以只能成立，
此时为等腰三角形.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 在直角三角形ABC中，，D为斜边AB上一点，若与的内切圆面积相等，则_____________．
【答案】##
【解析】
【分析】如图，设，两圆半径为，根据内切圆性质可构建关于、方程，求出后再结合三角变换和正弦定理可求的长.
【详解】
由题设，两圆半径相等，设内切圆半径为.
设圆为的内切圆，该圆与的切点为，
圆为的内切圆，该圆与的切点为，则为的平分线.
因为，故，
故，故（负值舍去），
同理，
设，则，，
故且，
所以，即，
故，故（负值舍去）.
故，而为锐角，
故，而，因为锐角，
故，，
所以
，
在中，由正弦定理可得，
故，故，故.
13. 已知的面积为，，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】在三角形中由，再结合条件可得，再由面积公式及余弦定理可得.
【详解】设角所对的边分别为，
因为，所以，
,
即，所以，①
又因为的面积为，，所以，得.
再由余弦定理，②
联立①②解得，即．
14. 若___________．
【答案】
【解析】
【详解】令，则，
代入运算，
所以，解得，
所以.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤）
15. 已知平面内三点，，.
（1）若三点共线，求的值.
（2）当时，线段上的点满足，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，，结合向量共线的坐标表示运算求解即可；
（2）设，可求，，根据求，进而可求数量积.
【小问1详解】
因为，，，则，，
由三点共线得，则，解得.
小问2详解】
当时，点，
设，则，，
因为，则，解得，即，
则，且，所以.
16. 设是两个不共线的向量，．
（1）若三个向量的起点相同，且终点在同一直线上，求；
（2）若，且与的夹角为，那么为何值时，的值最小？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量共线定理进行求解即可；
（2）根据平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.
【小问1详解】
由已知可得，
∵不共线，∴，
解得．∴当时，向量终点在同一直线上.
【小问2详解】
，
故当时，最小.
17. 已知平面内一三角形，点为其外心.
（1）点为边的中点，，，求的值；
（2）若过点的直线分别交边、于点，证明：
.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题可得，然后由数量积几何意义可得答案；
（2）设三角形外接圆半径为R，用两种办法表示，可得，及，据此可完成证明.
【小问1详解】
，
由数量积几何意义可得：，
同理得
则；
【小问2详解】
证明：设三角形外接圆半径为R，
，.
因，所以.
同理，所以，
又，，.
则.
故 ①
∵点O为三角形ABC的外心，，
，，
同理，.
则.
代入上式①中，结合，可得：
，
所以，原命题得证
18. 已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为.
（1）若复数是实数，求实数的值；
（2）若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围；
（3）已知实系数一元二次方程的两根为和，若，求m的值.
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用复数乘法法则得到，根据是实数，可得方程，可求出；
（2）利用复数除法法则化简，得到对应的点坐标，根据所在象限，得到不等式组，求出实数的取值范围；
（3）分方程的两根为实数根与虚数根两种情况求解即可.
【小问1详解】
由可得，
所以，
若复数是实数，可得，
解得；
【小问2详解】
，
易知复数在复平面内所对应的点坐标为，
又复数在复平面内所对应的点位于第四象限，可得，
解得，
即实数的取值范围为.
【小问3详解】
若方程的两根为实数根，则，
解得，
若方程的两根为虚数根，则设，，可得，
则，，，所以，所以，
由韦达定理可得，所以，
此时，满足题意，
综上，或.
19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点D为线段上的一点，为的平分线，.
（1）若，，求的值；
（2）当时，求最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先通过正弦定理将边的关系转化为角的关系，求出，再在中用正弦定理求出，最后用二倍角公式计算
（2）利用三角形面积关系得到与、的关系，再结合余弦定理和基本不等式求最小值.
【小问1详解】
由正弦定理，将化为，
整理得：
因为，所以，即.
由于，，得，则.
设，在中，由正弦定理，
代入、，得：.
因为是角平分线，，由二倍角公式：.
【小问2详解】
因为是角平分线，，.
由面积关系，得：
化简可得：即.
在中，由余弦定理，代入和，
得：
将代入上式：
整理得：
由基本不等式，得，
代入上式：
当且仅当时取等号，故的最小值为.