北京市海淀区北京交通大学附属中学2025-2026学年九年级下学期中考零模数学试题-下学期（Word版附解析）

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1.近年来，我国新能源汽车发展迅猛，截至2025年6月，中国市场活跃的新能源汽车品牌约120个．下列新能源汽车标志不是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
2.如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝40°时，∠1的度数为（）
A. 40°B. 45°C. 50°D. 55°
3.实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. b-c＜0B. b＞-2C. a+c＞0D. |b|＞|c|
4.若关于的方程有实数根，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. 且D.
5.不透明袋子中装有红、绿小球各1个，除颜色外无其他差别．随机摸出1个小球后，放回并摇匀，再随机摸出1个．两次都摸到相同颜色的小球概率为（）
A. B. C. D.
6.天安门广场是世界上面积最大的广场，长约，宽约，它的面积用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是，点B是函数图象上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧），且AD=BC，连接AB，CD．有如下四个结论：
①四边形ABCD可能是菱形；
②四边形ABCD可能是正方形；
③四边形ABCD的周长是定值；
④四边形ABCD的面积是定值．
所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ③④C. ①③D. ①④
8.连接正五边形的对角线，形成如图的图形，中心为点O．与交于点，连接与交于点，连接，，，．
观察后得出如下结论：
①；
②连接OF，则有；
③；
④连接BC，则有．
上述结论中，所有正确结论的序号是（）
A. ①②B. ②④C. ②③D. ①④
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若分式有意义，则x的取值范围是 .
10.分解因式： ．
11.方程的解是 ．
12.如图，是的直径，弦，若，则的度数为 ．
13.如图，反比例函数y=（k≠0）与正比例函数y=mx（m≠0）的图象交于点A，点B.AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，S△ACO+S△BDO=4，则k= .
14.某校为了解全校2000名学生的课外阅读情况，从中随机抽取了50名学生进行调查，获得了他们每周课外阅读时间的数据，数据整理如下：
若学校计划对阅读时间大于等于2小时的同学进行表彰，请你根据表中信息估计全校共需要表彰约 人.
15.如图，点为正方形上边上点，于点，于点，若，为中点，则长度应是 ．
16.我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中提到：一年有二十四个节气，每个节气的晷（ɡuǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气如图所示．从冬至到夏至晷长逐渐变小，从夏至到冬至晷长逐渐变大，相邻两个节气晷长减少或增加的量均相同，周而复始．若冬至的晷长为13.5尺，夏至的晷长为1.5尺，则相邻两个节气晷长减少或增加的量为 尺，立夏的晷长为 尺．
三、计算题：本大题共2小题，共7分。
17.计算：．
18.解不等式组，并写出它的所有整数解．
四、解答题：本题共10小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题4分)
已知，求代数式的值．
20.(本小题5分)
如图，中，，点D为边中点，过D点作的垂线交于点E，在直线上截取，使，连结、、．
(1) 求证：四边形是菱形；
(2) 若，，求的长．
21.(本小题7分)
某学校七年级组织数学趣味知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，答对得分，答错倒扣分．下表记录了5名同学的得分情况．
(1) 答对一题得 分，答错一题扣 分．
(2) 参赛者F得分72分，他答对了几道题？
(3) 参赛者G说他得了80分，你认为可能吗？为什么？
22.(本小题7分)
在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点．
(1) 求和的值；
(2) 当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围；
(3) 当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于，直接写出的值．
23.(本小题7分)
南山区某科技公司科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为A、B、C．为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，A、B、C三款机器人的得分（满分为100分）分别为90分、85分、83分．运动能力测试由10位专业测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析．
A、B、C三款机器人运动能力测试情况统计表
(1) 任务1：m＝ ，n＝ ；
(2) 【数据分析与运用】任务2：按图象识别能力测试成绩占30%，运动能力测试成绩占70%计算综合成绩，请你判断A、B、C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？
(3) 任务3：综合以上情况，如果要选择A、B、C三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请给出你的理由．
24.(本小题5分)
“如何仅用直尺和圆规过圆上一点作已知圆的切线？”．小明提出一种想法：如图，设点P为上一点，先作射线交于点Q，再以上一点A为圆心（点A不与点P，Q重合），以长为半径画圆弧，交射线于点B，交射线于点C，连结．
(1) 求证：为的切线；
(2) 若，，求的半径．
25.(本小题7分)
不同香料香气的强烈程度（简称香气强度）随时间呈现不同的变化规律，调香师利用这些规律调制出各具特色的香水．某小组计划利用函数研究甲、乙、丙三种香料的香气强度变化情况，将等质量的三种香料分别放置在相同条件的外部环境中，设实验过程中，香料放置时间为时，甲、乙、丙香料的香气强度分别为，记录部分实验数据如下：
(1) 在平面直角坐标系中，函数的图象如图所示，已描出表中所对应的部分点，请画出函数的图象：
(2) 根据函数图象，当放置时，甲香料的香气强度约为 ，丙香料的香气强度约为 ；（结果均保留一位小数）
(3) 查阅文献可知，用多种香料调制成的香水，多数人可以识别出当前时刻香气强度最大的香料，而对其他香料的香气感受不明显，称可以识别出的香料在当前时刻起主要作用．用等质量的甲、乙、丙三种香料共同调制为一款香水放置，忽略香料互相之间的影响，结合函数图象，解决问题：
①当放置时，该时刻起主要作用的香料为 ；（填“甲”“乙”或“丙”）
②若总共放置时间为，则起主要作用时间最长的香料为 （填“甲”“乙”或“丙”），该香料起主要作用的时长为 ．
26.(本小题5分)
在平面直角坐标系中，抛物线过点和点
(1) 用含的式子表示；
(2) 点在抛物线上，且，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点的长随着的增大而增大，求的取值范围．
27.(本小题7分)
已知：中，，直线上取一点，连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接交直线于．
(1) 喜欢思考问题的小捷同学，想探索图中线段和线段的数量关系．于是他画了图1所示当在边上时的图形，并通过测量得到了线段与的数量关系．你认为小捷的猜想是 （填“”，“”或“”）；
(2) 当在边的延长线上时请你根据题目要求补全图2，并找出与相等的角___________；
(3) 如图3，当在边的反向延长线上时，写出的数量关系（用等式表示），并证明．
28.(本小题7分)
在平面直角坐标系中，存在一个图形W，P为图形m上任意一点，线段（点P与O不重合）绕点P逆时针旋转得到线段，延长至点Q，使得．若点M在线段上（点M可与线段端点重合），则称点M为图形W的“二倍点”．

