湖南省邵阳市邵东市第三中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份湖南省邵阳市邵东市第三中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题（原卷版+解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 已知复数（是虚数单位），则（ ）
A. B. C. D. 2
2. 已知向量，则“”是“与夹角为钝角”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. ，，，且A、C、D三点共线，则k=（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
4. 已知四面体A-BCD的棱长都等于2，那么它的表面积为（ ）
A. 2B. C. D.
5. 已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在ΔABC中，设，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 圆锥SO中，S为圆锥顶点，O为底面圆的圆心，底面圆O半径为，侧面展开图面积为底面圆周上有两动点A，B，则面积的最大值为（ ）
A. 4B. C. D. 8
8. 如图，四边形ABCD是直角梯形，其中AB=1，CD=2，AD⊥DC，O是AD的中点，以AD为直径的半圆O与BC相切于点P.以AD为旋转轴旋转一周，可以得到一个球和一个圆台.给出以下结论，其中正确结论的个数是（ ）

①圆台的母线长为4；②球的直径为；③将圆台的母线延长交DA的延长线于点H，则得到的圆锥的高为；④点P的轨迹的长度是．
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多选题
9. 已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不同的直线，在下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，，则
B. 若，，则
C 若，，则
D. 若，，则m至少与α，β中一个平行
10. 已如的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论证确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则是直角三角形
C. 若，则是锐角三角形
D.
11. 如图所示，已知正方体的棱长为分别是，的中点，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 平面截正方体所得截面可能是五边形
B. 一定是锐角三角形
C. 当点P与A点重合时，平面截正方体所得的截面面积为
D. 的最小值是
三、填空题
12. 底面半径为2圆柱的侧面积是圆柱表面积的，则该圆柱的高为_________
13. 设向量的夹角的余弦值为，且，则_____
14. 如图，为测量武汉防汛纪念碑的高度及取景点与之间的距离（在同一水平面上，雕像垂直该水平面于点，且三点共线），华中师大一附中研究性学习小组同学在三点处测得顶点的仰角分别为，若米，则纪念碑的高度为______米，取景点与之间的距离为______米．
四、解答题
15. 已知复数满足和均实数．
（1）求复数；
（2）若在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
16. 如图，在长方体中，，，点，分别是棱的中点．
（1）证明：三条直线相交于同一点
（2）求三棱锥的体积．
17. 在①；②；③向量与平行,这三个条件中任选一个,补充在下面题干中,然后解答问题.已知内角的对边分别为,且满足______.
（1）求角；
（2）若为锐角三角形,且,求周长的取值范围；
（3）在（2）条件下,若边中点为,求中线的取值范围.
（注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分）
18. 如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与小岛相距为nmile．为钝角，且．
（1）求小岛与小岛之间的距离；
（2）求四个小岛所形成的四边形的面积；
（3）记为，为，求的值．
19. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由；
（3）若，请在图中作出四棱锥过点及棱中点的截面，并求出截面周长．
邵东三中2025年上学期高一年级期中考试数学试题卷
考试时间：120分钟；总分：150分
一、单选题
1. 已知复数（是虚数单位），则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先利用复数的除法化简复数，再求得其共轭复数，然后求模.
【详解】复数,
所以，，
故选：C
2. 已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据与的夹角为钝角，由，且与不共线求解x的范围，再结合必要不充分条件定义即可求解.
【详解】若与的夹角为钝角，
则，且与不共线，
所以，且，
解得且，
故“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件.
故选：A
3. ，，，且A、C、D三点共线，则k=（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据A、C、D三点共线，由求解.
【详解】因为，，，
所以，
又A、C、D三点共线，所以，
则，解得，
故选：B
4. 已知四面体A-BCD的棱长都等于2，那么它的表面积为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】应用四面体的几何特征计算表面积即可.
【详解】四面体的棱长都等于2，那么它的表面积为.
故选：D.
5. 已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用投影向量的定义求解.
【详解】因为，，且，的夹角为，
所以在上投影向量为，
，
故选：C
6. 如图，ΔABC中，设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据，利用平面向量的线性运算求解.
