湖南省邵东市第一中学2022-2023学年高一数学下学期4月期中考试试题（Word版附答案）

邵东一中2023年高一下学期期中考试（数学）

一、单选题（每小题5分）

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

3．如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，若，，则的最小值为（    ）

A．2       B．3      C． D．5

4．在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若的面积是，则（    ）

A． B． C． D．

5．若，，且，的最小值为（    ）

A．12 B．14 C．16 D．18

6．已知，则（    ）

A． B． C． D．3

7．“阿基米德多面体”这称为半正多面体（semi-regularsolid），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知，则该半正多面体外接球的表面积为（    ）

A．18π B．16π C．14π D．12π

8．已知函数，若函数恰有8个不同零点，则实数a的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

二、多选题（每小题5分）

9．下列正确的是（    ）

A． B．

C． D．

10．已知正数x，y满足，则下列说法错误的是（    ）

A．的最大值为1 B．的最大值为2

C．的最小值为2 D．的最大值为1

11．如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（    ）

A．直三棱柱的侧面积是

B．直三棱柱的外接球表面积是

C．三棱锥的体积与点的位置有关

D．的最小值为

12．已知定义在R上的函数不恒等于零，，且对任意的∈R，有，则（    ）

A． B．是偶函数

C．的图象关于点中心对称 D．是的一个周期

三、填空题（每小题5分，16题第一问2分，第二问3分）

13．已知，且，为虚数单位，则的最大值是__．

14．在中，，，，若用正弦定理解此三角形时有两个解，则的取值范围是__．

15．如图，在中，P为线段AB上一点，则，若，，，且与的夹角为，则的值为_______.

16．已知函数（，）在区间上单调，且满足.

（1）若，则函数的最小正周期为______.

（2）若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为______.

四、解答题（17题10分，18-22每题12分）

17．函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；

(2)若函数在区间上恰有个零点，求的取值范围．

18．已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中.

(1)若，且，求；

(2)若，且，求的最小值，并求出此时与夹角的余弦值.

19. 已知圆锥的底面半径，高

（1）求圆锥的表面积和体积

（2）如图若圆柱内接于该圆锥，试求圆柱侧面积的最大值

20．记的内角，，的对边分别为，，，已知.

(1)求；

(2)若，求周长的取值范围.

21．某手机企业计划将某项新技术应用到手机生产中去，为了研究市场的反应，该企业计划用一年时间进行试产、试销．通过市场分析发现，生产此款手机全年需投入固定成本280万元，每生产x千部手机，需另投入成本万元，且假设每部手机售价定为0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．

(1)求出全年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；

(2)当全年产量为多少千部时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？

22．定义在上的函数满足：对任意给定的非零实数，存在唯一的非零实数，成立，则称函数是“v型函数”．已知函数，，．

(1)若在区间上是单调函数，求实数a的取值范围；

(2)设函数是“v型函数”，若方程存在两个不相等的实数，求的取值范围．

参考答案：

1．D

【分析】根据整数集的性质，结合集合交集的运算定义进行求解即可.

【详解】因为，所以.

故选：D

2．D

【分析】使用复数的除法运算解决。

【详解】，虚部为-，

故选：D

3．C

【分析】根据向量基本定理及向量共线定理的推论得到，再利用基本不等式求出最小值.

【详解】若三点共线，，则，

理由如下：

因为三点共线，则有，即，

即，故，故，

其中，

、、三点共线，

，

，

当且仅当，即时，等号成立．

故选：C．

4．A

【分析】根据正余弦定理及面积公式化简计算即可.

【详解】由余弦定理可得：

由条件及正弦定理可得：

，

所以，则．

故选：A

5．D

【分析】由，可得，后由基本不等式可得答案.

【详解】，，

于是，

当且仅当，即时取等号.

故选：D

6．D

【分析】对所求式子利用诱导公式进行化简，再利用弦化切即可求解.

【详解】，

则，

故选：D.

7．A

【分析】根据正方体的对称性可知：该半正多面体外接球的球心为正方体的中心，进而可求球的半径和表面积.

【详解】如图，在正方体中，取正方体、正方形的中心、，连接，

∵分别为的中点，则，

∴正方体的边长为，

故，可得，

根据对称性可知：点到该半正多面体的顶点的距离相等，则该半正多面体外接球的球心为，半径，

故该半正多面体外接球的表面积为.

