初中数学二元一次方程组的概念同步测试题

这是一份初中数学二元一次方程组的概念同步测试题，共17页。试卷主要包含了二元一次方程组的定义，注意，方法技巧，8x+0等内容，欢迎下载使用。

考点一：二元一次方程组
1.二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组
2.注意：
（1）二元一次方程组一共要含有两个未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数；
（2）方程组中的各个方程，相同未知数必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起
3.方法技巧：
判断一个方程组是二元一次方程组的方法
（1）方程组中各个方程都是整式方程：
（2）方程组中一共含有两个不相同的未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数：
（3）含未知数的项的次数都是1.
考点二：二元一次方程组的解
1.定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解
2.注意：
一般情况下二元一次方程组的解是唯一的，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，
通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数。
3.方法技巧：
（1）方程组的解一定是方程组中每一个方程的解，但方程组中每一个方程的解不一定是这个方程组的解；
（2）方程组的解要用大括号联立表示；（3）一般地，二元一次方程组的解只有一组，但也有特殊情况，代入检验法检验一对数值是否为某二元次方程组的解的方法是将这对数值分别代入方程组中的每个方程，只有这对数值满足其中的所有方程时，
才能说这对数值是此方程组的解，如果这对数值不满妮其中的某一个方程，那么它就不是此方程组的解.
题型一：二元一次方程组的定义
【典例精讲】（2025秋•莱芜区期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．xy=5x+4y=2B．x−2y=31x+1y=5
C．x=−3x3−y4=7D．x−z=−23y+z=0
【分析】根据二元一次方程组的定义，逐一分析四个选项中的方程组即可．
【解答】解：A．该方程组属于二元二次方程组，不符合题意；
B．该方程组的第二个方程不是整式方程，不符合题意；
C．该方程组属于二元一次方程组，符合题意；
D．该方程组含有三个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意．
故选：C．
【变式训练1】（2025秋•左权县期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．x+y=2xy=1B．x+y=2x−y=1
C．x+y=2x−z=1D．1x+y=2x+y=1
【分析】根据二元一次方程组的定义：只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且两个方程都是整式方程组成的方程组，即可作答．
【解答】解：A、方程xy＝1中，xy为二次项，不是二元一次方程组，不符合题意；
B、方程组含两个未知数x和y，且方程x+y＝2和x﹣y＝1均为一次方程，符合题意；
C、方程组含三个未知数x、y、z，不是二元一次方程组，不符合题意；
D、方程1x+y=2中，1x为分式，不是二元一次方程组，不符合题意．
故选：B．
【变式训练2】（2025秋•莲湖区月考）如果方程x﹣y＝3与下面方程中的一个可以组成二元一次方程组．这个方程可以是（ ）
A．2x+z＝5B．x2＝4C．12x+y=3D．y+2＝0
【分析】二元一次方程组的定义的三要点：（1）共有两个未知数；（2）未知数的项最高次数都应是一次；（3）都是整式方程．据此判断即可．
【解答】解：A．x﹣y＝3与2x+z＝5组成方程组，有三个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意；
B．x﹣y＝3与x2＝4组成方程组，未知数的项最高次数都应是两次，不是二元一次方程组，不符合题意；
