2024-2025学年湖南省邵阳市邵东四中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年湖南省邵阳市邵东四中高一（下）期中数学试卷（含解析），共18页。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）.
1．设、，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．位于灯塔处正西方相距15海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔处北偏东方向有一与灯塔相距海里的处有一艘乙船，则乙船前往支援处甲船需要航行的距离是（ ）
A．海里B．海里C．海里D．20海里
3．在正方体中，异面直线与所成角（ ）
A．B．C．D．
4．不重合的两条直线，和不重合的两个平面，，下面的几个命题：①若，且，则；
②若，与平面成等角，则；③若，，且，则；④若，，则；⑤若，异面，且，均与平面和平行，则．在这5个命题中，真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺的立体结构图．已知．底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积是（ ）
A．B．C．D．
6．在△中，，点在上，满足，则（ ）
A．B．C．D．
7．若非零向量与满足，△为（ ）
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形
D．等边三角形
8．平面直角坐标系中，，，若动点组成的区域面积为32，则等于（ ）
A．B．3C．2D．
二、多选题（共3小题，每题6分，各题有多个正确答案，全对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分，共18分）
（多选）9．（6分）已知复数满足，则
A．的实部是3B．C．D．
（多选）10．（6分）已知，，分别是△三个内角，，的对边，则下列命题中错误的是（ ）
A．若△是锐角三角形，则
B．若△是边长为1的正三角形，则
C．若，则△有二解
D．若，则△是等腰直角三角形
（多选）11．（6分）如图，在正三棱台中，，，分别是，的中点，则下列结论正确的是
A．直线平面B．
C．该棱台的高是D．该棱台的表面积是
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为 ．
13．已知平面向量为单位向量，且，则在方向上的投影向量的坐标为 ．
14．已知圆的半径为2，为圆的弦，弦长，为圆上任意一动点，则的取值范围是 ．
四、解答题（共5题，写出必要的文字说明和解题过程，共73分）
15．用向量方法证明：
（1）两角差的余弦公式：
（2）柯西不等式：
16．如图，用一平面去截球，所得截面面积为，球心到截面的距离为3，为截面小圆圆心，为截面小圆的直径．
（1）计算球的表面积和体积；
（2）若是截面小圆上一点，，、分别是线段和的中点，求异面直线与所成角的余弦值．
17．已知，，分别为△三个内角，，的对边，．
（1）求；
（2）若，△的面积为，求，．
18．已知长方体，，分别为和的中点，．
（1）求三棱锥体积；
（2）求证：平面平面．
19．已知函数，其中
（1）若，，求函数的单调递增区间和最小值；
（2）在中，、、分别是角．．的对边，旦（A），求的值；
（3）在第二问的条件下，若，求面积的最大值．
参考答案
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.
1．设、，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解：若，，满足设“”，但“”不成立，
若，则成立，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：．
2．位于灯塔处正西方相距15海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔处北偏东方向有一与灯塔相距海里的处有一艘乙船，则乙船前往支援处甲船需要航行的距离是（ ）
A．海里B．海里C．海里D．20海里
解：根据题意，作出示意图，
在△中，，，，
根据余弦定理，可得
，
所以，即乙船航行的距离为海里．
故选：．
3．在正方体中，异面直线与所成角（ ）
A．B．C．D．
解：，
是异面直线与所成角，
，
，
异面直线与所成角为．
故选：．
4．不重合的两条直线，和不重合的两个平面，，下面的几个命题：①若，且，则；
②若，与平面成等角，则；③若，，且，则；④若，，则；⑤若，异面，且，均与平面和平行，则．在这5个命题中，真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
解：对于①，若，且，则、位置关系不能确定，故错；
对于②，若，与平面成等角，则、位置关系不能确定，故错；
对于③，如图，直线平行于平面，直线平行于平面，
平面、中可以找到一直线平行于直线，
设在平面内，在平面内，则，，
不在平面内，在平面内，
，
又，．故正确；
对于④，若，，则或、相交，故错；
对于⑤，我们可以过空间内任意一点作两异面直线、的平行线．确定一个平面，由条件得，，故为真命题；
故选：．
5．民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺的立体结构图．已知．底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积是（ ）
