2023-2024学年山东省临沂市高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省临沂市高一（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知sinα−csα=−15，则sin2α的值为( )
A. 1225B. −2425C. 2425D. −1225
2.cs(−435°)=( )
A. − 6+ 24B. − 6− 24C. 6+ 24D. 6− 24
3.若复数z满足z(1+i)=3+4i(其中i为虚数单位)，则z的虚部是( )
A. 12iB. −12iC. 12D. −12
4.向量a=(1,−2),b=(−1,3)，则(a−b)⋅(3a+b)=( )
A. 19B. 18C. 17D. 16
5.△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p=(a+c,c+b),q=(c−a,b).若p⊥q，则角A的大小为( )
A. 2π3B. π2C. π3D. π6
6.已知△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，点O为△ABC的内心，则CO=( )
A. 23AB−14ACB. 13AB−34ACC. 23AB+14ACD. 13AB+34AC
7.某远洋运输船在海面上航行至海上A处，测得小岛上灯塔顶端P位于其正西方向且仰角为45°，该运输船继续沿南偏西30°的方向航行100米至B处，测得灯塔顶端P的仰角为30°，则该灯塔顶端P高于海面( )
A. 50米B. 100米C. 100 2米D. 100 3米
8.已知函数f(x)=3cs(ωx+π3)(ω>0)图象关于直线x=π3对称，且关于点(−π6,0)对称，则ω的值可能是( )
A. 7B. 9C. 11D. 13
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=−12− 32i(其中i为虚数单位)，则( )
A. z3=−1B. z2=z−C. 1z=z−D. z2+z−1=0
10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题中为真命题的是( )
A. 若bcsC+ccsB=asinA，则△ABC为直角三角形
B. 若csA>csB，则sinAC. 若a2+b2>c2，则△ABC为锐角三角形
D. 若sin2A2=c−b2c，则△ABC为直角三角形
11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则关于函数f(x)下列说法正确的是( )
A. f(x)的解析式为f(x)=sin(2x+π3)
B. f(x)的图象关于直线x=π6对称
C. f(x)在区间[π12,π2]上是减函数
D. 将y=sin2x的图象向左平移2π3个单位长度可以得到函数f(x)的图象
12.已知函数f(x)=|sinx|+|csx|，则( )
A. f(x)的周期是π2
B. f(x)的值域是[1, 2]
C. 若f(x)在区间(π8,t)上有最大值，没有最小值，则t的取值范围是(π4,π2]
D. 若方程f(x)=a在区间(−π4,π2)上有3个不同的实根x1，x2，x3(x1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知平面向量a,b满足a⊥b,a=(2,1),|a+b|=4，则|b|= ______．
14.若复数z=(m2+m−6)+(m2−4m+3)i(其中i为虚数单位)，当z−对应的点在第三象限时，则实数m的取值范围为______．
15.如图所示，某学校花园的平面图是呈圆心角为120°的扇形区域AOB，两个凉亭分别座落在点A及点C处，花园里有一条平行于BO的小路CD；已知某人从凉亭A沿小路AD走到点D用了3分钟，从点D沿DC走到凉亭C用了5分钟；若此人步行的速度为每分钟60米，则该花园扇形的半径OA的长为______米(精确到1米)．
16.在△ABC中，已知AB=3，AC=2，∠BAC的角平分线AD=2，则∠BAC的正弦值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知向量a=(2,3),b=(1,2),c=ka+b(k∈R)．
(1)若向量c与a−3b共线，求实数k的值；
(2)若向量c与a的夹角为钝角，求实数k的取值范围．
18.(本小题12分)
已知复数z1=a+(a2−1)i(a∈R),z2=2sinθ+(λ−4sinθcsθ)i(θ∈[0,π2])，其中i为虚数单位，并且z1=z2，求实数λ的取值范围．
19.(本小题12分)
已知向量a，b满足|a|=3，|b|=6，(5a−4b)⋅(2a+b)=−81．
(1)求向量a与b的夹角；
(2)若向量a在b方向上的投影向量为c，求c⋅(a+b)的值．
20.(本小题12分)
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA=2sinB，且a+b=2c．