C．x﹣y＝3与12x+y=3组成方程组，12x+y=3不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意；
D．x﹣y＝3与y+2＝0组成方程组，是二元一次方程组，符合题意．
故选：D．
【变式训练3】（2025秋•海淀区校级期末）在方程组2x−y=1y=3x+1、x=23y−x=1、x+y=03x−y=5、xy=1x+2y=3、x+y=1x+y=1、x=1y=1中，是二元一次方程组的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组，据此进行判断即可．
【解答】解：2x−y=1y=3x+1、x=23y−x=1、x+y=03x−y=5、x+y=1x+y=1、x=1y=1是二元一次方程组，共5个，
故选：D．
题型二：二元一次方程组的解
【典例精讲】（2025秋•五华县期末）在“班级原创数学题目”比赛中，四个数学小组设计出了四个方程组，其中以x=2y=−1为解的二元一次方程组是（ ）
A．2x+4y=0x−3y=1B．x+2y=0x−y=3
C．x+3y=02x−y=5D．3x+6y=0x−y=−2
【分析】解方程组即可得到结论．
【解答】解：A、解方程组2x+4y=0x−3y=1得x=−110y=1110，不符合题意；
B、解方程组x+2y=0x−y=3得x=2y=−1，符合题意；
C、解方程组x+3y=02x−y=5得x=157y=−57，不符合题意；
D、解方程组3x+6y=0x−y=−2得x=−149y=−49，不符合题意；
故选：B．
【变式训练1】（2025秋•娄底月考）下列方程组中，解为x=2y=1的是（ ）
A．x−y=−2x+y=1B．x−y=12x+y=3
C．2x−y=4x+2y=3D．x+y=33x−2y=4
【分析】把x=2y=1代入每个方程组中的每一个方程，看看左右两边是否相等即可．
【解答】解：A．把x=2y=1代入选项方程组，左右两边均不相等，不符合题意；
B．把x=2y=1代入选项方程组，左边＝5，右边＝3，左右两边不相等，不符合题意；
C．把x=2y=1代入选项方程组，左右两边均不相等，不符合题意；
D．把x=2y=1代入选项方程组，左右两边均相等，符合题意．
故选：D．
【变式训练2】（2025秋•石家庄校级期末）关于x、y的方程组x+y=32x+y=☆的解为x=4y=△，则☆，△的值分别为（ ）
A．9，﹣1B．9，1C．5，1D．7，﹣1
【分析】将x＝4代入x+y＝3，解得y＝﹣1，再求出2x+y的值，即可得到答案．
【解答】解：关于x、y的方程组的解为x=4y=△，
将x＝4代入x+y＝3，解得y＝﹣1，
则2x+y＝2×4+（﹣1）＝7，
则☆，△的值分别为7，﹣1，
故选：D．
题型三：方程组无解、无数组解
【典例精讲】（2025春•东阳市期末）若关于x，y方程组ax−y=24x+by=1有无数组解，则a与b的值分别是（ ）
A．a＝4，b＝﹣1B．a＝4，b＝1C．a＝2，b＝1D．a＝8，b=−12
【分析】先解方程组，然后根据方程组有无数组解即可得出4+ab＝0，2b+1＝0，即可求出a、b的值．
【解答】解：ax−y=2①4x+by=1②，
①×b，得abx﹣by＝2b③，
②+③，得（4+ab）x＝2b+1，
∵原方程组有无数组解，
∴4+ab＝0，2b+1＝0，
∴a＝8，b=−12，
故选：D．
【变式训练1】（2024秋•宁明县期末）方程组3x−4y=56x−8y=12的解的情况是（ ）
A．一组解B．两组解C．无数组解D．无解
【分析】利用一次函数的性质通过判断两直线的位置关系得到方程组解得情况．
【解答】解：直线3x﹣4y＝5与直线6x﹣8y＝12平行，
所以原方程组无解，
故选：D．
【变式训练2】（2025秋•宣州区校级期中）若关于x，y的二元一次方程组3x−5y+7=06x+ay−5=0无解，则a的值为 ．
【分析】根据二元一次方程组的解法以及方程组无解的定义进行计算即可．
【解答】解：3x−5y+7=0①6x+ay−5=0②，
①×2﹣②得，（﹣10﹣a）y+19＝0，
由于原方程组无解，
所以﹣10﹣a＝0，
解得a＝﹣10．
故答案为：﹣10．
【变式训练3】（2025春•虹口区校级期末）关于x，y的方程组ax+3by=212x−y=1有无数组解，则ab＝ ．
