2026届高三数学二轮高效复习主题巩固卷-空间向量与空间角（Word版解析版）

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1.(2025·河南新乡二模)《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在四面体ABCD中，CD⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB＝4，BC＝CD＝3，AE＝23EC.
(1)证明：四面体ABCD为鳖臑；
(2)若直线MN⊥平面ABD，求直线BE与MN所成角的余弦值.
解：(1)证明：因为CD⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以CD⊥BC，CD⊥AC，CD⊥AB.
又AB⊥BC，且BC∩CD＝C，BC，CD⊂平面BCD，
所以AB⊥平面BCD，又BD⊂平面BCD，则AB⊥BD，
所以四面体ABCD的四个面都为直角三角形，则四面体ABCD为鳖臑.
(2)以B为坐标原点，BC，BA的方向分别为x，y轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
则A0，4，0，B0，0，0，D3，0，3，E(65，125，0)，
则BA＝0，4，0，BD＝3，0，3，BE＝(65，125，0).
设平面ABD的法向量为n＝x，y，z，
则n·BA=4y=0，n·BD=3x+3z=0，
令x＝1，得n＝1，0，－1.
由cs＜BE，n＞＝BE·nBEn＝1010，得直线BE与MN所成角的余弦值为1010.
2.(2025·陕西汉中二模)如图，A，B，C是圆柱上底面圆周上的三个不同的点，AC为直径，BB1，CC1均为该圆柱的母线.
(1)证明：平面ABB1⊥平面BCC1B1；
(2)若AC＝2，BB1＝3，∠ACB＝30°，求AC1与平面AB1C所成角的正弦值.
解：(1)证明：因为AC为直径，B是上底面圆周上异于A，C的一点，所以AB⊥BC.
因为BB1为该圆柱的母线，所以BB1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以BB1⊥AB，又BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面BCC1B1.
所以AB⊥平面BCC1B1.
因为AB⊂平面ABB1，所以平面ABB1⊥平面BCC1B1.
(2)设点A在圆柱下底面的射影为A1，连接A1B1.
以B1为坐标原点，B1A1，B1C1，B1B的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.
因为AC＝2，∠ACB＝30°，所以AB＝1，BC＝3，所以B10，0，0，A1，0，3，C(0，3，3)，C1(0，3，0)，
AC＝－1，3，0，AB1＝－1，0，－3，AC1＝(－1，3，－3).
设平面AB1C的法向量为m＝x，y，z，
则m·AC＝m·AB1＝0，即－x＋3y=0，－x－3z=0，
取z＝－1，得m＝3，3，－1.
由cs＜m，AC1＞＝m·AC1mAC1＝313×13＝313，
得AC1与平面AB1C所成角的正弦值为313.
3.(2025·四川绵阳三模)如图1，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝AB＋2，E，F分别为AB，CD的中点，且EF＝6，将梯形AEFD沿EF翻折至梯形A1EFD1，使得平面A1EFD1⊥平面BEFC，得到如图的多面体A1BED1CF，且BF⊥A1C.
(1)证明：A1，B，C，D1四点共面；
(2)求BE的长；
(3)在线段D1C上取一点P，使得平面EFP⊥平面A1BCD1，求平面BFP与平面BEFC夹角的余弦值.
解：(1)因为平面A1EFD1⊥平面BEFC，平面A1EFD1∩平面BEFC＝EF，
且D1F⊥EF，D1F⊂平面A1EFD1，
所以D1F⊥平面BEFC，又EF⊥CF，
以F为原点，以FE，FC，FD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设BE＝a，易得E6，0，0，F0，0，0，A16，0，a，B6，a，0，C0，a+1，0，D1(0，0，a＋1)，
则BF＝－6，－a，0，A1C＝(－6，a＋1，－a)，
由BF⊥A1C，则BF·A1C＝6－aa+1＝0，解得a＝－3(舍去)或a＝2，
则A1B＝0，2，－2，D1C＝0，3，－3，
则D1C＝32A1B，则D1C∥A1B，
即D1C∥A1B，所以A1，B，C，D1四点共面.
(2)由(1)知，BE＝a＝2.
(3)由(1)知，A1C＝－6，3，－2，A1B＝0，2，－2，EF＝－6，0，0，D1C＝(0，3，－3)，
设D1P＝λD1C＝0，3λ，－3λ0≤λ≤1，
则P0，3λ，3－3λ，则FP＝0，3λ，3－3λ，
设平面A1BCD1的一个法向量为m＝x1，y1，z1，
则m·A1C＝－6x1+3y1－2z1=0，m·A1B=2y1－2z1=0，取y1＝6，得m＝1，6，6，
设平面EFP的一个法向量为n＝x2，y2，z2，
则n·EF＝－6x2=0，n·FP=3λy2＋3－3λz2=0，取z2＝λ，得n＝0，λ－1，λ，
由平面EFP⊥平面A1BCD1，则m·n＝6λ－1＋6λ＝0，解得λ＝12，
则P0，32，32，则BP＝－6，－12，32，
又BF＝－6，－2，0，
设平面BFP的一个法向量为p＝x3，y3，z3，
则p·BP＝－6x3－12y3＋32z3=0，p·BF＝－6x3－2y3=0，取x3＝2，得p＝2，－6，6，
易得平面BEFC的一个法向量为q＝0，0，1，则cs＜p，q＞＝p·qp·q＝616·1＝64，
则平面BFP与平面BEFC夹角的余弦值为64.
4.(2025·辽宁沈阳二模)斜三棱柱ABC-A1B1C1各棱长为4，∠A1AB＝π3，D为棱BB1上的一点.
(1)求证：AB⊥A1C；
(2)若平面AA1B1B⊥平面ABC，且二面角A-A1D-C的余弦值为217，求BD的长.
解：(1)证明：取AB中点O，在△ABC中，AC＝BC，O为AB中点，所以OC⊥AB，
在△AA1O中，∠A1AO＝π3，AO＝2，AA1＝4，由余弦定理可得A1O＝23，
所以有AA12＝AO2＋A1O2，即∠A1OA＝π2，所以A1O⊥AB，
又因为A1O∩OC＝O，A1O⊂平面A1OC，OC⊂平面A1OC，所以AB⊥平面A1OC，
又因为A1C⊂平面A1OC，所以AB⊥A1C.
(2)由(1)知A1O⊥AB且平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，A1O⊂平面AA1B1B，所以A1O⊥平面ABC，则A1O⊥OC，
如图OA，OC，OA1两两垂直，以O为坐标原点，以OA，OC，OA1方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系.
则A2，0，0，B－2，0，0，C0，23，0，A10，0，23，
设BD＝λ，0≤λ≤4，D－2－λ2，0，3λ2，A1C＝(0，23，－23)，DC＝(2＋λ2，23，－3λ2)，
设平面A1CD法向量为n＝x0，y0，z0，
则A1C·n=0，DC·n=0，即23y0－23z0=0，2+λ2x0+23y0－32λz0=0，
可取n＝3λ－4λ+4，1，1，
平面AA1D的法向量为m＝0，1，0，
所以有13λ−4λ+42+12+12＝217，化简得λ2－10λ＋16＝0，
所以有λ＝8(舍)或者λ＝2，所以BD＝2.