(1)求sin(2A−B)的值；
(2)若a=4，求△ABC的面积．
21.(本小题12分)
已知在锐角△ABC中，三边a，b，c的对角分别为A，B，C，且asinA+csinC=bsinB+asinC．
(1)求角B的值；
(2)若b=2，求△ABC的周长l的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ≤π2)的定义域为R，若函数f(x)在区间[π,8π]上佮好取到一个最大值和一个最小值，且当x=3π2时函数f(x)取得最大值为2；当x=13π2时函数f(x)取得最小值为−2．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若将函数f(x)的图像保持横坐标不变纵坐标变为原来的12得到函数g(x)，再将函数g(x)的图像向左平移θ(θ>0)个单位得到函数h(x)，已知函数y=eh(x)−lgg(x)的最小值为e−1，求满足条件的θ的最小值；
(3)是否存在实数m，满足不等式Asin(ω −m2+2m+φ)≤Asin(ω −m2+1+φ)？若存在，求出实数m的范围(或值)，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，属于基础题．
把所给的式子平方，利用二倍角的正弦公式求得sin2α的值．
【解答】解：∵sinα−csα=−15，
∴平方可得1−2sinαcsα=1−sin2α=125，
则sin2α=2425，
故选C．
2.【答案】D
【解析】解：cs(−435°)=cs435°=cs(360°+75°)=cs75°=cs(45°+30°)=cs45°cs30°−sin45°sin30°= 22× 32− 22×12= 6− 24．
故选：D．
根据三角函数的诱导公式得出cs(−435°)=cs75°=cs(45°+30°)，然后根据两角和的余弦公式即可得解．
本题考查了两角和的余弦公式，三角函数的诱导公式，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为复数z满足z(1+i)=3+4i，则z=3+4i1+i=7+i2=72+12i，所以复数z的虚部为12．
故选：C．
利用复数的除法运算和复数的概念即可求解．
本题主要考查复数的运算，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：已知向量a=(1,−2),b=(−1,3)，
则a−b=(2,−5)，3a+b=(2,−3)，
则(a−b)⋅(3a+b)=2×2+(−5)×(−3)=19．
故选：A．
结合平面向量数量积的坐标运算求解．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由于向量p=(a+c,c+b),q=(c−a,b).若p⊥q，
故c2−a2+bc+b2=0，整理得b2+c2−a2=−bc，
所以csA=−12，
由于A∈(0,π)，
故A=2π3．
故选：A．
直接利用向量垂直的充要条件和余弦定理求出结果．
本题考查的知识点：余弦定理，向量垂直的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意，设△ABC的内切圆半径为r，
△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，易得BC2=AB2+AC2，则△ABC为直角三角形，
过点O作OF垂直于AC，与AC交于点F，过点O作OE垂直于AB，交AB于点E，
则E、F为△ABC的内切圆与边AC、AB的切点，
又由AB⊥AC，则有OF/​/AB，OE/​/AC，
则OE=OF=r，
则有12(AB+AC+BC)r=12×AC×AB，即6r=6，解可得r=1，
则有CF=3，故CF=34CA，FO=13AB，
则CO=CF+FO=34CA+13AB=13AB−34AC．
故选：B．
根据题意，设△ABC的内切圆半径为r，由勾股定理可得△ABC为直角三角形，过点O作OF垂直于AC，与AC交于点F，过点O作OE垂直于AB，交AB于点E，求出r的值，分析可得CF=34CA，FO=13AB，由向量加法的性质分析可得答案．
本题考查平面向量基本定理，涉及向量的线性运算，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意作出示意图，如图所示，
设灯塔顶端P高于海面的距离为PC=h米，由题意得∠PAC=45°，∠PBC=30°，
所以AC=htan45=h米，BC=htan30∘= 3h米，
在△ABC中，AB=100，∠CAB=90°−30°=60°，由余弦定理得BC2=AC2+AB2−2AC⋅AB⋅cs60°，
即3h2=h2+1002−2⋅h⋅100cs60°，整理h2+50h−5000=0，解得h=50(h=−100不符合题意，舍去)．
综上所述，灯塔顶端P高于海面的距离为50米．
故选：A．