【分析】根据关于x，y的方程组ax+3by=212x−y=1有无数组解，可得两个方程的系数和常数项必须成相同比例，所以设比例系数k，所以12=ak，﹣1＝3bk，1＝2k，求出k，表示出a、b，求出ab．
【解答】解：因为关于x，y的方程组ax+3by=212x−y=1有无数组解，
设比例系数k，
所以12=ak，﹣1＝3bk，1＝2k，
解得：k=12，a＝1，b=−23，
所以ab=1×(−23)=−23．
故答案为：−23．
题型四：已知方程组的解求参数
【典例精讲】（2025秋•埇桥区校级期末）已知关于x，y的方程组3x+5y=m+45x+3y=m的解x和y互为相反数，则m的值是（ ）
A．1B．﹣2C．﹣1D．0
【分析】根据相反数的定义，得到y＝﹣x，代入方程组中求出x=−m2−2，x=m2，可得关于m的一元一次方程，求解即可．
【解答】解：已知关于x，y的方程组3x+5y=m+45x+3y=m的解x和y互为相反数，
∵x 和 y 互为相反数，
∴y＝﹣x，
把y＝﹣x代入3x+5y＝m+4，得：x=−m2−2，
把y＝﹣x代入5x+3y＝m，得：x=m2，
∴−m2−2=m2，
解得：m＝﹣2，
故选：B．
【变式训练1】（2025秋•桃源县期末）已知关于x，y的方程组3x+5y=k+22x+3y=k的解满足方程5x+8y＝10，则k的值等于（ ）
A．3B．﹣4C．﹣3D．4
【分析】先把两个方程相加得到：5x+8y＝2k+2，得到5x+8y＝2k+2，结合已知条件，消去x，y，从而可得答案．
【解答】解：3x+5y=k+2①2x+3y=k②，
①+②得，3x+2x+5y+3y＝k+2+k，
5x+8y＝2k+2，
又∵5x+8y＝10，
∴2k+2＝10，
解得：k＝4．
故选：D．
【变式训练2】（2025秋•涟源市期末）已知关于x，y的二元一次方程组3x−y=4m+1x+y=2m−5的解满足x﹣y＝4，则m的值为（ ）
A．﹣1B．1C．2D．7
【分析】通过将方程组的两个方程相减，得到x﹣y与m的关系式，再代入已知条件x﹣y＝4求解m的值．
【解答】解：方程组3x−y=4m+1①x+y=2m−5②，
①﹣②可得2x﹣2y＝2m+6，
∴x﹣y＝m+3，
又∵x﹣y＝4，
∴m+3＝4，
∴m＝1．
故选：B．
题型五：实际问题与二元一次方程组
【典例精讲】（2025秋•象州县期末）《算法统宗》中有这样的问题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托约5尺）．”大意是：现有一根竿子和一条绳子，绳子比竿子长5尺，如果将绳子对折后去量竿，它比竿子短5尺．求竿子长几尺？设竿子x尺，绳长y尺，根据题意，可列方程组（ ）
A．x=y+512x=y+5B．y=x+512y=x+5
C．y=x+512y=x−5D．x=y+512x=y−5
【分析】根据题意可得等量关系：绳长＝竿长+5尺，绳索长的一半＝竿长﹣5尺，根据等量关系可得方程组．
【解答】解：根据题意，列出方程组得y=x+512y=x−5．
故选：C．
【变式训练1】（2025秋•夏县期末）现代办公纸张通常以A0，A1，A2，A3，A4等标记来表示纸张的规格，一张A2纸可裁成2张A3纸或4张A4纸．现计划将100张A2纸全部裁成A3纸和A4纸，两者共计300张．设裁成A3纸x张，A4纸y张，则可列方程组为（ ）
A．x+y=1002x+4y=300
B．x+y=3002x+4y=100
C．x+y=10012x+14y=300
D．x÷y=30012x+14y=100
【分析】根据一张A2纸可裁成2张A3纸或4张A4纸．现计划将100张A2纸全部裁成A3纸和A4纸，两者共计300张，列出二元一次方程组即可．
【解答】解：由题意得：x+y=1002x+4y=300，
故选：A．
【变式训练2】（2025秋•萧县期末）为庆贺即将来临的春节，某商业城“女装部”推出“全部服装八折”，男装部推出“全部服装八五折”的优惠活动．某顾客在女装部购买了原价x元，在男装部购买了原价y元的服装各一套，优惠前需付700元，而她实际付款580元，根据题意列出的方程组是（ ）
A．x+y=7000.8x+0.85y=580
B．x+y=7000.85x+0.8y=580
C．x+y=7000.8x+0.85y=700−580
