湖南省邵东市第四中学2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版）

这是一份湖南省邵东市第四中学2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题（原卷版+解析版），共18页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分， 的展开式中项的系数为等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效；
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 根据身高和体重散点图，下列说法正确的是（ ）
A. 身高越高，体重越重B. 身高越高，体重越轻C. 身高与体重成正相关D. 身高与体重成负相关
2. 展开式中含x的正整数指数幂的项数是 ( )
A. 0B. 2C. 4D. 6
3. 在2016年“两会”记者招待会上，主持人要从5名国内记者与4名国外记者中选出3名进行提问，要求3人中既有国内记者又有国外记者，且国内记者不能连续提问，则不同的提问方式有（ ）
A. 420种B. 260种C. 180种D. 80种
4. 在的展开式中，含项的系数是（ ）
A. 25B. 30C. 35D. 40
5. 已知随机事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则，相互独立
B. 若，相互独立，则
C. 若，则
D. 若，则
6. 的展开式中项的系数为（ ）
A. 1B. 10C. 11D. 55
7. 某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知一批产品中有是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为，一个次品被误判为合格品的概率为．任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若随机变量，则下列结论正确的是（ ）
A. 该正态曲线关于直线对称
B. 若，则
C. 若，则
D. 当时，若，则
10. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A. 常数项是B. 各项的系数和是64
C. 第4项二项式系数最大D. 奇数项二项式系数和为
11. 甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以，和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A. ，，是两两互斥的事件B. 事件与事件B相互独立
C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某公司生产的糖果每包标识质量是，但公司承认实际质量存在误差．已知糖果的实际质量服从的正态分布．若随意买一包糖果，假设质量误差超过克的可能性为，则的值为____________． （用含的代数式表达）
13. 的展开式中，含项的系数是______.（用数字作答）
14. 在的展开式中，的系数为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. 某学生对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示他们的饮食指数(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主).
（1）根据茎叶图，帮助这位同学说明这30位亲属的饮食习惯.
（2）根据以上数据完成如下列联表
（3）能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？
附表：
(参考公式：，其中)
16. 由0，1，2，3，4这五个数字．
（1）能组成多少个无重复数字的五位数？
（2）能组成多少个无重复数字五位偶数？
（3）组成无重复数字的五位数中比21034大的数有多少个？
17. 网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图，这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人，将所抽样本中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁．
（1）根据已知条件完成下面的列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关？
（2）若将所抽取样本中周平均网购次数为6次的市民称为超级网购迷，且已知超级网购迷中有2名年龄超过40岁，若从超级网购迷中任意挑选2名，求至少有一名市民年龄超过40岁的概率．
（附：）
18. 近几年，快递业的迅速发展导致行业内竞争日趋激烈.某快递网点需了解一天中收发一件快递的平均成本y（单位：元）与当天揽收的快递件数x（单位：千件）之间的关系，对该网点近5天的每日揽件量（单位：千件）与当日收发一件快递的平均成本（单位；元）（i=1，2，3，4，5）数据进行了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中，
（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型？并根据判断结果及表中数据求出y关于x的回归方程；
（2）各快递业为提高快递揽收量并实现总利润的增长，除了提升服务质量､提高时效保障外，价格优惠也是重要策略之一.已知该网点每天揽收快递的件数x（单位：千件）与单件快递的平均价格t（单位；元）之间的关系是，收发一件快递的利润等于单件的平均价格减去平均成本，根据（1）中建立的回归方程解决以下问题：
①预测该网点某天揽收2000件快递可获得的总利润；
②单件快递的平均价格为何值时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大？
附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
19. 某市为了了解高二学生物理学习情况，在34所高中里选出5所学校，随机抽取了近千名学生参加物理考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示.
(1)将34所高中随机编号为01，02，…，34，用下面的随机数表选取5组数抽取参加考试的五所学校.选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次取两个数字，则选出来的第4所学校的编号是多少？
49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20
96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77
04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06
(2)求频率分布直方图中的值，试估计全市学生参加物理考试的平均成绩；
(3)如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为，求的分布列及数学期望.
