北京师范大学附属中学2025--2026学年下学期九年级数学阶段性练习-下学期（Word版附解析）

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1.如图是某几何体的展开图，该几何体是（）
A. 圆柱B. 圆锥C. 三棱柱D. 正方体
2.“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000838米．则数据0.00000838用科学记数法表示为（）
A. B. C. D.
3.如图，数轴上的点A，B表示的数分别是a,b.如果ab＜0，那么下列结论中正确的是（ ）
A. a+b＞0B. a-b＞0C. a+1＞bD. b＞a-1
4.如图，经过多边形一个角的两边剪掉这个角，则新多边形的内角和（ ）
A. 比原多边形多180°
B. 比原多边形多360°
C. 与原多边形相等
D. 比原多边形少180°
5.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能为（ ）
A. 1B. 0C. D. 2
6.奇奇的智能门锁有一个两位密码，每位密码从四个字母中选取，且两位字母不能相同．为了提高安全性，系统自动排除以开头或以结尾的密码．奇奇随机设置一个密码，那么他设置的密码不会被系统排除的概率是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接、．则下列说法错误的是（ ）
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，，点为平面内的动点，若点满足，则点为线段的“好点”，则下列说法正确的有（ ）
①是“好点”
②所有“好点”围成的区域面积为
③当且时，直线上有两个“好点”．
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
二、填空题：本题共8小题，共18分。
9.若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
10.分解因式： ．
11.分式方程的解为 .
12.如图，点，，，，在上，，则所对的圆周角度数为 ．
13.如图，在中，E是上一点，，的延长线与的延长线相交于点F，若，则的长为 ．
14.学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（百分制）.最终得分由唱功和舞台表现各占30%，音色和创意各占20%组成.已知小兰、小竹两位选手的评分如下：
若小兰的评分更高，则表中k（k为整数）的最小值为 .
15.如图，点是边长为2的正方形内一点，且，将线段以点为中心逆时针旋转得到线段，点是的中点，连接，则的最大值为 ．
16.小云被邀请玩一个拍灯挑战，规则如下：桌面上有30盏无差别的小灯，每个灯只有两种状态：亮或者暗，玩家可以通过拍灯来切换一盏灯的亮暗状态，但是每一盏灯只能拍一次．现30盏小灯中，已知有10盏灯亮，其余都是暗的．要求玩家蒙上双眼，将30盏小灯分成2组，如果玩家可以只通过拍灯的方式，使两组中亮着的小灯数一样多，即算挑战成功．
(1) 将灯平均分成两组，经检查第一组里有4盏灯亮．如果只拍第一组的灯，则最少需要拍 盏，挑战成功．
(2) 小云的做法是：从30盏灯中任意选出盏作为一组，然后将这盏灯逐一拍一下．他挑战成功了，那么 ．
三、计算题：本大题共2小题，共8分。
17.计算：．
18.解不等式组：
四、解答题：本题共10小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题4分)
已知，求代数式的值．
20.(本小题6分)
如图，在四边形中，，对角线，过点A作于点E，交BC于点F．
(1) 求证：四边形是平行四边形；
(2) 连接，若点F是的中点，，，求的长．
21.(本小题6分)
综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板（规格：，），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分（如图3所示）．
(1) 若收纳盒高是，则该收纳盒底面的边 ， ；
(2) 如图3，若收纳盒的底面积是，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒？（要能盖上盖子，且不考虑倾斜放入）
22.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和.
(1) 求该函数的表达式；
(2) 当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值且大于0，直接写出的取值范围.
23.(本小题6分)
某校举办中华传统文化知识大赛，该校七年级共240名学生和八年级共260名学生都参加了比赛．为了解答题情况，进行了抽样调查，从这两个年级各随机抽取20名学生，获取了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．七、八两个年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）：
b．七年级学生的成绩在这一组的是：
80 82 84 85 86 87 87 87 87 87 89
c．七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1) 写出表中m，n的值；
(2) 估计七、八两个年级成绩在的人数一共为 ；
(3) 把七年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为，把八年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为，比较，的大小，并说明理由．
24.(本小题6分)
如图，是的直径，点为上的一点，过点作的切线交的延长线于点．连接，过点作的垂线，交于点，交⊙于另一点．
(1) 求证：；
(2) 若，求和的长．
25.(本小题6分)
脂肪氧化率（单位：）指单位时间内人体通过代谢途径氧化分解脂肪产生能量的速率，我们通常用它来描述运动产生的效果．脂肪氧化率与运动强度（单位）密切相关，下表记录了不同的运动强度所对应的脂肪氧化率的数据：
(1) 通过观察表格数据可以看出，若设运动强度为，脂肪氧化率为是的函数．在如图建立的平面直角坐标系，已经描出表中部分对应点，补全图形并画出函数图象：
(2) 结合函数图象，解决问题：
①的值约为 （精确到小数点后两位）；
②当脂肪的氧化率维持在0.4及以上时，运动强度的范围约为 （精确到整数位）；
③研究发现，初中生的课间跑操的运动强度与速度之间满足如下函数关系：
则若要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，​​​​​​​​​​​​​​以提高初中生的耐力、强身健体，则跑步的速度应控制在 千米/小时左右（精确到整数位）．
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，抛物线过点和点
(1) 用含的式子表示；
(2) 点在抛物线上，且，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点的长随着的增大而增大，求的取值范围．
27.(本小题6分)
如图，在中，，点为边上一点，；
(1) 如图1，若，，，求点到直线的距离；
(2) 如图2，点为线段中点，点为线段上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好在线段上，连接，与线段交于点，连接，判断线段的数量关系，并证明．
28.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和点，给出如下定义：若是直角三角形，称点是弦的“关联点”．
(1) 如图，已知点，，在点，，中，是弦的“关联点”的是 ；
(2) 已知的直径的“关联点”在轴上，有一边与相切，设点，当时，直接写出点的纵坐标的取值范围；
(3) 点在上，轴，，已知点，，若线段上存在一点是的弦的“关联点”，且，直接写出的取值范围．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】x=-3
12.【答案】
13.【答案】10
14.【答案】93
15.【答案】
/​​​​​​​
16.【答案】【小题1】
2
【小题2】
10