D．x+y=5800.8x+0.85y=700
【分析】根据优惠前及实际付款金额，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵某顾客在女装部购买了原价x元，在男装部购买了原价y元的服装各一套，优惠前需付700元，
∴x+y＝700；
∵该商业城“女装部”推出“全部服装八折”，男装部推出“全部服装八五折”的优惠活动，且实际付款580元，
∴0.8x+0.85y＝580．
∴根据题意可列出方程组x+y=7000.8x+0.85y=580．
故选：A．
1．（2025春•松北区期末）在方程组x=1y=1，1x+1y=1x+y=1，x=23y−x=1，x+y=5y=7+z，xy=1x+2y=3中，是二元一次方程组的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据二元一次方程组的定义判断即可．
【解答】解：二元一次方程组有：x=1y=1，x=23y−x=1，共2个，
故选：A．
2．（2025春•雷州市期末）解为x=1y=2的方程组是（ ）
A．x−y=13x+y=5B．x−y=−13x+y=−5
C．x−y=33x−y=1D．x−2y=−33x+y=5
【分析】所谓方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．
将x=1y=2分别代入A、B、C、D四个选项进行检验，或直接解方程组．
【解答】解：将x=1y=2分别代入A、B、C、D四个选项进行检验，
能使每个方程的左右两边相等的x、y的值即是方程的解．
A、B、C均不符合，
只有D满足．
故选：D．
3．（2025秋•郑州月考）已知x=−2y=1是2x+3y=mnx−y=3的一组解，则m+n的值为（ ）
A．3B．﹣5C．5D．﹣3
【分析】将给定的解代入方程组，分别求出m和n的值，再计算它们的和．
【解答】解：已知x=−2y=1是2x+3y=mnx−y=3的一组解，
∵x＝﹣2，y＝1是方程组的解，
∴代入2x+3y＝m得：2×（﹣2）+3×1＝﹣4+3＝﹣1，
∴m＝﹣1．
代入nx﹣y＝3得：n×（﹣2）﹣1＝3，
∴n＝﹣2．
∴m+n＝﹣1+（﹣2）＝﹣3．
故选：D．
4．（2025秋•淮南期末）若关于x，y的二元一次方程组2x−y=4x−2y=8的解也是方程x+y＝2k的解，则k的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】把方程组中的两个方程的左右两边分别相减可得x+y＝﹣4，则2k＝﹣4，解之即可得到答案．
【解答】解：2x−y=4①x−2y=8②，
①﹣②得x+y＝﹣4，
由题意可得：2k＝﹣4，
∴k＝﹣2，
故选：A．
5．（2025秋•永丰县校级期末）小明在解关于x、y的二元一次方程组2x−3y=5x+y=∅时，解得x=4y=∞，则∅和∞代表的数分别是（ ）
A．3、﹣1B．1、5C．﹣1、3D．5、1
【分析】将x＝4代入第一个方程求出y，再代入第二个方程求∅．
【解答】解：∵x=4y=∞是二元一次方程组2x−3y=5x+y=∅的解，
∴将x＝4代入2x﹣3y＝5，得2×4﹣3y＝5，
解得：y＝1，即∞＝1，
将y＝1，x＝4代入x+y＝∅，
得：∅＝4+1＝5，
故∅和∞代表的数分别是5和1，
故选：D．
6．（2025秋•下花园区期末）表1为二元一次方程a1x+b1y＝c1的部分解，表2为二元一次方程a2x+b2y＝c2的部分解，则方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为（ ）
A．x=−1y=1B．x=1y=−1C．x=2y=−2D．x=3y=1
【分析】根据二元一次方程组的解的定义，从表格中找到答案即可．
【解答】解：由表格可知，x＝1，y＝﹣1是二元一次方程a1x+b1y＝c1的解，x＝1，y＝﹣1是二元一次方程a2x+b2y＝c2的解，
∴关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=1y=−1．
故选：B．
7．（2025秋•雁塔区校级期末）已知x=1y=−1是方程组mx+ny=5mx−ny=1的解，则（m+n）（m﹣n）的值是（ ）