设灯塔顶端P高于海面的距离为PC=h米，利用锐角三角函数的定义算出AC=h米，BC= 3h米，然后在△ABC中利用余弦定理建立关于h的等式，解之即可得到本题的答案．
本题主要考查锐角三角函数定义、余弦定理、解三角形及其应用等知识，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：因为f(x)=3cs(ωx+π3)(ω>0)图象关于直线x=π3对称，且关于点(−π6,0)对称，
所以πω3+π3=kπ，−πω6+π3=nπ+π2，k∈Z，n∈Z，
所以ω=3k−1且ω=−6n−1．
故选：C．
由已知结合余弦函数的对称性即可求解．
本题主要考查了余弦函数对称性的应用，属于基础题．
9.【答案】BC
【解析】解：因为复数z=−12− 32i，所以z2=(−12− 32i)2=−12+ 32i，
则z3=(−12+ 32i)(−12− 32i)=1，故A错误；
z2=−12+ 32i=z−，故B正确；
1z=1−12− 32i=−12+ 32i=z−，故C正确；
z2+z−1=−12+ 32i−12− 32i−1=−2，故D错误．
故选：BC．
分别求出z2=−12+ 32i和 z−，计算可得结果．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：A中，因为bcsC+ccsB=asinA，由正弦定理可得sinBcsC+csBsinC=sin2A，
即sin(B+C)=sin2A，在三角形中sin(B+C)=sinA，sinA>0，
所以sinA=1，因为A∈(0,π)，所以A=π2，即△ABC为直角三角形，所以A正确；
B中，三角形中，csA>csB，则AC中，若a2+b2>c2，只能得出角C为锐角，不能说明角A，角B为锐角，所以不能判断该三角形为锐角三角形，所以C不正确；
D中，因为sin2A2=c−b2c，即1−csA2=c−b2c，可得ccsA=b，
由正弦定理可得sinCcsA=sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC，
所以sinAcsC=0，又因为sinA>0，
所以csC=0，而C∈(0,π)，
所以C=π2，即△ABC为直角三角形，所以D正确．
故选：ABD．
A中，由正弦定理可得sinA=1，再由角A的范围，可得A的值，进而判断出三角形的形状，判断出A的真假；B中，由椭圆可得A，B的大小关系，由正弦定理可得sinA，sinB的大小关系，判断出B的真假；C中，由题意只能判断出角C为锐角，但不能判断出角A，B是否为锐角，判断出C的真假；D中，由半角公式及正弦定理，两角和的正弦公式可得csC=0，再由角C的范围，可得角C为直角，进而可得三角形的形状，判断出D的真假．
本题考查正弦定理的应用及三角形中角之间的公式的应用，两角和的正弦公式的应用，属于中档题．
11.【答案】AC
【解析】解：根据函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象知，f(0)=sinφ= 32，且|φ|<π2，所以φ=π3；
又因为f(5π6)=sin(5π6ω+π3)=0，所以5π6ω+π3=2π，解得ω=2，所以f(x)=sin(2x+π3)，选项A正确；
x=π6时，f(π6)=sin(2×π6+π3)=sin2π3= 32，不是最值，选项B错误；
x∈[π12,π2]时，2x+π3∈[π2,4π3]，f(x)=sin(2x+π3)单调递减，选项C正确；
将y=sin2x的图象向左平移2π3个单位长度，得y=sin2(x+2π3)=sin(2x+4π3)=−sin(2x+π3)的图象，选项D错误．
故选：AC．
根据函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象求出φ、ω的值，写出函数f(x)的解析式，再判断选项中的命题是否正确．
本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，是基础题．
12.【答案】ABC
【解析】解：f(x+π2)=|sin(x+π2)|+|cs(x+π2)|=|csx|+|sinx|=f(x)，所以函数的周期是π2，故选项A正确；
因为函数的周期是π2，所以只需要看一个周期内f(x)函数值的范围，
当x∈[0,π2]时，f(x)=sinx+csx= 2sin(x+π4)，x+π4∈[π4,3π4]，sin(x+π4)∈[ 22,1]，f(x)∈[1, 2]，
所以f(x)的值域是[1, 2]，故选项B正确；
f(x)在(0,π4)上单调递增，在(π4,π2)上单调递减，在(π2,3π4)上单调递增，
所以π4∈(π8,t)，π2∉(π8,t)，则t∈(π4,π2]，故选项C正确；
f(−x)=f(x)，f(π4−x)=f(π4+x)，所以y轴和x=π4均为f(x)的对称轴，(x1,f(x1))和(x2,f(x2))关于y轴对称，(x2,f(x2))和(x3,f(x3))关于x=π4对称，
x1+x2=0，x2+x3=π2，f(x3)∈(1, 2)，所以(2x1+3x2+x3)f(x3)=π2f(x3)∈(π2, 2π2)，故选项D错误．
