2024-2025学年广西南宁市武鸣区高二上学期期中考试数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年广西南宁市武鸣区高二上学期期中考试数学检测试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知直线过点和点，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
2．复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知椭圆的方程为，则此椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．圆：与圆：的位置关系为（ ）
A．相交B．相离C．外切D．内切
5．已知向量，， 若共面，则等于（ ）
A．B．1C．1或D．1或0
6．设为锐角，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知直线与曲线有且只有一个公共点，则实数的范围是（ ）
A．B．或
C．或D．
8．在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中，不过原点的两直线，的交点为P，过点O分别向直线，引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN面积的最大值为（ ）
A．3B．C．5D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ）
A．的坐标为B．C．D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．现有一组数据4，7，9，3，3，5，7，9，9，6，则这组数据的第30百分位数为4
B．某人打靶时连续射击三次，则事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件
C．若样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为18
D．若事件A、B相互独立，，则
11．如图，正方体棱长为2，分别是棱，棱的中点，点M是其侧面上的动点（含边界），下列结论正确的是（ ）
A．沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为
B．过点的平面截该正方体所得的截面面积为
C．当时，点M的轨迹长度为
D．保持与垂直时，点M的运动轨迹长度为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量的夹角为， 且，则
13．已知函数满足对任意，且都有 成立，且，则 的解集是
14．已知双曲线：的左、右焦点分别为，.过点的直线与轴交于点，与交于点，且，点在以为直径的圆上，则的渐近线方程为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点与双曲线E：的右焦点重合，双曲线E的渐近线方程为.
(1)求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程.
(2)斜率为1且纵截距为−2的直线l与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，求的面积
16．黄山原名“黟山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为“黄山”.黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一.为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图，求x的值；
(2)估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数（得数保留两位小数）；
(3)景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在50,60和60,70内各1人的概率.
17．如图，已知四边形为等腰梯形，且，，，．为中点，将沿进行翻折，使点与点重合．取中点，连接、．

(1)证明：平面；
(2)当时，求与平面所成角的正弦值．
18．已知a，b，c分别是三内角A，B，C所对的三边，且．
(1)求A的大小；
(2)若，的面积为，求a，b；
(3)求的取值范围．
19．已知O为坐标原点，椭圆左､右焦点分别为，短轴长为，过的直线与椭圆交于两点，的周长为8．
(1)求的方程；
(2)若直线l与Ω交于A，B两点，且，求|AB|的最小值；
(3)已知点P是椭圆Ω上的动点，是否存在定圆O：x2＋y2＝r2（r＞0），使得当过点P能作圆O的两条切线PM，PN时（其中M，N分别是两切线与C的另一交点），总满足|PM|＝|PN|?若存在，求出圆O的半径r：若不存在，请说明理由．
答案
1．【正确答案】B
【详解】解：由两点的斜率公式得，直线的斜率，
故选：B.
2．【正确答案】A
【详解】根据题意得，
所以实数的取值范围是.
故选：A.
3．【正确答案】B
椭圆方程化成标准形式后求出代入离心率公式可得答案.
【详解】由得，所以，
，.
故选：B.
4．【正确答案】A
【详解】圆：的圆心为，半径为.
圆：的圆心为，半径为.
，，
所以两圆相交.
故选：A
5．【正确答案】B
【详解】因为向量，，，且共面，
则存在实数，使得 ，
即，
所以，解得.
故选：B
6．【正确答案】B
【详解】因为为锐角，所以，
又，所以，
所以
.
故选：B.
7．【正确答案】C
【详解】曲线，即，表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分）．