故选：A.

8．A

【分析】利用十字相乘法进行因式分解，然后利用换元法，作出的图象，利用数形结合判断根的个数即可.

【详解】由，

得，

解得或，

作出的图象如图，

则若，则或，

设，由得，

此时或，

当时，，有两根，

当时，，有一个根，

则必须有，有个根，

设，由得，

若，由，得或，

有一个根，有两个根，此时有个根，不满足题意；

若，由，得，有一个根，不满足条件.

若，由，得，有一个根，不满足条件；

若，由，得或或 ，

当，有一个根，当时，有个根，

当时，有一个根，此时共有个根，满足题意.

所以实数a的取值范围为.

故选：A.

【点睛】方法点睛：已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：

(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题．

9．CD

【分析】利用三角函数的诱导公式及两角和与差的三角函数公式的逆应用，逐一计算四个选项是否正确即得结果.

【详解】对于A，因为

所以，故A错误；

对于B，，

，故B错误；

对于C，，故C正确；

对于D，

故D正确.

故选：CD.

10．BC

【分析】根据基本不等式逐一分析判断即可得解.

【详解】因为，

所以，故，当且仅当时，取得等号，

所以的最大值为1，故A正确；

当时，，故B错误；

因为，

所以，当且仅当时，取得等号，

即有最大值为2，故C错误；

因为，当且仅当时，取得等号，

所以有最大值为1，故D正确；

故选：BC．

11．ABD

【分析】由题意画出图形，计算直三棱柱的侧面积即可判断A；讲直棱柱放在圆柱中，求出直棱柱底面外接圆半径，进而求出外接球半径，利用球的表面积公式即可判断B；由棱锥底面积与高为定值判断C；将侧面展开即可求出最小值判断D．

【详解】在直三棱柱中，，，,

则，底面和是等腰三角形，侧面全是矩形，

所以其侧面积为1×2×2+，故A正确；

设底面外接圆半径为，即，即，

所以直棱柱的外接球半径，

直三棱柱的外接球表面积为，故B正确；

由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱上的一个动点，

三棱锥的高为定值，

××2＝，××＝，故C错误；

把侧面和侧面展开在一个平面上，当为的中点时，

取最小值，，故D正确．

故选：ABD．

12．ABC

【分析】分别给取适当值代入条件，通过代数表达式判断函数性质.

【详解】对于A，令得，又函数不恒等于零，所以，选项A正确；

对于B，令得，所以，故函数是偶函数，选项B正确；

对于C,D，令，得，即，，所以函数是周期函数，且周期为，选项D错误；又是偶函数，即，所以，即，所以的图象关于点对称，选项C正确.

13．8

【分析】表示以为圆心，3为半径的圆，进而根据复数减法的几何意义求解即可.

【详解】解：因为且，

所以，根据复数模的几何意义，表示以为圆心，3为半径的圆，

所以，表示圆上的点和点的距离，

因为圆心到点的距离为，

，

故答案为：

14．

【分析】利用正弦定理可得，再确定的范围即可作答.

【详解】在中，由正弦定理得：，

因有两解，即给定x值，由求出的角A有两个，它们互补，

当时，，角A唯一确定，只有一解，

则，即有，而当时，是直角三角形，只有一解，

有两解，则必有，即，有，

所以的取值范围是.

故答案为：

15．-3

【分析】利用向量线性运算及平面向量基本定理，用表示与，然后利用数量积的运算律求解即可

【详解】因为，所以，

所以

，

即，

故答案为：-3

16．         

【分析】（1）由题可得对称中心，根据三角函数的性质结合条件判断的大概取值范围，再结合条件可得函数的对称轴即可得到的值从而得出最小正周期；

（2）根据函数的对称中心及的大概取值范围，结合三角函数的图象可得，从而解出.

【详解】因为函数在区间上单调，且满足，

∴对称中心为，

代入可得，，①

∵在区间上单调，且对称中心为，

又∵，，

∴在区间上单调，

∴， ，即，

∴.

（1）∵，

∴关于对称，代入可得，，②

①－②可得，，即，，又，

∴，；

（2）∵对称中心为，∴，

∵在区间上恰有5个零点，

∵相邻两个零点之间的距离为，五个零点之间即，六个零点之间即，

∴只需即可，

所以，又∵，

∴.