（注：频率可以视为相应的概率）
邵东四中2025年上学期高二期中考试
数学试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效；
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 根据身高和体重散点图，下列说法正确的是（ ）
A. 身高越高，体重越重B. 身高越高，体重越轻C. 身高与体重成正相关D. 身高与体重成负相关
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的散点图的特征，直接判断作答.
【详解】由于身高比较高的人，其体重可能大，也可能小，则选项AB不正确；
由散点图知，身高和体重有明显的相关性，且身高增加时，体重也呈现增加的趋势，
所以身高与体重呈正相关，C正确，D错误.
故选：C
2. 的展开式中含x的正整数指数幂的项数是 ( )
A. 0B. 2C. 4D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】化简二项式展开式的通项，由此判断出还有的正整数指数幂的项数.
【详解】二项式展开式的通项为，当时，指数为正整数指数幂，故选B.
【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查根式的运算，属于基础题.
3. 在2016年“两会”记者招待会上，主持人要从5名国内记者与4名国外记者中选出3名进行提问，要求3人中既有国内记者又有国外记者，且国内记者不能连续提问，则不同的提问方式有（ ）
A. 420种B. 260种C. 180种D. 80种
【答案】B
【解析】
【分析】应用分类加法计数，结合排列、组合数求不同分类下的提问方式，最后加总即可.
【详解】若人中有名中国记者和名国外记者，则不同的提问方式的种数是，
若人中有名中国记者和名国外记者，则不同的提问方式的种数是，
故所有的不同的提问方式的种数是.
故选：B
4. 在的展开式中，含项的系数是（ ）
A. 25B. 30C. 35D. 40
【答案】C
【解析】
【分析】根据二项式的通项公式即可求解.
【详解】解：.
故选：C.
5. 已知随机事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则，相互独立
B 若，相互独立，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据相互独立事件的定义判断A，根据条件概率公式判断B、C、D.
【详解】对于A：因为，所以与不独立，故A错误；
对于B：若，相互独立，则，故B错误；
对于C：因为，所以，故C错误；
对于D：若，则，所以，故D正确.
故选：D
6. 的展开式中项的系数为（ ）
A. 1B. 10C. 11D. 55
【答案】B
【解析】
【分析】由二项式定理求展开式中项的系数即可.
【详解】由，
则由二项式定理可知展开式中项为：
．
因此，可知其展开式中项的系数为：10.
故选：B.
7. 某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值.
【详解】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件，
则，，
故在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为.
故选：B
8. 已知一批产品中有是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为，一个次品被误判为合格品的概率为．任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】记事件抽取的一个产品为合格品，事件抽查一个产品被判为合格品，利用全概率公式可求得的值.
【详解】记事件抽取的一个产品为合格品，事件抽查一个产品被判为合格品，
则，，，
由全概率公式可得.
所以，任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若随机变量，则下列结论正确的是（ ）
A. 该正态曲线关于直线对称
B. 若，则
C. 若，则
D. 当时，若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】由正态分布性质：正态曲线关于直线对称，B、C、D根据已知条件，利用对称性求指定区间的概率即可判断正误.
【详解】A：由题设知：该正态曲线关于直线对称，错误；
B：由，正确；
C：由，错误；
D：，而由对称性知，所以，正确；
故选：BD
10. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A. 常数项是B. 各项的系数和是64
C. 第4项二项式系数最大D. 奇数项二项式系数和为
【答案】AC
【解析】
【分析】利用二项式展开式通项可判断A选项；利用各项系数和可判断B选项；利用二项式系数的性质可判断C选项；求出奇数项的二项式系数和可判断D选项.
【详解】二项式的展开式通项为.
令，可得，故常数项是，A正确；
各项的系数和是，B错误；
二项式展开式共7项，故第4项二项式系数最大，C正确；
奇数项二项式系数和为，D错误.
故选：AC
11. 甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以，和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A. ，，是两两互斥的事件B. 事件与事件B相互独立
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据已知条件，结合互斥事件的概念和条件概率公式，即可求解.