如图，、、，
当直线经过点时，，求得；
当直线经过点、点时，，求得；
当直线和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得，求得，或（舍去），
故要求的实数的范围为或，
故选：C．
8．【正确答案】D
【详解】由、的方程可得它们都过定点，，然后可得四边形OMPN为矩形，且，然后可求出答案.
【详解】将直线的方程变形得，
由，得，则直线过定点，同理可知，直线过定点，
所以，直线和直线的交点P的坐标为，易知，直线，如图所示，
易知，四边形OMPN为矩形，且，
设，，则，
四边形OMPN的面积为，
当且仅当，即当时，等号成立，
因此，四边形OMPN面积的最大值为，
故选：D
9．【正确答案】BD
【详解】对于A，抛物线的焦点为，准线方程为，故A错误；
对于BC，由抛物线定义可得，所以，，解得，故B正确C错误；
对于D，，故D正确.
故选：BD.
10．【正确答案】BC
【详解】对于A，数据从小到大排列为3，3，4，5，6，7，7，9，9，9，
因为，所以这组数据的第30百分位数为，故A错误；
对于B，事件“至少两次中靶”包括两次中靶和三次中靶，事件“至多有一次中靶”包括没有中靶和中一次靶，
所以事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件，故B正确；
对于C，样本数据，，，的方差为2，
则数据，，，的方差为，故C正确；
对于D，因为事件A、B相互独立，，
所以，故D错误.
故选：BC.
11．【正确答案】ABD
【详解】对于A中，如图所示，
将正方形沿着展在平面，在直角中，可得，将沿着展开到与平面重合，
在直角中，可得，所以A正确；
对于B中，如图所示，
连接，
因为为的中点，可得，
因为，所以，
所以过点的平面截该正方体所得的截面为等腰梯形，
其中，且，可得高为，
可得等腰梯形的面积为，所以B正确；
对于C中，如图所示：
取的中点，连接，因为为的中点，所以，
因为平面，可得平面，
又因为平面，所以，
在直角中，由，可得，
所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆在正方形内的部分，
如图所示，
，
在直角中，由，可得，
所以，可得，
即当时，点M的轨迹长度为，所以C错误；
对于D中，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，可得，设，其中，
则，
因为与垂直，可得，即，
令，可得；当，可得，
即直线与正方形的边的交点为，
可得，所以D正确.
故选：ABD.
12．【正确答案】
【详解】由，得到，又向量的夹角为，，
所以，
又，所以，
故答案为.
13．【正确答案】
【详解】因为对任意，且都有 成立，
所以函数在上单调递增，
又因为f−x=fx，所以函数为偶函数，故在0,+∞上单调递减，
因为，所以，
所以的解集为.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】依题意，设，则，
因为点在以为直径的圆上，则，
在Rt中，，则，
故或(舍去)，所以，
则，故，
所以在中，，
整理得，则，则，则，
故的渐近线方程为.
故答案为.
15．【正确答案】(1)，
(2)
【详解】（1）因为双曲线E的渐近线方程为.
所以，解得，从而，即，
所以右焦点为2,0，从而，解得，
抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程依次分别为，.
（2）

由题意直线，它过抛物线的焦点2,0，
联立抛物线方程得，化简并整理得，
显然，，
所以，
点到直线的距离为，
所以，即的面积为.
16．【正确答案】(1)
(2)83.33
(3)
【分析】（1）根据直方图中频率和为1求参数即可；
（2）由百分位数的定义，结合直方图求分位数；
（3）分布求各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解.
【详解】（1）由图知：，可得.
（2）由，
所以分位数在区间80,90内，令其为，
则，解得.
所以满意度评分的分位数为83.33.
（3）因为评分在的频率分别为，
则在50,60中抽取人，设为；
在60,70中抽取人，设为；
从这6人中随机抽取2人，则有：
，
，共有15个基本事件，
设选取的2人评分分别在50,60和60,70内各1人为事件，
则有，共有8个基本事件，
所以.
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接，因为四边形为等腰梯形，
所以，,
又为中点，，，
所以四边形为平行四边形，则，，即，
因为，所以为等边三角形，即为等边三角形，
又为的中点，所以，则，
又，所以，即，
因为，且平面，
所以平面.
（2）由（1）知，为等边三角形，，
所以，则，
在中，，则，
又，所以，则，
因为平面，，
所以平面，
以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，
取，则，
设与平面所成角为，
则，
即与平面所成角的正弦值为．

18．【正确答案】(1)
(2)，
(3)．
【详解】（1）由正弦定理得
，
因为，
所以，
即，
因为，所以，故，
所以，
因为，所以，
故，解得；
（2）因为，所以，
即，所以，
又因为，即，
所以；
（3）因为，
所以，
设，因为，所以，
由（1）知，由余弦定理，
得，，
，
，
当时，取最小值；时，取最大值．
所以的取值范围是．
19．【正确答案】(1)
(2)
(3)存在，
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，
由双曲线定义可得，，
故，又．
所以，．
所以的方程为．
（2）①若直线斜率不存在，则设，则，
因为，所以，
所以，所以．
所以．
②若直线斜率存在，设方程为．设，．
联立，消去y整理得，，
则．
由韦达定理，得，
于是，即．
故．
令，则，．
所以．
因为，所以当时，．
综上，的最小值为．
（3）如图所示，设PM，PN与圆O的切点分别为E，F，则．
又，则．
所以，所以．
取MN中点Q，若O和Q不重合，则．
所以．
又因为M、N在椭圆上，
则，所以，
所以，所以，
又，，所以．矛盾．所以O和Q重合，即M、N关于原点对称．所以．
设直线的方程为，则r为点O到直线PM的距离，
所以．由（2）可知，，
故，即．
又当MN斜率不存在时，也成立．
综上，．
所以存在定圆满足条件，此时.