山东省临沂市郯城一中2024-2025学年高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份山东省临沂市郯城一中2024-2025学年高一（下）期中数学试卷（含解析），共8页。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）.
1．复数的共轭复数是（ ）
A．B．C．D．
2．已知平面四边形用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正方形，则原图形中的（ ）
A．B．C．3D．2
3．已知，分别为两个实根，则（ ）
A．1B．2C．3D．
4．已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
5．在△中，点在边上，．记，，则（ ）
A．B．C．D．
6．在四棱锥中，底面为平行四边形，为线段上靠近的三等分点，为线段上一点，当平面时，（ ）
A．3B．4C．D．
7．将正弦曲线向左平移个单位得到曲线，再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线，最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的．若曲线恰好是函数的图象，则在区间上的值域是（ ）
A．，B．，C．，D．，
8．已知棱长为的正四面体与一个球相交，球与正四面体的每个面所在平面的交线都为一个面积为的圆，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．棱台的侧面都是等腰梯形
B．棱柱的侧棱长都相等，但侧棱不一定都垂直于底面
C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形
D．以直角梯形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
（多选）10．（6分）已知，是两条不同的直线，是一个平面，下列命题错误的是
A．，B．，
C．，D．，，
（多选）11．（6分）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的有
A．
B．若，则为直角三角形
C．若为锐角三角形，的最小值为1
D．若为锐角三角形，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为 ．
13．已知、均为锐角，且，，则 ．
14．（10分）在△中，角，，所对的边分别为，，，边上的高为．若，，则的最小值为 ；若，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知函数，的图象相邻对称轴之间的距离是，若将的图像向右移个单位，所得函数为奇函数．
（1）求的解析式；
（2）若函数的一个零点为，且，求．
16．如图：在正方体中，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）若为的中点，求证：平面平面．
17．在中，角，，所对的边分别为，，，，．
（1）求外接圆的面积；
（2）若，，求的周长．
18．已知函数，在上的最大值为3．
（1）求的值及函数的周期与单调递增区间；
（2）若锐角△中，角，，所对的边分别为，，，且（A），求的取值范围．
19．现有一几何体由上、下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍．
（1）若，，求该几何体的体积．
（2）若正四棱锥的侧棱长为6，．
求正四棱锥的侧面积．
若，分别是线段，上的动点，求的最小值．
参考答案
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.
1．复数的共轭复数是（ ）
A．B．C．D．
解：，其共轭复数为．
故选：．
2．已知平面四边形用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正方形，则原图形中的（ ）
A．B．C．3D．2
解：根据斜二测画法规则，，，且，
则．
故选：．
3．已知，分别为两个实根，则（ ）
A．1B．2C．3D．
解：，分别为两个实根，
，，
．
故选：．
4．已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
解：根据＝（1，﹣1），可得＝，
因为，
所以，即2+4×1+＝2，解得＝﹣1，
故，
结合0≤≤π，可得与的夹角为．
故选：D．
5．在△中，点在边上，．记，，则（ ）
A．B．C．D．
解：如图，
，
，即．
故选：．
6．在四棱锥中，底面为平行四边形，为线段上靠近的三等分点，为线段上一点，当平面时，（ ）
A．3B．4C．D．
解：如图，连接交于点，连接，
因为平面，平面，平面平面，
所以，
所以，因为，为的三等分点，
则即．
故选：．
7．将正弦曲线向左平移个单位得到曲线，再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线，最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的．若曲线恰好是函数的图象，则在区间上的值域是（ ）
A．，B．，C．，D．，
解：将正弦曲线向左平移个单位得到曲线的图象；
再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线的图象；
最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的的图象．
由于曲线恰好是函数的图象．
在区间上，，，，，，．
故在区间上的值域是，．