A．B．C．D．
解：由题意可得圆锥体的母线长为，
所以圆锥体的侧面积为，
圆柱体的侧面积为，圆柱的底面面积为，
所以此陀螺的表面积为，
故选：．
6．在△中，，点在上，满足，则（ ）
A．B．C．D．
解：根据点在上，可得共线，
设，则
，
结合题意，可得，解得．
故选：．
7．若非零向量与满足，△为（ ）
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形
D．等边三角形
解：由，
可得△中，的平分线与边垂直，
，
又，
则，
又，
则，
则△为等边三角形．
故选：．
8．平面直角坐标系中，，，若动点组成的区域面积为32，则等于（ ）
A．B．3C．2D．
解：不妨设，，
如图所示：延长到点，延长到点，使得，，
作，，，，
则四边形，，均为平行四边形．
由题意可知：点组成的区域为图中的四边形及其内部．
，，，
，，，
，，，
则，
则，
若动点组成的区域面积为32，
四边形的面积为其中的，，，满足条件的动点有四个相同的区域），
即，
则四边形的面积
即，则，
得，
故选：．
二、多选题（共3小题，每题6分，各题有多个正确答案，全对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分，共18分）
（多选）9．（6分）已知复数满足，则
A．的实部是3B．C．D．
解：因为，所以，
所以，
所以的实部是3，虚部为，，，故、、正确；
，故错误．
故选：．
（多选）10．（6分）已知，，分别是△三个内角，，的对边，则下列命题中错误的是（ ）
A．若△是锐角三角形，则
B．若△是边长为1的正三角形，则
C．若，则△有二解
D．若，则△是等腰直角三角形
解：选项，由△是锐角三角形，可得，，
则，其中，
因为在上单调递增，
所以，
即，故正确；
选项，若△是边长为1的正三角形，
则，故错误；
选项，由正弦定理得，
即，解得，故或，
经检验，均满足要求，故正确；
选项，由及正弦定理，
可得，即，
所以或，故或，
则△是等腰三角形或直角三角形，故错误．
故选：．
（多选）11．（6分）如图，在正三棱台中，，，分别是，的中点，则下列结论正确的是
A．直线平面B．
C．该棱台的高是D．该棱台的表面积是
解：如图，将棱台补全为棱锥，依题意可得，
取的中点，连接，设顶点在底面的射影为，则为的一个三等分点，
则，
，
棱台的高是，故错误；
取的中点，连接、，，
平面，，平面，
同理可证平面，
，，平面，
平面平面，平面，平面，故正确；
取的中点，连接，，，
则为异面直线与所成角（或补角），
，
，
，
，，故错误；
如图，棱台的一个侧面中，，，，
过点作，则，
，，
，
棱台的表面积是，故正确．
故选：．
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为 ．
解：复数与分别对应向量与，
．
故答案为：．
13．已知平面向量为单位向量，且，则在方向上的投影向量的坐标为 ．
解：由题意可知，，
因为，
所以，
解得，
则在方向上的投影向量的坐标为．
故答案为：．
14．已知圆的半径为2，为圆的弦，弦长，为圆上任意一动点，则的取值范围是 ．
解：取的中点，连接、，
根据平面向量的加法法则可得
，
因为圆的半径为2，为圆的弦，弦长，
所以根据勾股定理可得，
所以，，
即，
所以，，
故的取值范围为．
故答案为：．
四、解答题（共5题，写出必要的文字说明和解题过程，共73分）
15．用向量方法证明：
（1）两角差的余弦公式：
（2）柯西不等式：
【解答】证明：（1）如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角，，
它们的终边与单位圆的交点分别为，，
则，
设的夹角为，
则，
另一方面，由图（1）可知，；
由图（2）可知，，于是，；
所以，也有，
故对于任意角，，有；
（2）设，
所以，，
则，
又，
所以．
16．如图，用一平面去截球，所得截面面积为，球心到截面的距离为3，为截面小圆圆心，为截面小圆的直径．
（1）计算球的表面积和体积；
（2）若是截面小圆上一点，，、分别是线段和的中点，求异面直线与所成角的余弦值．
解：（1）连接，由题意得，截面圆的半径为4，
又，，所以，
所以球的表面积为：；
体积为；
（2）连接，因为、分别为、的中点，所以，
所以异面直线与所成的角为或其补角，
在△中，，，则，
连接，在△中，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
17．已知，，分别为△三个内角，，的对边，．
（1）求；
（2）若，△的面积为，求，．
解：（1）由正弦定理得：，
即
，
即
．
；
（2）若，△的面积，
．①
再利用余弦定理可得：
，
．②
结合①②求得．
18．已知长方体，，分别为和的中点，．
（1）求三棱锥体积；
（2）求证：平面平面．
解：（1）由题意可知：平面，，为的中点，
，，
，
．
（2）证明：如图，取的中点，连接、．
又点是的中点，
且，
四边形为平行四边形，则点、、、四点共面．
．
又，分别是线段，的中点，
．、
又，，且平面，平面，
平面平面．
19．已知函数，其中
（1）若，，求函数的单调递增区间和最小值；
（2）在中，、、分别是角．．的对边，旦（A），求的值；
（3）在第二问的条件下，若，求面积的最大值．
解：（1）
，
由解得，
又，，因此函数的单调递增区间为．
其最小值为．
（2）由（A），可得，化为，
，，
，解得．即．
由正弦定理可得．
（3）由（2）可知：．
，当且仅当时取等号．
面积，即最大值为．