A．5B．﹣5C．25D．﹣25
【分析】根据二元一次方程组的解得出m−n=5m+n=1，即可解决问题．
【解答】解：∵x=1y=−1是方程组mx+ny=5mx−ny=1的解，
∴m−n=5m+n=1，
∴（m+n）（m﹣n）＝1×5＝5，
故选：A．
8．（2025秋•罗湖区校级期末）已知某段旋律由若干四分音符和八分音符构成，其中四分音符的时值为1拍，八分音符的时值为12拍．若该段旋律的总拍数为12拍，其中四分音符的个数比八分音符多3．设该段旋律中四分音符的个数为x，八分音符的个数为y，则可列方程组为（ ）
A．x+12y=12y−x=3B．x+12y=12x−y=3
C．x+2y=12x−y=3D．x+2y=12y−x=3
【分析】根据该段旋律的总拍数为12拍，其中四分音符的个数比八分音符多3，可以列出相应的方程组．
【解答】解：由题意可得，
x+12y=12x−y=3，
故选：B．
9．（2025秋•太原期末）用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片拼图．如图，已知图1中4个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为16cm2；图2中8个长方形纸片围成的阴影部分正方形面积为9cm2．若设每张长方形纸片的长为xcm，宽为ycm，则下列方程组正确的是（ ）
A．x+y=3x+2y=4B．x−y=3x−2y=4
C．x−y=4x+2y=3D．x−y=4x−2y=3
【分析】设每张长方形纸片的长为xcm，宽为ycm，根据题意列出方程组x−y=4x−2y=3即可．
【解答】解：由题意得：图1正方形阴影部分边长为4cm，图2正方形阴影部分边长为3cm，
设每张长方形纸片的长为xcm，宽为ycm，
根据题意得，x−y=4x−2y=3，
故选：D．
10．（2025秋•高陵区期末）写出一个解为x=−1y=2的二元一次方程组 2x+y=02x−y=−4 ．
【分析】所谓方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．在求解时，应先围绕x=−1y=2列一组算式，然后用x，y代换即可列不同的方程组．
【解答】解：先围绕x=−1y=2列一组算式
如﹣1+2＝1，﹣1﹣2＝﹣3
然后用x，y代换
得x+y=1x−y=−3等．
同理可得2x+y=02x−y=−4
答案不唯一，符合题意即可．
11．（2025秋•贺兰县校级期末）小明求得方程组4x+y=123x−2y=■的解为x=●y=4，，则■表示的数为 ﹣2 ．
【分析】将y＝4代入第一个方程求出 x 的值，再将 x 和 y 的值代入第二个方程求解■．
【解答】解：小明求得方程组4x+y=123x−2y=■的解为x=●y=4，，
由题意得，方程组的解中y＝4，
∴4x+4＝12，
∴x＝2，
∴■＝3x﹣2y＝3×2﹣2×4＝﹣2，
故答案为：﹣2．
12．（2025秋•青羊区校级期末）若关于x，y的方程组3x+2y=2k−52x+3y=3k的解满足x+y＝6，则k的值为 7 ．
【分析】由原方程组可得x+y＝k﹣1，再通过解方程k﹣1＝6进行求解．
【解答】解：3x+2y=2k−5①2x+3y=3k②，
①+②5，得x+y＝k﹣1，
即k﹣1＝6，
解得k＝7，
故答案为：7．
13．（2024秋•李沧区期末）若关于x，y的二元一次方程组y=2x−1y=ax+2无解，则a的值是 2 ．
【分析】方程组中的两个方程直接相减得到一元一次方程，根据方程组无解得到2﹣a＝0，即可求出a的值．
【解答】解：y=2x−1①y=ax+2②，
①﹣②，得（2﹣a）x﹣3＝0，
∴（2﹣a）x＝3，
∵关于x，y的二元一次方程组y=2x−1y=ax+2无解，
∴2﹣a＝0，
∴a＝2，
故答案为：2．
14．（2025春•江阴市校级月考）关于x，y的方程组x+ay−1=0bx−2y−1=0有无数组解，则a+b＝ ﹣1 ．
【分析】根据方程组有无数解先确定a、b，再计算a+b．
【解答】解：∵x，y的方程组x+ay−1=0bx−2y−1=0有无数组解，
∴b＝1，a＝﹣2．
∴a+b＝﹣2+1＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由．
(1)
(2)