已知点，点．
(1) 中，是线段的“二倍点”的是 ；
(2) 直线存在线段AB的“二倍点”，求k的取值范围；
(3) 的半径为1，M是的“二倍点”，直线，与x轴，y轴分别交于C，D两点，点N在线段上（N可与线段端点重合），当点N在线段上运动时，直接写出线段的最大值和最小值．
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】56
13.【答案】-4
14.【答案】1320
15.【答案】
16.【答案】1
4.5

17.【答案】解：．
18.【答案】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是，
所以不等式组的整数解是．

19.【答案】解：
．
∵，
∴．
∴原式

20.【答案】【小题1】
证明：∵点为边中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
【小题2】
解：如图，过点作于点，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
，
，
在中，由勾股定理得：，
∵点为边中点，
．

21.【答案】【小题1】
5
​​​​​​​
【小题2】
解：设答对x道题，则答错道题，
依题意，得：，
解得：．
答：参赛者F答对了16道题；
【小题3】
解：不可能，理由如下：
设答对y道题，则答错道题，
依题意，得：，
解得：，
∵不为整数，
∴参赛者G不可能得80分．

22.【答案】【小题1】
解：函数与的图象交于点，
把点代入得，，
解得，，
把点代入得，，
解得，；
【小题2】
解：由（1）可得，函数解析式为，与轴的交点为，
∴当时，，
∵对于的每一个值，函数的值小于函数的值，
∴函数的图象在函数的图象下方，
∴且；
【小题3】
解：当时，函数得，，即，
函数，即，
∴当时，函数中，，
如图所示，
当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于，
∴，
解得，．

23.【答案】【小题1】
9
10
【小题2】
任务2：款机器人的综合成绩为(分)，款机器人的综合成绩为(分)，款机器人的综合成绩为(分)，,
综合成绩最高的是款机器人。
【小题3】
任务3：选择款机器人，理由如下：
款机器人和款机器人的综合成绩相差不大
但由表可知,,
款机器人的运动能力测试成绩更稳定,
选择款机器人。
选择款机器人，理由如下：
款机器人的综合成绩最高
选择款机器人。

24.【答案】【小题1】
解：∵，点B、A、C在同一条直线上，
∴为的直径，
∴，即．
而为的半径，
∴为的切线．
【小题2】
解：连接，由得，
又∵，
∴．
∴．即．
∵，
∴，即的半径为9．

25.【答案】【小题1】
解：由题意，作图如下：
【小题2】
​​​​​​​
​​​​​​​
【小题3】
丙
乙
60

26.【答案】【小题1】
解：∵抛物线过点和点，
∴点A、B关于对称轴对称，又抛物线的对称轴方程为，
∴，则；
【小题2】
解：由（1）得，
∵点在抛物线上，且，，
∴，则，
由题意，，，
∴，
解方程得，，
∵的长随着的增大而增大，
∴或，
解得：无解或，
故满足条件的a的取值范围为．

27.【答案】【小题1】
【小题2】
解：补全的图2如下：
与相等的角是.
∵
∴．
∵，
∴，
∴；
【小题3】
，证明如下：
如图3，过作，交延长线于点，
​​​​​​​，
，
，
，
，
，
，
，
，
过点作，交的延长线于，
，
四边形是矩形，
，
，
，
．

28.【答案】【小题1】
，​​​​​​​
【小题2】
如图：
、，
线段的“二倍点”是以、，，为顶点的四边形及内部，
直线过定点，
当直线过时，
，
解得，
当过时，
，
，
观察图形可知，直线存在线段的“二倍点”，则或；
【小题3】
设为上一点，连接，将绕逆时针旋转，并延长到，使，取，连接，，，，过作轴于，如图：
，，
，，
，，
，，
，，
，
，
，
，
的运动轨迹是以为圆心，为半径的，则的“二倍点”是及其内部和及其内部，
过作于，交于，如图：
此时最小，
由得，，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
线段的最小值为；
连接并延长交于，此时若与重合，则最大，如图：
在中，
，
；
线段的最大值为．
综上所述，线段的最小值为，线段的最大值为．
每周课外阅读时间x/小时
0≤x＜1
1≤x＜2
2≤x＜3
3≤x
人数
7
10
14
19
参赛者
答对题数
答错题数
得分
A
20
0
100
B
19
1
93
C
18
2
86
D
14
6
58
E
10
10
30
机器人
测试员打分的中位数
测试员打分的上四分位数
运动能力测试成绩
方差
A
m
10
85
1.85
B
8.5
9
87
0.61
C
8
n
83
2.01
0
20
40
60
80
100
120
…
5
2.03
1.14
0.53
0.27
0.09
0.06
…
3
2.03
1.44
1.05
0.76
0.54
0.38
…
1
0.94
0.88
0.82
0.76
0.70
0.64
…