球的切接问题-2023届新高考数学高三二轮复习专题讲义

立体几何—球的切接问题

专题综述

球的切接问题是高考热点之一，基本以选择或填空题出现，求解需要学生较强的空间想象能力、化归与转化能力和准确的计算能力，且题目综合性较强，需要梳理出解题的模式与套路.与球切接的多面体分为：①规则的多面体，如长方体，正方体，正三棱柱、正三棱锥，正四面体、有2个面为共斜边的直角三角形的三棱锥，这些特殊的几何体其内切球与外接球的半径与其棱长之间有具体的公式.②不规则的多面体，核心是要定球心求出半径，可以通过定义法定球心、补形法将几何体还原到特殊的几何体中去、方程法求外接球的半径，等体积法内切球的半径.本专题就不规则多面体内切球和外接球问题的几种方法进行探究.

专题探究

探究1：补形法

正方体等几何体的外接球球心已经明确，一些几何体通过补形成为长方体、三棱柱等，让原几何体与补形后的几何体的球心一致，从而求出半径.常见的模型有：

1. 对棱相等的三棱锥：三棱锥的三组

对棱的长分别为，还原到长方体中，三棱

锥的棱为长方体的面对角线，则外接球半径

2.四个面都是直角的三棱锥：三棱锥中

，平面，,

，还原到长方体中，棱的中点即为球心，

则外接球半径.

也可以理解为棱为两个直角三角形斜边，则中点到四个定点的距离相等，即为球心.

3. 三条侧棱两两垂直的三棱锥（墙角模型）：三棱

锥的三条侧棱两两垂直，

，还原到长方体中，则外接

球半径.

4.一条侧棱垂直于底面：三棱锥，平面,还原到直三棱柱中，直三棱柱的球心在上下底面的外接圆的圆心连线中点，求直三棱柱的外接圆的半径.

（2021江苏南通市高三模拟）正三棱锥中，，，则该棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【审题视点】

三棱锥比较特殊，给出棱长，可以先分析三棱柱侧面三角形的特点，判断能否通过补形还原到长方体中去.                              

【思维引导】

勾股定理判断侧面三角形的为直角三角形，满足墙角模型.

【规范解析】解：在正三棱锥中，

，,

,

,

同理可得, ,

以为棱构造正方体，如图所示

则该棱锥外接球即为该正方体的外接球，

设三棱锥的外接球半径为，

，

故球的表面积为,故选：C

【探究总结】

典例1中给出了几何体的棱长，求其外接球的半径，此类问题的共同特点是，要用解三角形的知识先判断几何体中的边角关系，先判断是否可以使用补形法，若不能则用定义找球心.

(2021山东省泰安市一模)在四面体中，，，则四面体的外接球的表面积为(    )

A． B． C． D．

探究2：由外接球定义找球心

利用定义确定球心，即求出一点使其到几何体各个顶点的距离相等.

答题思路：

一般棱锥外接球球心的找法：                                                                                                 

第一种：

1.寻找底面多边形的外接圆的圆心过作底面的垂线：外接圆的半径用正弦定理求出；

2.任选一侧棱，取其中点，过中点作侧棱的垂面，垂面与的交点即为外接圆的圆心，或在垂线上任设一点，利用到各点的距离相等 ，从而确定外接球球心：将转化为求解平面多边形.

第二种：

寻找几何体中两个面的多边形的外接圆的圆心即为，分别过作两个平面的垂线即为，的交点即为外接球的球心.

(2021福建省福州市模拟) 三棱锥中，平面，，，，是边上的一个动点，且直线与面所成角的最大值为，则该三棱锥外接球的表面积为__________.

【审题视点】

几何体给出了较多的边角关系，且底面三角形不是直角三角形，可初步判断可用定义法找球心.

【思维引导】

求出为等腰三角形，利用上述方法的第一中，过的外接圆的圆心作底面垂线，取侧棱中点向作垂线，垂足即为球心.