【详解】因为，
所以，
，
，
，
故选：B
7. 圆锥SO中，S为圆锥顶点，O为底面圆的圆心，底面圆O半径为，侧面展开图面积为底面圆周上有两动点A，B，则面积的最大值为（ ）
A. 4B. C. D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】设圆锥母线长为l，由侧面展开图面积为求得，再作出圆锥的轴截面，由时，的面积最大求解.
【详解】设圆锥母线长为l，底面圆O半径为，侧面展开图面积为
所以，解得，
作出圆锥的轴截面，如图所示：
则 ，
因为底面圆周上有两动点A，B，当时，则面积的最大，
最大值为，
故选：D
8. 如图，四边形ABCD是直角梯形，其中AB=1，CD=2，AD⊥DC，O是AD的中点，以AD为直径的半圆O与BC相切于点P.以AD为旋转轴旋转一周，可以得到一个球和一个圆台.给出以下结论，其中正确结论的个数是（ ）

①圆台的母线长为4；②球的直径为；③将圆台的母线延长交DA的延长线于点H，则得到的圆锥的高为；④点P的轨迹的长度是．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由球体、圆台的几何结构特征，以及已知条件确定圆台的母线长、高和球的半径，再根据圆锥与圆台的相关线段相似比求得圆锥的高，进而求得点的轨迹，由此得出结论是否正确，得到答案.
【详解】对于①中，由题意知，圆台的上下底面半径分别为，
设圆台的母线长为，高为，则球的直径为，
因为与半圆相切于点，则，
所以，所以①不正确；
对于②中，过点作于点，则，
所以，所以球的直径为，所以②不正确；
对于③中，因为，可得，
则，所以，所以③正确；
对于④中，过点作于点，延长与交于，
则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
作与点，可得，则，
即，解得，
所以点P轨迹的长度是，所以④错误.
故选：A.

二、多选题
9. 已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不同的直线，在下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则m至少与α，β中一个平行
【答案】AD
【解析】
【分析】A.利用线面平行的定义判断；B.利用线面的位置关系判断；C. 利用线面的位置关系判断；D.利用线面平行的判定定理和性质定理判断.
【详解】A.因为，，所以，故正确；
B. 因为，，所以或，故错误；
C. 因为，，所以或异面，故错误；
D.因为，，若m在α内，不在β内，则；
若m不在α内，在β内，则；
若m不在α内，不在β内，则，，故正确；
故选：AD
10. 已如的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论证确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则是直角三角形
C. 若，则是锐角三角形
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据正弦定理判断A；利用正弦定理边化角结合两角差的余弦公式判断B；根据数量积的定义判断C；结合图形得到三角形中的不等关系化简判断D.
【详解】对于A，在中，，则，由正弦定理得，A正确；
对于B，，则，
在中，，则，
即，则，，即是直角三角形，B正确；
对于C，由，得，即，而为内角，
因此为钝角，即是钝角三角形，C错误；
对于D，，同理，
则，即，
而，因此，即，D正确.
故选：ABD
11. 如图所示，已知正方体的棱长为分别是，的中点，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 平面截正方体所得的截面可能是五边形
B. 一定是锐角三角形
C. 当点P与A点重合时，平面截正方体所得的截面面积为
D. 的最小值是
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A：截面形状，依据平面与正方体各面的相交情况判断；对于B：三角形是否为锐角三角形，选取特殊位置通过余弦定理判断角的余弦值正负；对于C：截面面积，需确定截面形状并计算；对于D：的最小值，可转化为共平面结合将军饮马计算两点间距离．
【详解】对于A，如图，当点P与A，B两点不重合时，将线段向两端延长，
分别交的延长线于点，连接分别交，于R，S两点，
连接此时截面为五边形，所以A正确；
对于B，考虑，当点P与点A重合时，，，，
此时因为，故为钝角，所以B错误；
对于C，当点P与点A重合时，设的中点为，则，
所以当点与点重合时，平面截正方体所得的截面如图所示,其截面为矩形,
易知，所以其截面面积为，故C错误；
对于D，取的中点H，连接，在的延长线上取使得
，连接与于P点，
此时，
故D正确.
故选：AD
三、填空题
12. 底面半径为2的圆柱的侧面积是圆柱表面积的，则该圆柱的高为_________
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意，由求解.
【详解】设圆柱的母线为l，底面半径为r=2，高为h，
因为底面半径为2的圆柱的侧面积是圆柱表面积的，
所以，解得，即，
故答案为：2
13. 设向量的夹角的余弦值为，且，则_____
【答案】8
【解析】
【分析】由求解.
【详解】由，得，
又因为向量的夹角的余弦值为，
所以，
，
故答案为：8
14. 如图，为测量武汉防汛纪念碑的高度及取景点与之间的距离（在同一水平面上，雕像垂直该水平面于点，且三点共线），华中师大一附中研究性学习小组同学在三点处测得顶点的仰角分别为，若米，则纪念碑的高度为______米，取景点与之间的距离为______米．
【答案】 ①. ； ②. .