【分析】根据二元一次方程组的定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组，即可进行解答．
【详解】（1）解：x2−y=5x+y3=1中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，
∴该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组；
（2）解：x=5−y3y−4x=1中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，
∴该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组．
16．（2025秋•市南区校级期末）写出一个二元一次方程组，使它的解为x=4y=−1．
【分析】根据二元一次方程解定义写成两个二元一次方程组成方程组即可．
【解答】解：方程组2x+y=7x+2y=2的解就是x=4y=−1，
17．已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值．
【分析】要使方程组是二元一次方程组，需要满足两个条件：①方程2x+3ym−1=1 中，未知数y的次数m−1必须为1；
②方程m−2x=2025中，未知数x的系数m−2不能为0，否则方程组就只含有一个未知数y，不符合二元一次方程组的定义．
【详解】解：∵方程组2x+3ym−1=1,m−2x=2025是关于x，y的二元一次方程组，
∴m−1=1且m−2≠0，
由m−1=1解得m=2或m=0，
又m−2≠0，即m≠2．
∴m=0．
18．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求的值．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，根据题意可知，甲所得的方程组的解满足方程②，乙所得的方程组的解满足方程①，分别把甲、乙所得的方程组的解代入方程②和方程①中求出a、b的值即可得到答案．
【详解】解：∵甲看错了方程①中的a，
∴x=−2y=6满足题中的方程②，
∴4×(−2)−6b=−2，
解得b=−1．
∵乙看错了方程②中的b，
∴x=5y=2满足题中的方程①，
∴5a+5×2=15，
解得a=1．
∴a2025+−b2026
=12025+12026
=1+1
=2．
19．若是关于、的二元一次方程组的解，求的值．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把x=1y=2代入ax+y=7x+by=9，得出关于a和b的二元一次方程组，求解得出a，b的值，再代入代数式计算即可．
【详解】解：把x=1y=2代入ax+y=7x+by=9得：a+2=71+2b=9
解得：a=5b=4
∴2a+b=2×5+4=14
20．运用整体思想解决数学问题，有时会使我们的解题更加简便快捷．例如：已知，求的值．解：，当时，原式．请你借鉴上面的解题经验，解决下列问题：
(1)若，则 _________；
(2)若关于x，y的方程组的解为现有关于m，n的方程组，求代数式的值．
【分析】本题主要考查了代数式求值，平方差公式，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握整体思想的应用．
（1）根据3m+6n+4=3m+2n+4进行求解即可；
（2）设s=m+n，t=m−n，则关于s，t的方程组as+3t=10bt+cs=6的解为s=2t=4，可得m+n=2，m−n=3，再利用平方差公式求解即可．
【详解】（1）解：∵m+2n=−1，
∴3m+6n+4=3m+2n+4=3×−1+4=1；
（2）解：设s=m+n，t=m−n，
∴关于m，n的方程组am+n+3m−n=10bm−n+cm+n=6即为关于s、t的方程组as+3t=10bt+cs=6，
∵关于x，y的方程组ax+3y=10cx+by=6的解为x=2y=4，
∴关于s，t的方程组as+3t=10bt+cs=6的解为s=2t=4，
∴m+n=2，m−n=4，
∴m2−n2=m+nm−n=2×4=8．
21．已知当时，关于的二元一次方程和有相同的解，求的值．