【详解】由题意得可知，，是两两互斥的事件，故A正确；
，，
，故C正确；
由
事件与事件B不独立，故B、D错误；
故选：AC
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某公司生产的糖果每包标识质量是，但公司承认实际质量存在误差．已知糖果的实际质量服从的正态分布．若随意买一包糖果，假设质量误差超过克的可能性为，则的值为____________． （用含的代数式表达）
【答案】
【解析】
【分析】根据正态分布的性质直接求解即可.
【详解】由题知，，
则
.
故答案为：
13. 的展开式中，含项的系数是______.（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】利用二项展开式的通项公式，求出系数.
【详解】展开式的通项．
令，得，
则．
故答案为：
14. 在的展开式中，的系数为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据二项式定理可知，把看成和两项，展开式中含的项为，再写出展开式中项的系数，即可得出结果.
详解】由题意可知，把二项式看成由和两项构成，
展开式中含的项为，
再将展开可得含的项为
即可知的系数为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. 某学生对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示他们的饮食指数(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主).
（1）根据茎叶图，帮助这位同学说明这30位亲属的饮食习惯.
（2）根据以上数据完成如下列联表
（3）能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？
附表：
(参考公式：，其中)
【答案】（1）答案见解析；（2）列联表答案见解析；（3）有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.
【解析】
【分析】（1）由茎叶图，说明30位亲属中50岁及以上、50岁以下的饮食分布情况即可；
（2）根据茎叶图填写列联表即可；
（3）由题意，求随机变量的观测值，并与参考值作比较，即可判断.
【详解】（1）由茎叶图，知：30位亲属中50岁及以上的人饮食以蔬菜为主，50岁以下的人饮食以肉类为主
（2）列联表如下所示：
（3）由题意，知随机变量的观测值，
∴有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.
16. 由0，1，2，3，4这五个数字．
（1）能组成多少个无重复数字的五位数？
（2）能组成多少个无重复数字的五位偶数？
（3）组成无重复数字的五位数中比21034大的数有多少个？
【答案】（1）96 （2）60
（3）65
【解析】
【分析】（1）先排数字0，再排其它4个数字即可计算得解；
（2）选偶数先排个位数，分个位数字为0和个位数字为2或4两种情况，再排其它数位；
（3）按最高位上的数字比2大和2两类分类计算作答.
【小问1详解】
先排数字0，0只能占除最高位外的其余四个数位，有种排法，
再排四个非0数字有种，由分步乘法计数原理得，
所以能组成96个无重复数字的五位数；
【小问2详解】
当个位数字为0时，则可以组成个无重复数字的五位偶数，
当个位数字为2或4时，则可以组成个无重复数字的五位偶数，
即可以组成个无重复数字的五位偶数；
【小问3详解】
计算比21034大的五位数的个数分两类：
万位比2大的五位数个数是，
万位是2的五位数中，千位比1大的有个，千位是1，百位比0大的有个，千位是1，百位是0，十位比3大的有1个，
由分类加法计数原理得，
所以组成无重复数字的五位数中比21034大的数有65个.
17. 网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图，这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人，将所抽样本中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁．
（1）根据已知条件完成下面的列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关？
（2）若将所抽取样本中周平均网购次数为6次市民称为超级网购迷，且已知超级网购迷中有2名年龄超过40岁，若从超级网购迷中任意挑选2名，求至少有一名市民年龄超过40岁的概率．
（附：）
【答案】（1）填表见解析；可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据题中数据即可完善列联表，然后计算出卡方值，和2.706比较即可得出；
（2）可得超级网购迷共有4名，超过40岁的2名市民为、，其余2名市民记为、，列出任取2人的所有基本事件，得出至少有1名市民年龄超过40岁的基本事件，即可求出概率.