17.【答案】解：
．

18.【答案】解：，
解不等式①，得：；
解不等式②，得：；
∴不等式组的解集为．

19.【答案】解：∵
∴
∴
．

20.【答案】【小题1】
证明：，于点E，
．
．
，
∴四边形是平行四边形．
【小题2】
解：∵在中，，点F是的中点，
．
,
．
∵在中，
∴．
∵在中，，，
∴设，则，．
．

21.【答案】【小题1】
20
40
【小题2】
解：设收纳盒高为，
根据题意得，
，（舍去），
收纳盒长、宽、高分别为、、，
，
玩具机械狗不能放入该收纳盒．

22.【答案】【小题1】
解：把和代入，得
解得
该函数的表达式为.
【小题2】
.

23.【答案】【小题1】
∵一共抽取20名学生
∴中位数为第10名学生和第11名学生成绩的平均数
∴第10名学生和第11名学生成绩分别为86，87
∴；
抽取的20名七年级学生的成绩中87出现的次数最多
∴众数；
【小题2】
126
【小题3】
∵七年级抽取的20名学生的成绩在的有4人
∴排名第5的学生的成绩中最高成绩，
∴
∵八年级抽取的20名学生的成绩在的有6人
∴排名第5的学生的成绩
∴．

24.【答案】【小题1】
证明：∵是切线，是的直径，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小题2】
解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．

25.【答案】【小题1】
解：如图所示：
【小题2】

​​​​​​​
8

26.【答案】【小题1】
解：∵抛物线过点和点，
∴点A、B关于对称轴对称，又抛物线的对称轴方程为，
∴，则；
【小题2】
解：由（1）得，
∵点在抛物线上，且，，
∴，则，
由题意，，，
∴，
解方程得，，
∵的长随着的增大而增大，
∴或，
解得：无解或，
故满足条件的a的取值范围为．

27.【答案】【小题1】
解：过点作延长线于点，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即点到直线的距离为；
【小题2】
解：，理由如下：
如图，连接，交于点，
设，
∵，点为线段中点，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
由旋转知，，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵点为线段中点，
∴．

28.【答案】【小题1】
，
【小题2】
解：如图所示：
当点，时，，则，解得或；
设轴上的，，即在轴正半轴时，
若，此时，是直角三角形时，
当，则，则，解得，即，此时取到最大值；
若，此时，是直角三角形时，根据对称性；
若，此时，是直角三角形时，则(此时重合)，此时最小；
；
设轴上的，，即在轴负半轴时，
若，此时，是直角三角形时，
当，则，则，解得，即，此时取到最小值；
若，此时，是直角三角形时，根据对称性；
若，此时，是直角三角形时，则，此时取到最大值；
；
综上所述，点的纵坐标的取值范围或；
【小题3】
解：由题意可知，当为直径时，满足题意，则最大值为；
当在轴下方时，如图所示，设以为直径的圆与相切于点，则当和点重合时，，
∵，，
∴，则，
∵，则
∵，即
∴
∴
∴
又∵，
∴
解得：或（舍去）
当在轴上方时，如图所示
同理可得
又∵，
∴
解得：或（舍去）
综上所述，．
唱功
舞台表现
音色
创意
小兰
90
k
88
85
小竹
92
86
90
89
平均数
中位数
众数
七年级
84.2
m
n
八年级
84.6
87.5
88
运动强度（）
45
50
55
60
65
70
75
80
85
脂肪氧化率
0.01
0.36
0.52
0.59
0.60
0.50
0.39
0.22