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，把y=2代入x−2y=1中求出x=5，再把x=5y=2代入3x+my=9即可求出m的值，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：把y=2代入x−2y=1中得，x−2×2=1，
解得：x=5，
∴相同的解为x=5y=2，
∴ 代入方程3x+my=9得3×5+2m=9，
∴ m=−3．
22．已知二元一次方程．
(1)直接写出它所有的正整数解；
(2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为．
【分析】本题考查了二元一次方程组的解；
（1）将方程变形，写出满足方程的正整数解即可；
（2）写出满足解的一个二元一次方程即可．
【详解】（1）解：∵x+2y=5，
∴x=5−2y，
∴当y=1时，x=5−2y=5−2=3，符合题意；
当y=2时，x=5−2y=5−2×2=1，符合题意；
当y=3时，x=5−2y=5−2×3=−1，不符合题意；
∴x+2y=5所有的正整数解为x=1y=2或x=3y=1；
（2）解：∵x=−1y=3，
∴x+y=2，
∴方程组x+2y=5x+y=2的解为x=−1y=3．
23．已知下列四对数值：
①②③④
(1)哪几对数值是方程的解？
(2)哪几对数值是方程的解？
(3)写出方程组的解．
【分析】本题考查了二元一次方程的解，二元一次方程组的解．
（1）分别将四对数代入方程12m−n=6，验证左边是否等于右边即可得解；
（2）分别将四对数代入方程2m−12n=−11，验证左边是否等于右边即可得解；
（3）结合（1）（2）的结果，同时满足（1）（2）数组即为方程组的解．
【详解】（1）解：将①m=−8n=−10代入12m−n=6得：12×−8−−10=6，左边=右边；
将②m=0n=−6代入12m−n=6得：12×0−−6=6，左边=右边；
将③m=10n=−1代入12m−n=6得：12×10−−1=6，左边=右边；
将④m=1n=26代入12m−n=6得：12×1−26=6，左边≠右边；
∴①m=−8n=−10②m=0n=−6③m=10n=−1是方程12m−n=6的解；
（2）解：将①m=−8n=−10代入2m−12n=−11得：2×−8−12×−10=−11，左边≠右边；
将①m=−8n=−10代入2m−12n=−11得：2×−8−12×−10=−11，左边=右边；
将②m=0n=−6代入2m−12n=−11得：2×0−12×−6=−11，左边≠右边；
将③m=10n=−1代入2m−12n=−11得：2×10−12×−1=−11，左边≠右边；
将④m=1n=26代入2m−12n=−11得：2×1−12×26=−11，左边=右边；
∴①m=−8n=−10④m=1n=26是方程2m−12n=−11的解；
（3）解：由（1）（2），得①m=−8n=−10是方程组12m−n=62m−12n=−11的解．
24．（2024秋•峡江县期末）阅读材料：善思考的小军在解方程组2x+5y=3①4x+11y=5②时，采用了一种“整体代入”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③，
把方程①代入③，得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1，
把y＝﹣1代入①得，x＝4，
所以方程组的解为x=4y=−1．
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组3x−2y=59x−4y=19．
【分析】方程组中第二个方程变形后，将第一个方程代入求出x的值，进而求出y的值，得到方程组的解．
【解答】解：3x−2y=5① 9x−4y=19②
将方程②变形：3（3x﹣2y）+2y＝19．
将方程①代入③，得3×5+2y＝19．y＝2
把y＝2代入①得 x＝3
∴方程组的解为x=3y=2．
25．【观察思考】
第1个方程组为解为
第2个方程组为解为
第3个方程组为解为
……
【发现规律】
（1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______．
（2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示）