故答案为：；.

17．(1)

(2)

【分析】（1）令，结合图象可求得的解析式，则由可求得；

（2）由（1）可得，令，将问题转化为在上与恰有个交点，采用数形结合的方式可求得结果.

【详解】（1）令，

由图象可知：，最小正周期，，

，则，解得：，

又，，，

.

（2）由（1）得：，

当时，，

令，则在上与恰有个交点，

作出与的图象如下图所示，

由图象可知：当时，与恰有个交点，

即若在上恰有个零点，则的取值范围为.

18．(1)或

(2)，此时

【分析】（1）先设,根据坐标求模公式，即可求解.

(2) 根据题意，条件可化简为，再根据基本不等式，即可求解.

【详解】（1）因为，且，所以设，

所以，

解得，

所以或.

（2）由，得，

所以，

因为，，可得，

因为，所以，

当且仅当，时取等号.

所以.

设与夹角为，则此时.

19. 已知圆锥的底面半径，高

（1）求圆锥的表面积和体积

（2）如图若圆柱内接于该圆锥，试求圆柱侧面积的最大值

【答案】（1）,;   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由已知求得圆锥的母线长,再由圆锥的侧面积与体积公式求解;

（2）作出圆柱与圆锥的截面图，把圆柱的侧面积用h表示,然后结合二次函数求最值.

【小问1详解】

∵圆锥的底面半径R=6，高H=8，

圆锥的母线长，

则表面积，体积.

【小问2详解】

作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示,

其中，

设圆柱底面半径为r，则，即 .

设圆柱的侧面积为.

当时，有最大值为.

20．(1)

(2)

【分析】（1）已知等式结合倍角公式和余弦定理，化简得，可求；

（2）结合正弦定理表示出a和c，进而将周长表示为关于角A的正弦函数，利用正弦函数性质以及A的范围即可求得答案．

【详解】（1），由倍角公式得，

由余弦定理，，化简得，

则，由，得.

（2）由正弦定理得︰ ，

∴ ， ，，

 ，

 由， ，∴， 即（当且仅当时，等号成立），

从而周长的取值范围是

21．(1)

(2)当全年产量为100千部时，该企业所获利润最大，最大利润是8970万元．

【分析】（1）读懂题意，根据已知条件求解.

（2）分类讨论，利用二次函数、基本不等式进行求解.

（1）

当时，

，

当时，

，

所以

（2）

若，则，

当时，；

若，则，

当且仅当，即时，等号成立，此时．

因为，所以当全年产量为100千部时，该企业所获利润最大，最大利润是8970万元．

22．(1)

(2)

【分析】（1）根据二次函数的单调性列出不等式即可得解；

（2）当时，设函数的值域为，当时，设函数的值域为，由“v型函数”，分析可得，再分，和三种情况讨论，求出，再根据方程存在两个不相等的实数，求得的范围，再将所求用表示，从而可得出答案.

【详解】（1）解：因为在区间上具有单调性，

所以或，

解得或，

即实数的取值范围是；

（2）解：因为函数的对称轴，

所以函数在上递减，

当时，设函数的值域为，则，

当时，设函数的值域为，

因为函数是“型函数”，

由“型函数”的定义知：

①若，则存在唯一，使，所以在上单调且，

②若，则存在唯一，使，所以在上单调且，

所以函数在轴两侧的图象必须“等高”且单调，

即且在上单调，

当时，，不合题意；

当时，在上单调递增，在上单调递减，，不合题意；

当时，在上单调递增，，

所以，则舍去），

综上，

则，

由方程，

当时，方程为，

因为，

所以方程有两个实数根，设为，

则，

所以方程有两个异号实数根，

故当时，方程有且仅有一个实数根，

当时，方程为，

又因方程存在两个不相等的实数，

所以，

即当时，方程一定有一个实数根，

即，所以，

由，得，则，

由，得，

则

，

因为函数在上都是增函数，

所以函数在上是增函数，

当时，，

当时，，

所以.

【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数的范围及函数新定义的问题，考查了根据方程的根求参数的范围问题，解决第二问的关键在于把所求用表示，属于难题.