【详解】（1）由题意可得列联表如下：
根据列联表中的数据可得，
，
所以可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关．
（2）由频数分布直方图可知，超级网购迷共有4名，记其中年龄超过40岁的2名市民为、，其余2名市民记为、，
现从4人中任取2人，基本事件是、、、、、共有6种，至少有1名市民年龄超过40岁的基本事件是、、、、共有5种，
故所求的概率为．
18. 近几年，快递业的迅速发展导致行业内竞争日趋激烈.某快递网点需了解一天中收发一件快递的平均成本y（单位：元）与当天揽收的快递件数x（单位：千件）之间的关系，对该网点近5天的每日揽件量（单位：千件）与当日收发一件快递的平均成本（单位；元）（i=1，2，3，4，5）数据进行了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中，.
（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型？并根据判断结果及表中数据求出y关于x的回归方程；
（2）各快递业为提高快递揽收量并实现总利润的增长，除了提升服务质量､提高时效保障外，价格优惠也是重要策略之一.已知该网点每天揽收快递的件数x（单位：千件）与单件快递的平均价格t（单位；元）之间的关系是，收发一件快递的利润等于单件的平均价格减去平均成本，根据（1）中建立的回归方程解决以下问题：
①预测该网点某天揽收2000件快递可获得的总利润；
②单件快递的平均价格为何值时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大？
附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
【答案】（1）适宜作为y关于x的回归方程类型，回归方程为；（2）①总利润约为12000元；②平均价格t为8元.
【解析】
【分析】（1）点不在一条直线的近旁，但与双曲线类似，可得回归曲线类型．令，根据已知数据求得回归方程，即可得结论．
（2）①利用（1）的结论求出利润函数，令可得估计利润值；②由二次函数性质可得．
【详解】解：（1）适宜作为y关于x的回归方程类型.
令，则，，
，
∴，即所求回归方程为；
（2）设收发x千件快递获利z千元，则，，
①当时，，故该网点某天揽收2000件快递可获得的总利润约为12000元；
②，∴当即时，z取最大值，故单件快递的平均价格t为8元时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大.
19. 某市为了了解高二学生物理学习情况，在34所高中里选出5所学校，随机抽取了近千名学生参加物理考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示.
(1)将34所高中随机编号为01，02，…，34，用下面的随机数表选取5组数抽取参加考试的五所学校.选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次取两个数字，则选出来的第4所学校的编号是多少？
49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20
96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77
04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06
(2)求频率分布直方图中的值，试估计全市学生参加物理考试的平均成绩；
(3)如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为，求的分布列及数学期望.
（注：频率可以视为相应的概率）
【答案】(1)16；(2)，平均成绩为；(3)分布列见详解，.
【解析】
【分析】(1)由随机数表可得；
(2)由频率和为1求出的值，再求平均数即可；
(3)从参加考试的同学中随机抽取1名同学的成绩在80分以上的概率为，可能的取值是，求出概率，列出分布列，即可求出结果.
【详解】解：(1) 由随机数表可得，选出来的编号依次为21,32,09,16，…，
故选出来的第4所学校的编号是16 .
(2),
故，解得.
估计全市学生参加物理考试的平均成绩为：
.
(3)从参加考试的同学中随机抽取1名同学的成绩在80分以上的概率为，
可能的取值是．
，
，
，
．
的分布列为：
所以．
（或，所以．）
主食蔬菜
主食为肉类
总计
50岁以下
50岁及以上
总计
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
网购迷
非网购迷
合计
年龄不超过40岁
年龄超过40岁
合计
0.15
0.10
0.05
0.01
2.072
2.706
3841
6.635
4
5.16
0.415
2.028
30
0.507
主食为蔬菜
主食为肉类
总计
50岁以下
50岁及以上
总计
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
主食为蔬菜
主食为肉类
总计
50岁以下
4
8
12
50岁及以上
16
2
18
总计
20
10
30
网购迷
非网购迷
合计
年龄不超过40岁
年龄超过40岁
合计
0.15
0.10
0.05
0.01
2.072
2.706
3.841
6.635
网购迷
非网购迷
合计
年龄不超过40岁
20
45
65
年龄超过40岁
5
30
35
合计
25
75
100
4
5.16
0.415
2.028
30
0.507
X
0
1
2
3
P