广西南宁市武鸣区武鸣高级中学度高二下学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份广西南宁市武鸣区武鸣高级中学度高二下学期期中考试数学试卷（解析版）-A4，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
检测模块:人教A版《选择性必修第二册》
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设函数，则（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】为常数，则其导数为0.
【详解】因为为常数，所以.
故选：D.
2. 等差数列的前n项和为，且满足，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式求解.
【详解】设等差数列的公差为，则，，解得，
所以.
故选：D.
3. 已知函数的图象在处的切线在y轴上的截距为2，则实数（ ）
A. B. 3C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求切线方程，进而得到切线在y轴上的截距，列方程求参数.
【详解】由题设，则，而，
所以处切线为，
令，则，可得
故选：A
4. 在等比数列中，，，则（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】设出公比，得到，故.
【详解】设的公比为，则，
则.
故选：B
5. 已知某容器的高度为20 cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位:cm）与时间t（单位:s）的函数关系式为.当时，液体上升高度的瞬时变化率为cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（ ）
A. 2 cm/sB. 4 cm/sC. 6 cm/sD. 8 cm/s
【答案】B
【解析】
【分析】由导数的定义先求，由求出，进而得代入即可求解.
【详解】由有，当时，，即，所以，解得或（舍去），
当时，，即当时，液体上升高度的瞬时变化率为，
故选：B.
6. 若直线与曲线相切，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设切点坐标为，求得，得到，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由函数，可得其定义域为，且，
由直线与曲线相切，
设切点坐标为，可得，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
7. 记Sn为数列{an}的前n项和，已知，（n为正整数）.若，且，则正整数m=（ ）
A. 23B. 22C. 11D. 44
【答案】B
【解析】
【分析】由，得出数列的通项公式，然后求得的通项公式，验证时不成立，当时，确定，代入计算得到，解得答案.
【详解】由，，得，
且当时，，即.
故数列从第2项开始构成以为首项，5为公比的等比数列，，
故数列的通项公式为，
当时，，又.
即，
当时，，不满足题意；
当时，
由，
解得.
故选：B
8. 已知数列满足，且，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出前几项，发现规律，为周期数列，一个周期为4，并且，从而得到，计算出答案.
【详解】，解得，
，，
，……，
故为周期数列，一个周期为4，
其中，
故.
故选：D
二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 曲线的切线的倾斜角为，则该切点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】求导，设切点，利用导数几何意义得到方程，求出，进而得到答案.
【详解】，设切点坐标为，
则，解得，
当时，，切点的坐标为，
当时，，切点的坐标为.
故选：CD
10. 已知为数列的前项和，则下列结论成立的有（ ）
A. 若正项数列为等比数列，则数列为等差数列
B. 若数列为等差数列，，则
C. 已知等差数列共有项，其中所有奇数项之和为290，所有偶数项之和为261，则
D. 若数列的通项公式为，则该数列的前100项和
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据等差数列的定义判断A，根据等差数列求和公式判断B，根据等差数列等差中项的性质，结合等差数列求和公式判断C，利用裂项相消法求和判断D.
【详解】对于A：设正项数列为等比数列的公比为，所以，
所以，
则，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故A正确；
对于B：数列为等差数列，设公差为，则，，
又，即，化简可得，
则，，所以，故B正确；
对于C：设等差数列的所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，
由题知，
，
两式相减，可得，故C正确；
对于D：，
则，
所以，故D错误；
故选：ABC
11. 已知数列满足，，则下列结论正确的有（ ）
A. 为等比数列
B. 的通项公式为
C. 为递减数列
D. 的前n项和
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，变形得到，故为首项为3，公比为3的等比数列；B选项，在A基础上，得到；C选项，作差法得到，故为递减数列；D选项，先求出的前n项和，进而得到结果.
【详解】A选项，，
又，故，
所以为首项为3，公比为3的等比数列，A正确；
B选项，由A知，，所以，B错误；
C选项，，
所以，故为递减数列，C正确；
D选项，的前n项和为，
所以的前n项和，D正确.
故选：ACD
12. 已知直线l经过点，且与曲线相切，则直线l的方程可以为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】求导，设切点，由导数几何意义结合点斜式求出切线方程，再由切线过点求出参数即可求解.
【详解】由题意的导数为，
设切点为，则切线斜率为，
所以切线方程为，又切线过点，
所以或或，
所以代入切线方程整理得切线方程为或或.
故选：ACD
三、填空题:本题共4小题，每题5分，共20分.
13. 函数在区间上平均变化率等于____.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，利用函数平均变化率的计算公式，进行计算，即可求解.
【详解】由函数，
可得函数在上的平均变化率为
故答案为：.