故选：．
8．已知棱长为的正四面体与一个球相交，球与正四面体的每个面所在平面的交线都为一个面积为的圆，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
解：因为棱长为的正四面体与一个球相交，
且球与正四面体的每个面所在平面的交线都为一个面积为的圆，
所以由对称性，可知球心与正四面体重心重合，且每个面的交线为半径为3的圆．
设球心为，为△的中心，则，
故，故，
设球心到任意面的距离为，
则由等体积法可得，
故连接球心与任意面中心，则连线长为3，且连线垂直该面，再连交线圆上一点与球心（即为球的半径），
由勾股定理得球的半径为，
则表面积为．
故选：．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．棱台的侧面都是等腰梯形
B．棱柱的侧棱长都相等，但侧棱不一定都垂直于底面
C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形
D．以直角梯形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
【解答】对于：由棱台的定义知棱台的侧棱延长后必交于一点，但侧面不一定是等腰梯形，故不正确；
对于：棱柱的侧面都为平行四边形，所以侧棱都相等，棱柱包含直棱柱与斜棱柱，故侧棱不一定都垂直于底面，故正确；
对于：圆锥的母线都是相等的，故过圆锥顶点的截面是等腰三角形，故正确；
对于：以直角梯形的直角腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体才是圆台，故不正确．
故选：．
（多选）10．（6分）已知，是两条不同的直线，是一个平面，下列命题错误的是
A．，B．，
C．，D．，，
解：，或，所以选项错误；
，或与异面，所以选项错误；
，或，所以选项错误；
，，，所以选项正确．
故选：．
（多选）11．（6分）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的有
A．
B．若，则为直角三角形
C．若为锐角三角形，的最小值为1
D．若为锐角三角形，则的取值范围为
解：因为，由正弦定理可得，
在中，，
可得，
所以，
即，所以选项正确；
中，，可得，由选项可得，
则，在中，，
可得，则，，所以，即为直角三角形，所以选项正确；
中，因为为锐角三角形，由选项可得，
所以，可得，所以，，
所以，
设，，
设在，单调递减，所以（1），
所以选项不正确；
中，为锐角三角形中，
，
设，
因为为锐角三角形，所以，可得，
所以，，
即，，
令，，，则函数单调递增，
，而，
即，
所以，，
所以，，所以正确．
故选：．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为 ．
解：设圆锥的底面半径为，母线长为，则，解得，．
圆锥的高．圆锥的体积．
故答案为．
13．已知、均为锐角，且，，则 ．
解：，均为锐角，
，，
．
．
故答案为．
14．（10分）在△中，角，，所对的边分别为，，，边上的高为．若，，则的最小值为 6 ；若，则的最大值为 ．
解：若，，则△的面积，
由正弦定理得，可得，当，即时，等号成立．
所以的最小值为6；
若，则，可得．
根据余弦定理，得，即，
所以，
当时，即时，取得最大值4．
故答案为：6；4．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知函数，的图象相邻对称轴之间的距离是，若将的图像向右移个单位，所得函数为奇函数．
（1）求的解析式；
（2）若函数的一个零点为，且，求．
解：（1）由题意可得，可得，
而，可得，
此时，
由题意可得，
要使函数为奇函数，则，，
即，，而，
所以，
所以；
（2）由题意令，
可得，即，
因为，，
所以，，所以，
所以
．
16．如图：在正方体中，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）若为的中点，求证：平面平面．
【解答】证明：（1）设，连接，
在正方体中，四边形是正方形，
是中点，是的中点，
，
平面，平面，
平面；
（2）为的中点，为的中点，
，
，
四边形为平行四边形，
，
又平面，
平面，
平面，
由（1）知平面，
，平面，平面，
平面平面．
17．在中，角，，所对的边分别为，，，，．
（1）求外接圆的面积；
（2）若，，求的周长．
解：（1），
，
，
，
，
，
，
外接圆的半径，
外接圆的面积为．
（2）由正弦定理得，，
，
，
，
在中，由余弦定理得，，解得，
则的周长为．
18．已知函数，在上的最大值为3．
（1）求的值及函数的周期与单调递增区间；
（2）若锐角△中，角，，所对的边分别为，，，且（A），求的取值范围．
解：（1）函数
．
因此当时，取到最大值3，
即，，所以，
其周期为．
令，
解得，
因此的单调递增区间为；
（2）根据第一问知，由（A），
那么可得，即，
由于，因此，
所以，即．
由于，
因此，
根据正弦定理可知，
由于三角形为锐角三角形，因此，所以，
因此，所以，
所以，即，
所以．
19．现有一几何体由上、下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍．
（1）若，，求该几何体的体积．
（2）若正四棱锥的侧棱长为6，．
求正四棱锥的侧面积．
若，分别是线段，上的动点，求的最小值．
解：（1）由条件可知，正四棱柱的高，
所以正四棱柱的体积为，
三棱锥的体积为，
所以该几何体的体积为；
（2），
所以，
正四棱锥侧面的高为，
所以正四棱锥的侧面积为；
如图，将长方形，△和△展开在一个平面，
，，
设，，，，
，所以，
所以，
，
，
当，，，四点共线时，最短，
所以，
所以的最小值为．