2024-2025学年陕西省西安市长安一中高二（下）第一次质检数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年陕西省西安市长安一中高二（下）第一次质检数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合M={x∈N∗|x2−4x−5≤0}，N={x|0≤x≤4}，则M∩N=( )
A. {0,1,2,3,4}B. {1,2,3,4}C. {x|0≤x≤4}D. {x|1≤x≤4}
2.已知3+i是关于x的方程x2−ax+b=0的一个根，a∈R，b∈R，则a+b=( )
A. −4B. 4C. 16D. −16
3.今年暑期档推出多部精彩影片，其中比较热门的有《解密》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《死侍与金刚狼》，甲和乙两位同学准备从这5部影片中各选2部观看.若两人所选的影片恰有一部相同，且甲一定选《抓娃娃》，则两位同学不同的观影方案种数为( )
A. 24B. 28C. 36D. 12
4.设公差d≠0的等差数列{an}中，a2，a5，a9成等比数列，则a1+a3+a5a1+a4+a7=( )
A. 1011B. 1110C. 34D. 43
5.已知直线l：x+ay−1=0是圆C：x2+y2−6x−2y+1=0的对称轴，过点A(−1,a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
6.已知a∈{0,1,2}，b∈{−1,1,3,5}，则函数f(x)=ax2−2bx在区间(1,+∞)上为增函数的概率是( )
A. 512B. 13C. 14D. 16
7.已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且PF1>PF2，线段PF1的中垂线经过F2.记椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则1e1+4e2的取值范围是( )
A. (6,+∞)B. (7,+∞)C. (6,7)D. (5,+∞)
8.142857被称为世界上最神秘的数字，142857×1=142857，142857×2=285714，142857×3=428571，142857×4=571428，142857×5=714285，142857×6=857142，所得结果是这些数字反复出现，若a=e0.142857,b=ln1.2857142+1,c= 1.285714，则( )
A. a>b>cB. c>b>aC. b>a>cD. a>c>b
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若(2x−1)10=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，则|a1|+|a2|+⋯+|a10|=310−1
B. 1.0510精确到0.1的近似值为1.6
C. 5555被8除的余数为1
D. C91(1+x)8+C92(1+x)7+C98(1+x)+C99(1+x)0的展开式中含x3项的系数为5292
10.如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，E为边AB的中点，将△ADE沿DE折起，折叠后点A的对应点为A1，使得平面A1DE⊥平面BCDE，连接A1B，A1C，则下列说法正确的是( )
A. 点B到平面A1CD的距离为 32
B. BC与A1D所成角的余弦值为14
C. 三棱锥E−A1CD的外接球的体积为8π
D. 直线A1B与平面A1CD所成角的正弦值为 64
11.已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，AB，CD是经过点F的弦且AB⊥CD，AB的斜率为k(k>0)，C、A两点在x轴上方，则下列结论中一定成立的是( )
A. OC⋅OD=−34p2
B. 四边形ACBD面积最小值为16p2
C. 1|AB|+1|CD|=12p
D. 若|AF|⋅|BF|=4p2，则直线CD的斜率为 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知A2n3=10An3，则Cn3+Cn4+Cn+15+Cn+26=______．
13.在单调递增数列{an}中，已知a1=1，a2=2，且a2n−1，a2n，a2n+1成等比数列，a2n，a2n+1，a2n+2成等差数列(n∈N∗)，那么a200= ______．
14.甲和乙两个箱子中各装有大小质地完全相同的10个球，其中甲箱中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球、3个白球和3个黑球.若从甲箱中不放回地依次随机取出2个球，则两次都取到红球的概率为______；若先从甲箱中随机取出一球放入乙箱；再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的球是红球的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知(2x+13x)n展开式中，第三项的系数与第四项的系数比为65．
(1)求n的值；
(2)求展开式中有理项的系数之和.(用数字作答)
16.(本小题15分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=7，S4=22，数列{bn}是各项均为正数的等比数列，b1=4，b3=64．
(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(Ⅱ)令cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn；
(Ⅲ)令pn=32+an，数列{pnpn+2}的前n项和An，求证：Anb>0)的长轴长为2 2，离心率为 22．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上点(x0,y0)处的切线方程是x0xa2+y0yb2=1，
①过直线l：x=2上一点M引C的两条切线，切点分别是P、Q，求证：直线PQ恒过定点N；
②是否存在实数λ，使得|PN|+|QN|=λ|PN|⋅|QN|，若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=x3+ax2−a2x−1．
(1)当a=−5时，则过点(0,2)的曲线f(x)的切线有几条？并写出其中一条切线方程；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)若f(x)有唯一零点，求实数a的取值范围．
参考答案
1.B
2.C
3.A
4.A
5.C
6.A
7.B
8.D
9.ABD
10.AD
11.AC
12.∁116
13.10100
14.29 922
15.解：(1)依题意，(2x+13x)n展开式的通项公式Tk+1=Cnk(2x)n−k(x−13)k=2n−kCnkxn−4k3,k≤n,k∈N，
显然第三项系数为2n−2Cn2，第四项系数为2n−3Cn3，
因此2n−2Cn22n−3Cn3=2×n(n−1)2×1n(n−1)(n−2)3×2×1=6n−2=65，解得n=7，
所以n的值为7．
(2)由(1)知Tk+1=27−kC7kx7−4k3(k=0,1,2,⋯,7)，当k=0，3，6时，对应的项是有理项，
当k=0时，展开式中对应的有理项为T1=27C70x7=128x7；
当k=3时，展开式中对应的有理项为T4=24C73x3=560x3
当k=6时，展开式中对应的有理项为T7=21C76x−1=14x−1
所以展开式中有理项的系数之和为128+560+14=702．
16.解：(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn的公比为q(q>0)，
由于a3=7，S4=22，
所以a3=a1+2d=7 S4=4a1+6d=22 ，解得a1=1 d=3 ；
故an=3n−2．
数列{bn}是各项均为正数的等比数列，b1=4，b3=64．
所以b3=b1q2=64，解得q=4，(负值舍去)
故bn=4n．
解：(Ⅱ)由(Ⅰ)得：cn=anbn=(3n−2)×14n，
所以Tn=1×14+4×142+...+(3n−2)×14n，①，
14Tn=1×142+4×143+...+(3n−2)×14n+1，②，
①−②得：34Tn=14+3×[142+143+...+14n]−(3n−2)×14n+1，
解得：Tn=23−(3n−2)3×14n．
证明：(Ⅲ)由于pn=32+an，所以pnpn+2=1n(n+2)=12(1n−1n+2)，
故An=12(1−13+12−14+13−15+...+1n−1n+2=12(1+12−1n+1−1n+2)=34−12(1n+1+1n+2)0，
所以该方程有2个不等实根且不为1，
则(x0−1)(2x02−3x0−3)=0有3个不等的实根，
即共有3条切线，其中一条切线的切点横坐标为1，
此时k=3−10−25=−32，
则切线方程为y=−32x+2；
(2)易知f′(x)=3x2+2ax−a2=(3x−a)(x+a)，
当a=0时，f′(x)=3x2≥0，
所以f(x)在R上单调递增；
当a>0时，−a