【应用规律】
（3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值．
【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，数字规律，解二元一次方程组．
（1）根据前3个方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到第4个方程组；
（2）根据规律得出第n个方程组和它的解，解方程组检验，即可求解；
（3）根据（2）中规律可得3n+1=43，再根据第n个方程组第一个方程x的系数为n+1，即m=n+1，即可求解．
【详解】解：（1）第4个方程组为5x+y=134x−y=−4解为x=1y=8．
（2）由（1）得：第n个方程组为n+1x+y=3n+1nx−y=−n解为x=1y=2n．
（3）由规律得3n+1=43，
解得n=14．
根据第n个方程组第一个方程x的系数为n+1，即m=n+1，
代入n=14，得m=14+1=15．
根据第n个方程组第二个方程的常数项为−n=−k，即−14=−k，
解得k=14．
∴m的值为15，k的值为14．
26．关于，的二元一次方程组，，是常数），，．
(1)当时，求c的值；
(2)若a是正整数，求证：仅当时，该方程有正整数解．
【分析】（1）将x，y值代入方程，得到关于a，b，c的方程求解．
（2）先表示方程的解，再确定a．
【详解】（1）解：x=3y=1代入方程得：3a+b=c，
∵b=a+1，c=b+1，
∴b=c−1，a=c−2，
∴3c−6+c−1=c．
∴c=73；
（2）证明：由题意，得ax+(a+1)y=a+2，
整理得，a(x+y−1)=2−y①，
∵x、y均为正整数，
∴x+y−1是正整数，
∵a是正整数，
∴2−y是正整数，
∴y=1，
把y=1代入①得，ax=1，
∴a=1，
此时，a=1，b=2，c=3，方程的正整数解是x=1y=1．
∴仅当a=1时，该方程有正整数解．
由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
（1）认为两个方程含不同未知数也能组成方程组；
（2）误将非一次方程纳入方程组；
（3）未知数在分母里；
（4）系数是分数、负数没关系，只要未知数次数是1，就是二元一次方程．
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（1）只满足一个方程，就当成解，代入一个方程对了，就说是解；
（2）解是一对数，不是一个数；
（3）代入检验时计算错误；
（4）分不清“解”和“无解、无数解”.
把方程组化成标准形式：a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2
（1）无解：a1a2=b1b2≠c1c2；
（2）无数组解：a1a2=b1b2=c1c2；
（3）唯一解：a1a2≠b1b2．
（1）没化成标准型就直接比；
（2）忘记带符号比，系数是负数，符号要一起比；
（3）看到比例相等就以为无数解；
（4）不会化分数比例．
方程组的解，一定同时满足两个方程．所以把 x、y 的值直接代进方程，就能得到关于参数的新方程，解方程即可．
（1）把 x、y 原封不动代入两个方程，哪个方程里有参数，就代哪个，代完以后，方程里只有参数是未知数；
（2）得到关于参数的方程（一元一次），直接解这个方程，求出参数；
（3）如果有两个参数，就代两个方程，代完得到两个关于参数的方程，组成新的方程组，再解．
（1）代入时抄错 x、y 的值，看清楚：谁是x，谁是y，别搞反；
（2）计算符号出错，负数、括号最容易错，算完要检查；
（3）只代一个方程，给了解就要两个方程都代，尤其求两个参数时必须代两个；
（4）忘记化简，代完要整理、合并同类项，不然算不对．
把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（1）所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符；
（2）熟记公式，找准等量关系．
表1
x
﹣1
1
2
3
y
1
﹣1
﹣2
﹣3
表2
x
0
1
2
3
y
﹣2
﹣1
0
1