故选：ABC．
用周期定义f(x+T)=f(x)判断周期，再求一个周期内函数的值域，然后借助函数的单调性判断最值，用对称性找到x1，x2，x3之间的关系，进而求出(2x1+3x2+x3)f(x3)的取值范围．
本题考查三角函数的图象性质、三角恒等变换，属于中档题．
13.【答案】 11
【解析】解：因为a⊥b，a=(2,1)，所以a⋅b=0，|a|= 22+12= 5，
因为|a+b|=4，所以a2+2a⋅b+b2=16，
即5+b2=16，解得b2=11，所以|b|= 11．
故答案为： 11．
由平面向量的模的计算与数量积运算计算即可求得．
本题考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
14.【答案】(−3,1)
【解析】解：根据题意，复数z=(m2+m−6)+(m2−4m+3)i，则z−=(m2+m−6)−(m2−4m+3)i，
若z−对应的点在第三象限，则有m2+m−6<0m2−4m+3>0，
解可得：−3故答案为：(−3,1)．
根据题意，求出z的共轭复数，由复数的几何意义可得关于m的不等式，解可得答案．
本题考查复数的几何意义，涉及复数的分类，属于基础题．
15.【答案】267
【解析】解：如图所示，设该扇形的半径为r米，连接CO，
由题意得CD=300(米)，DA=180(米)，∠CDO=60°，
在△CDO中，由余弦定理可得CD2+OD2−2CD⋅OD⋅cs60°=OC2，
即3002+(r−180)2−2×300×(r−180)×12=r2，
解得r=294011≈267(米)．
故答案为：267．
连接OC，由CD/​/OB知∠CDO=60°，可由余弦定理得到OC的长度．
本题主要考查用余弦定理求三角形边长，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．
16.【答案】5 1118
【解析】解：因为AB=3，AC=2，∠BAC的角平分线AD=2，
由等面积可得S△ABC=S△ABD+S△ACD，
即12AB⋅AC⋅sin∠BAC=12AB⋅AD⋅sin∠BAC2+12AC⋅AD⋅sin∠BAC2，
即6sin∠BAC=(6+4)sin∠BAC2，
3×2sin∠BAC2cs∠BAC2=5⋅sin∠BAC2，因为sin∠BAC2>0，
所以cs∠BAC2=56，sin∠BAC2= 116，
所以sin∠BAC=2sin∠BAC2cs∠BAC2=2× 116×56=5 1118．
故答案为：5 1118．
由三角形的等面积法，可得sin∠BAC2，cs∠BAC2的值，进而求出sin∠BAC的值．
本题考查三角形等面积法的应用及正弦的二倍角公式的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)已知向量a=(2,3),b=(1,2),c=ka+b(k∈R)，
则a−3b=(−1,−3)，c=(2k+1,3k+2)，
又向量c与a−3b共线，
则(−1)×(3k+2)=(−3)×(2k+1)，
即k=−13，
即实数k的值为−13；
(2)若向量c与a的夹角为钝角，
则2×(2k+1)+3×(3k+2)<02×(3k+2)≠3×(2k+1)，
即k<−813，
即实数k的取值范围(−∞,−813)．
【解析】(1)由共线向量的坐标运算求解；
(2)由平面向量数量积的坐标运算，结合共线向量的坐标运算求解．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了向量共线及向量夹角的运算，属中档题．
18.【答案】解：由z1=z2，得a=2sinθa2−1=λ−4sinθcsθ，
∴λ=a2−1+4sinθcsθ=4sin2θ−1+2sin2θ=4×1−cs2θ2−1+2sin2θ=2sin2θ−2cs2θ+1=2 2sin(2θ−π4)+1．
∵θ∈[0,π2]，
−π4≤2θ−π4≤3π4，
− 22≤sin(2θ−π4)≤1，
∴−1≤λ≤2 2+1．
∴实数λ的取值范围是[−1,2 2+1]．
【解析】由z1=z2，列出方程组，再结合正弦函数图象的性质，即可求得实数λ的取值范围．
本题考查了复数的基本概念，考查了正弦函数图象的性质，是中档题．
19.【答案】解：(1)∵(5a−4b)⋅(2a+b)=−81，
∴10|a|2−3a⋅b−4|b|2=−81，即90−3a⋅b−144=−81，
∴a⋅b=9，
∴cs=a⋅b|a||b|=93×6=12，
又∈[0,π]，∴a与 b的夹角为π3；
(2)∵c=|a|csb|b|=14b，
∴c⋅(a+b)=14b⋅(a+b)=14a⋅b+14b2=14×9+14×62=454．
【解析】(1)由题意得到a⋅b=9，利用平面向量的夹角公式即可求解；
(2)利用投影向量和数量积的运算即可求解．
本题考查了平面向量的夹角公式、投影向量和数量积的运算，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=2R(R为△ABC的外接圆半径)，
可得：sinA=a2R,sinB=b2R，