14. 已知正项等比数列的前n和为，且，则____，____.
【答案】 ①. 256 ②.
【解析】
【分析】求出公比，利用等比数列通项公式和求和公式进行求解.
【详解】设公比为，，故，解得，
所以，
其中，故.
故答案为：256，
15. 已知函数，若曲线在处的切线也与曲线相切，则实数____.
【答案】
【解析】
【分析】设出切点，写出切线方程，根据题意，列出方程组，即可求得参数值.
【详解】，故，又，故，
故在处的切线为：，也即；
设与曲线切于点，又，故，
则，且，则可得，解得，
故.
故答案为：.
16. 设点A在直线上，点B在函数的图象上，则的最小值为____.
【答案】
【解析】
【分析】设切点为，由切线与平行即可求出切点，最后由点到直线的距离公式即可求解.
【详解】设切点为，则切线与平行，
即有，所以，所以切点为，
当点为切点时，点到直线距离最小，
由点到直线的距离公式有，
故答案为：.
四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数.
（1）当，且时，求函数的增量Δy和平均变化率;
（2）设，分析（1）问中的平均变化率的几何意义.
【答案】（1），.
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）当且时，求得，得到函数增量为，再求得的值，即可得到答案.
（2）根据题意，得到，结合直线斜率的概念，即可求解.
【小问1详解】
解：由函数，
当且时，可得，即函数的增量为，
则平均变化率.
【小问2详解】
解：由，可得，
且，
表示曲线上两点和所在的直线的斜率为.
18. 已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与x轴、y轴分别交于点，求的面积（O为坐标原点）;
（2）求与曲线相切，并过点的直线方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求得，得到，根据导数的几何意义，求得切线方程为，求得，结合三角形的面积公式，即可求解.
（2）设过点的直线与相切于点，利用导数的几何意义，求得切线方程为，由切线过点，求得，即可得到切线的方程.
【小问1详解】
解：由函数，可得，则，
所以在的切线方程为，即，
令，可得，令，可得，即，
所以的面积为.
【小问2详解】
解：设过点的直线与相切于点，
因为，可得，所以切线的方程为，
又因为切线过点，所以，解得，
所以切线方程为，即.
19. 已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式;
（2）保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用的关系，结合已知条件，分类讨论时对应的；
（2）根据题意，列出数列，结合等差数列和等比数列前项和公式，求解即可.
【小问1详解】
，当时，；
当时，，又，不满足；
故.
【小问2详解】
保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个，则新数列的前项为：
故
即.
20. 已知各项均为正数的数列的前n项和为Sn，且.
（1）求的通项公式;
（2）令求数列的前n项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，当时，求得；当时，得到，两式相减，求得，得到数列是等差数列，进而求得数列的通项公式；.
（2）由（1）求得，利用乘公比错位相减法求和，即可求解.
小问1详解】
解：因为数列满足，
当时，可得，
因为数列的各项均为正数，所以，
当时，可得，
两式相减，可得，可得，
因为所以，
所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以.
【小问2详解】
解：由（1）知：，可得，
可得，则，
两式相减，可得，
则，
所以.
21. 已知等差数列是递增数列，为数列的前n项和，,成等比数列.
（1）求;
（2）求
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件列出关于首项和公差的方程组，然后解方程组求出和的值，最后根据等差数列通项公式求出．
（2）先根据已知的求出，进而得到的表达式，然后对进行裂项，最后利用裂项相消的方法求出数列的前项和．
【小问1详解】
设等差数列{an}的公差为，则，
即，整理得，
解得或（舍去），所以，故.
【小问2详解】
由（1）知，，所以，所以，则，则.
22. 已知函数和，其中为常数且.
（1）过x轴上一点作曲线切线，若有且只有一条切线，求此时的切线方程;
（2）若存在斜率为1的直线与曲线和都相切，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）设切点坐标为，得到切线方程，根据切线过点，得到，转化为只有一个实数解，根据，求得或，进而得到切线方程；
（2）根据题意，求得，设曲线和在点处的切线的斜率为，得到和，根据直线的斜率为，得到，进而求得的取值范围.
【小问1详解】
解：由函数，可得，
设切点坐标为，可得，
所以切线方程为，
因为切线过点，所以，
则关于的方程只有一个实数解，
即只有一个实数解，
由，解得或，
当时，，此时切线方程为；
当时，，此时切线方程为.
【小问2详解】
解：由，且定义域为，
函数的定义域为，且，
设曲线在点处的切线的斜率为，
则，所以，则点，
设曲线在店处的切线的斜率为，
可得，解得，则点，
因为直线的斜率为，所以，
又因为，所以，即的取值范围为.