【规范解析】

解：三棱锥中，平面，设直线与平面所成角为，
如图所示：
可知：为直线与平面所成角，
则，

当时，取取最小值，即取最大值

，

的最小值是，即到的距离为，

，

在中，，

可得，

故为等腰三角形

则外接圆圆心在的延长线上
取的外接圆圆心为，

作，设的外接圆的半径为，
 

，解得；
，
取为的中点，设三棱锥外接球的半径为，

，，
由勾股定理得，

三棱锥的外接球的表面积是

故答案为：

【探究总结】

定义法找球心，较为繁琐计算量大，但思路清晰，按照给出的方法步骤即可确定球心，再利用平面几何的知识求解半径，再求出球的表面积或体积.

(2021湖南省四校联考) 如图，二面角的平面角的大小为，，，，，则四面体的外接球表面积为__________.                               

探究3：内切球的球心问题

 内切球的问题： 

1.正多面体的内切球和外接球的球心重合；

2.正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合 ；

3. 正棱柱的内切球球心，在上下底面三角形外接圆圆心连线的中点，和外接球的球心重合；

4.体积分割是求内切球半径的通用做法：设内切球的半径为，则球心到各个面的距离均，则.

(2021山西省大同一中)已知直三棱柱的底面为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（   ）

A．25︰1 B．1︰25 C．1︰5 D．5︰1

【审题视点】

正三棱柱的内切球与外接球球心重合.

【思维引导】

正三棱柱的内切球与外接球球心重合，为上下底面三角形外接圆圆心连线的中点，确定球心后，分别求出半径.

【规范解析】

解：由题意得，正三棱柱的内切球与外接球球心重合，为上下底面三角形外接圆圆心连线的中点.

如图所示：点是底面等边三角形的中心，点是三棱柱外接球和内切球的球心，点是底边的中点，连结，，，，设底面三角形的边长为，则，，

由三棱锥内切球与各面都相切可得，

故三棱柱的高是内切球的直径，

底面三角形内切圆的直径也是三棱柱内切球的直径，

，即三棱柱内切球的半径，

又，

，

即三棱柱外接球的半径，

所以内切球的表面积为，

外接球的表面积，

三棱柱外接球和内切球表面积的比值为

故选：

【探究总结】

对于特殊的几何体，通过空间想象，可以快速确定球心及内切圆半径.

(2021湖北省荆州市高三模拟) 下图中正方体边长为2，则下列说法正确的是（   ）

A. 平面平面
B. 正方体外接球与正四面体外接球半径相等均为
C. 正四面体内切球半径为
D. 四面体内切球半径为    

 专题升华

规则多面体的内切球与外接球的有关结论:

1.长方体的长宽高为，则其外接球球心为其体对角线的中点，外接球半径；

2.正方体的棱长为，则其外接球半径，内切球半径；

3.设正三棱柱的高为,底面边长为,和分别为上下底面的中心,则球心的中点,则其外接球半径 ；

4.设正四面体的棱长为,则内切球半径,外接球半径；
5.正三棱锥的侧棱长为，底面边长为，内切球与外接球的球心都在其高线上，外接球半径，内切球半径为；

【答案详解】

变式训练1

【解答】由，，

，

故，

取的中点,连接

，

即为外接球的球心，球的半径

四面体的外接球的表面积为：

.故选：B

变式训练2

【解答】解：在中，，，

，

设的外接圆的半径为，则，所以，

在中，，，，
所以，

设的外接圆的半径为，则，所以，

作，所以为二面角的平面角，

即，
 

，，

，

设四面体的外接球的球心为，球半径为，
则，

，
所以四面体的外接球表面积为
故答案为

变式训练3

【解析】解：

对于因为正方体的边长为2，故，
所以和是等边三角形，

取的中点，连接和，
则，，

即为二面角的平面角，
，，

故，
不等于，即二面角的平面角不等于，
所以平面平面不成立，故选项不正确；
对于正四面体的四个顶点都是正方体的顶点，

故正四面体与正方体有同一个外接球，

且外接球的半径为，故选项正确;
对于正四面体内切球半径为，

正四面体的高为，

由体积相等可得：，可得，

故选项正确;
对于设四面体内切球半径为，由体积相等可得，
即，解得：，
故选项正确;
故选：