将其代入sinA=2sinB得a2R=2b2R，即a=2b，
又由题意知a+b=2c，所以2b+b=2c，
解得b=23c，所以a=43c，在△ABC中由余弦定理得：
csA=b2+c2−a22bc=(23c)2+c2−(43c)22×23c×c=49c2+c2−169c22×23c2=−14<0，
所以π2所以sin2A=2sinA⋅csA=2× 154×(−14)=− 158，
cs2A=2cs2A−1=2×(−14)2−1=−78，
由题意可知sinA=2sinB，所以sinB=12sinA=12× 154= 158，
所以csB= 1−( 158)2=78，
所以sin(2A−B)=sin2AcsB−cs2AsinB=(− 158)×78−(−78)× 158=0；
(2)因为a=4，由(1)知c=34a=34×4=3,b=23c=23×3=2,sinA= 154，
所以S△ABC=12bcsinA=12×2×3× 154=3 154．
【解析】(1)由正弦定理得a=2b，在△ABC中由余弦定理得csA=−14，利用二倍角公式和两角差的正弦公式即可求解；
(2)由(1)求得b，c和sinA，利用三角形的面积公式即可求解．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=2R(R为△ABC的外接圆半径)可得：sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R，
将其代入asinA+csinC−bsinB=asinC可得a2+c2−b2=ac，
可转化为a2+c2−b22ac=12，即csB=12，
在锐角△ABC中B=π3；
(2)由(1)及正弦定理可知，2R=bsinB=2 32=4 33，
a=2RsinA=4 33sinA，
c=2RsinC=4 33sin[π−(A+B)]=4 33sin(A+B)=4 33sin(A+π3)
=4 33(sinAcsπ3+csAsinπ3)=4 33(12sinA+ 32csA)=2 33sinA+2csA，
∴a+c=4 33sinA+2 33sinA+2csA=2 3sinA+2csA=4sin(A+π6)，
又△ABC为锐角三角形，所以0又A+B=2π3，所以B=2π3−A，
∴0<2π3−A<π2，
∴π6π3即2 3<4sin(A+π6)⩽4，
∴2 3又b=2，∴2 3+2故锐角△ABC的周长l的取值范围为(2 3+2,6]．
【解析】(1)利用正弦定理得a2+c2−b2=ac，根据余弦定理即可求解；
(2)由(1)及正弦定理可知，2R=bsinB=2 32=4 33，利用三角函数的恒等变换得到a+c=4sin(A+π6)，根据角A的范围即可求解．
本题考查了正弦定理和三角函数的恒等变换，属于中档题．
22.【答案】解：(1)∵f(x)max=f(π2)=2，f(x)min=f(11π2)=−2，
∴A=2，
又T=2πω=2×(13π2−3π2)=10π，
则ω=15，f(3π2)=2sin(3π10+φ)=2，
令3π10+φ=2kπ+π2,k∈z，解得φ=2kπ+π5,k∈Z，
又0≤φ≤π2，
∴φ=π5，f(x)=2sin(15x+π5)；
(2)由题意知：g(x)=sin(15x+π5)，h(x)=sin(15x+π5+15θ)，
∵函数y=ex与函数y=lgx均为其定义域上的单调增函数，且0∴当且仅当g(x)=sin(15x+π5)=1取得最大值时，
同时h(x)=sin(15x+π5+15θ)=−1取得最小值时，y=eh(x)−lg(x)才能取得函数的最小值e−1，
由g(x)=sin(15x+π5)=1得，15x+π5=π2+2k1π，
又h(x)=sin(15x+π5+15θ)=sin(2k1π+π2+15θ)=−1，
∴cs(15θ)=−1，θ=10k2π+5π，以上k1，k2∈Z，
又θ>0，
∴θ的最小值为5π；
(3)m满足2m−m2≥01−m2≥0，解得0≤m≤1，
∵−m2+2m=−(m−1)2+1≤1，
∴0≤ −m2+2m≤1，
同理0≤ −m2+1≤1，
∵ω=15，φ=π5，
∴ω −m2+2m+φ∈[π5,15+π5]⊆[0,π2]，ω −m2+4+φ∈[π5,15+π5]⊆[0,π2]，
又函数y=sinx在[0,π2]上单调递增，
若有Asin(ω −m2+2m+φ)≤Asin(ω −m2+1+φ)，则只需 −m2+2m≤ −m2+1，即m≤12成立即可，
又0≤m≤1，m∈[0,12]，
∴存在m∈[0,12]，使Asin(ω −m2+2m+φ)>Asin(ω −m2+4+φ)成立．
【解析】(1)结合正弦函数最值先求出A，结合周期求出ω，代入特殊点求出φ，进而可求函数解析式；
(2)结合三角函数图象的变换求出g(x)，h(x)，然后结合已知函数的最值与单调性关系即可求解；
(3)结合已知先求出m的范围，结合二次函数的性质及正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)解析式的求解，还考查了三角函数图象的变化及函数性质的综合应用，属于中档题．