【解析】
【分析】根据题意可知，再由边角关系可求得AB；求出CB和FB在中由余弦定理即可求解.
【详解】解：由题可知等腰三角形，故,
中，，
故纪念碑的高度为米；
中，，
，
又，由余弦定理可得：
，
解得：，
故取景点与之间的距离为米.
故答案为：；.
四、解答题
15. 已知复数满足和均为实数．
（1）求复数；
（2）若在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，化简和，根据其为实数列方程求解即可；
（2）化简，根据其在复平面内对应的点的位置列不等式求解.
【小问1详解】
设，则，
所以，
因为和均为实数，
所以，解得，
故；
【小问2详解】
，
因为在复平面内对应的点在第四象限，
所以，
解得或，
即实数取值范围为.
16. 如图，在长方体中，，，点，分别是棱的中点．
（1）证明：三条直线相交于同一点
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）1.
【解析】
【分析】（1）先通过证明且得到四点共面，且相交，再利用基本事实三可证明结论；
（2）通过以及棱锥的体积公式求解.
【小问1详解】
连接，如图：
分别是的中点，，，
且，
∴四边形为平行四边形，，
在中，分别是的中点，，，
且四点共面，
设，平面，平面，平面，平面，
平面平面，
三条直线相交于同一点；
【小问2详解】
，三棱锥的高为，
点是棱的中点，，
点分别是棱的中点，，，
．
．
17. 在①；②；③向量与平行,这三个条件中任选一个,补充在下面题干中,然后解答问题.已知内角的对边分别为,且满足______.
（1）求角；
（2）若为锐角三角形,且,求周长的取值范围；
（3）在（2）条件下,若边中点为,求中线的取值范围.
（注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分）
【答案】（1）条件选择见解析,
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）选①根据正弦定理化简，然后转化成余弦值即可；选②根据正弦定理化简即可求到余弦值，然后求出角度； 选③先根据向量条件得到等式，然后根据正弦定理即可求到正切值，最后求出角度.
（2）根据（1）中结果和，把周长转化成，然后再求解范围.
（3）根据中线公式和正弦定理，把转化成三角函数求解即可.
【小问1详解】
选①：因为，
,即，
，,.
选②：，
,
，
,,.
选③：向量与平行，
,
,
,,.
【小问2详解】
,
,
.
为锐角三角形,
，
，
.
周长取值范围为.
【小问3详解】
，
又由中线公式可得，
.
即，
为锐角三角形，
，
,.
.
18. 如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与小岛相距为nmile．为钝角，且．
（1）求小岛与小岛之间的距离；
（2）求四个小岛所形成的四边形的面积；
（3）记为，为，求的值．
【答案】（1）2nmile；
（2）18平方海里； （3）．
【解析】
【分析】（1）根据同角的平方关系求出，结合余弦定理计算即可求解；
（2）易知，则，利用余弦定理计算可得，结合三角形面积公式计算即可求解；
（3）方法1：根据正弦定理和同角的平方关系可得，由诱导公式求出，结合和两角和的正弦公式计算即可求解.
方法2：利用余弦定理和同角的平方关系计算求得，结合和两角和的正弦公式计算即可求解.
【小问1详解】
，且A为钝角，，
在中，由余弦定理可得，
，即，
解得：或（舍去）．
小岛A与小岛之间的距离为2nmile．
【小问2详解】
四点共圆，与互补，则
．
在中，由余弦定理得：，
，得，
解得（舍去）或．
（平方海里），
四个小岛所形成的四边形的面积为18平方海里．
【小问3详解】
方法1：在中，由正弦定理得：，即，解．
，为锐角，则，
又，
，
．
方法2
在三角形中，；；；
由余弦定理可得：；
；
又，
，
．
19. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由；
（3）若，请在图中作出四棱锥过点及棱中点的截面，并求出截面周长．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在为线段中点，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）取线段的中点，连接，通过证明可得结论；
（2）当为线段中点时，平面，通过证明面面可得结论；
（3）取线段的中点，连接，通过证明，得到四边形为截面，然后分别求出各边的长即可.
【小问1详解】
取线段的中点，连接，
因为分别为线段的中点，
所以，且，
又，且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
【小问2详解】
当为线段中点时，平面，
证明：取线段中点，连接
因为分别为线段的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面；
因为，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
又面，
则面面，又面，
所以面，
所以当为线段中点时，平面；
【小问3详解】
取线段的中点，连接，
因为，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又分别为线段，
所以，
所以，则四边形为四棱锥过点及棱中点的截面，
则，，，
在中，，，
所以，
则，
所以截面周长为.