广西南宁市广西大学附属中学高二下学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份广西南宁市广西大学附属中学高二下学期期中考试数学试题（解析版）-A4试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（每个小题只有一个正确答案，每小题5分，共40分）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据交集定义计算求解.
【详解】集合，，则.
故选：A.
2. 若数列为等比数列，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由题意，根据等比中项的应用，结合充分条件、必要条件的定义即可求解.
【详解】由题意知，数列为等比数列，
当时，得，故充分性成立；
当时，，解得，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件,
故选：A
3. 函数的图象在点处的切线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数解析式求得切点，利用导数求得切线斜率，根据点斜式，可得答案.
【详解】由，则，
求导可得，则，
所以切线方程为，化简可得.
故选：B.
4. 的展开式中的系数为（ ）
A. 2B. 6C. 4D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二项式的展开式的通项可求得的展开式中的系数.
【详解】展开式中的系数即为的展开式中的系数，
又二项式的展开式的通项为，
令，可得，则的系数为.
故选：D.
5. 设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】设出首项和公差，利用得到，再求值即可.
【详解】设首项为，公差为，因为，所以，
则，即，得到，
而，故C正确.
故选：C
6. 某班要从8名班干部（其中5名男生，3名女生）中选取3人参加学校优秀班干部评选，事件：男生甲被选中，事件：有两名女生被选中，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】计算出事件、的概率，利用条件概率公式可求得的值.
【详解】由题意可得，
事件男生甲与两名女生被选中，则，
因此，.
故选：B.
7. 中国空间站已经进入正式建造阶段，天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱将在2022年全部对接，形成“T"字结构.在中国空间站建造阶段，有6名航天员共同停留在空间站，预计在某项建造任务中，需6名航天员在天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有（ ）
A. 360种B. 180种C. 720种D. 450种
【答案】D
【解析】
【分析】根据分组分配问题的处理步骤，先将6人分成三组，再将三组分到三个舱内即可.
【详解】方案一：每个舱各安排2人，共有（种）不同的方案；
方案二：分别安排3人，2人，1人，共有（种）不同的方案.
所以共有（种）不同的安排方案.
故选：.
8. 已知，对任意，且时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数，求导确定单调区间，即可求解.
详解】解：由，
整理得：
因为，所以
即对任意，且，
不等式恒成立
设，则，即函数在区间上单调递减
所以在区间上恒成立
所以，即实数的取值范围为，
故选：D
二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全对得6分，存选错得0分.部分选对得部分分.）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 一组样本数据，，…，的平均数等于，，…，的平均数
B. 样本数据1，1，1，0，2的标准差大于方差
C. 若随机变量服从二项分布，则
D. 若随机变量服从正态分布，且，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项由平均数公式得到两组数据的平均数的关系，然后比较即可；B选项先求出数据的平均数，然后分别求出方差和标准差即可；C选项由二项分布得到结合对应的方差公式即可得到；D选项由正态分布的对称性得到，即可求出.
【详解】A选项：设，则，所以A选项错误；
B选项：这组数据的平均数，所以方差，
标准差，∴，即标准差大于方差，B选项正确；
C选项：由可知，所以，C选项正确；
D选项：由可知，∴由对称性可得，
∴，D选项正确.
故选：BCD.
10. 为保护环境，我国近几年大力发展新能源汽车，新能源汽车的产销量迅速位居全球第一．我国某省2024年9月份至2025年1月份这5个月新能源汽车月销量（单位：千辆）与月份代码的数据如表所示：
若与线性相关，且经验回归方程为，则（ ）
A. B. 样本相关系数在内
C. 相对于点的残差为D. 2025年2月份的销量一定为13.42万辆
【答案】AB
【解析】
【分析】先根据样本中心点的计算方法求出和，再利用样本中心点在经验回归直线上求出的值；然后根据经验回归方程的性质判断样本相关系数的范围；接着根据残差的定义计算相对于点的残差；最后根据经验回归方程的预测性质判断2025年2月份的销量情况.
【详解】根据题意得，，
又必过样本中心点，所以，解得，故A正确；
因为，具有较强的线性相关关系，且经验回归方程为，
所以，具有较强的正相关关系，故样本相关系数在内，故B正确；
当时，，故残差为，故C错误；
当时，，
故2025年2月份的销量约为13.42万辆，故D错误．
故选：AB．
11. 已知首项为1的正项数列满足，若数列前项和为，且，则下列结论正确的有（ ）
A. 是等差数列B.
C D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用递推公式可判断AB选项，由的表达式可判断C，利用不等式放缩可判断D.
【详解】对于A，因为，所以，即是等差数列，A正确；
对于B，设的公差为，则，即，
，
所以，
因为，所以，解得，所以，，B不正确；
对于C，由B可知，C正确；
对于D，令，则，
即为增函数，所以，即，
所以，
又，所以，D正确.
故选：ACD
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12. 命题“，”的否定是_____________.
【答案】，
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定求解.
【详解】命题“，”的否定是∀x>1,x2−ax+2≥0.
故答案为：∀x>1,x2−ax+2≥0.
13. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知当发送信号0时，被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07；当发送信号1时，被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率为______．
【答案】##
【解析】
【分析】理解题干中的条件概率，利用全概率公式求解即可.
【详解】设事件“发送的信号为0”，事件“接收的信号为1”，
则，，，
因此．
故答案为：.
14. 设函数，若有两个极值点，，且，则的最小值是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数有两个极值点可得方程在上有两个不等实根，由此可得韦达定理的结论，将表示为关于的函数的形式，构造函数，利用导数求得即可.
【详解】定义域为，，
有两个极值点等价于在上有两个不等实根，
，，，，
；
设，
则，
在上单调递减，，
即，
的最小值为.
故答案为：
四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）
15. DeepSeck App于2025年1月11日正式发布并上线，它凭借创新的功能和极富吸引力的用户体验，在社交媒体上引发了广泛的讨论和分享，形成了强大的口碑效应．DeepSeek公司最近开发了一款新的推荐算法，为了测试该算法在不同年龄段用户群体中的效果，公司进行了一项调查，调查样本的统计结果如下表所示（单位：人）．
（1）求出的值，并在显著性水平为的情况下，判断推荐算法的效果是否与用户年龄段有关；
（2）以频率估计概率，在所有推荐算法有效的人群中抽取3人，求恰有2人为31-50岁用户年龄段的概率．
附：．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由独立性检验的知识求解即可得；
（2）首先得到推荐算法有效的群体中抽到为31-50岁用户年龄段的概率为，再结合独立重复试验的概率公式即可求得答案.
【小问1详解】
由题意得：，计算，
所以在显著性水平为0.005的情况下，认为推荐算法的效果与用户年段有关；
【小问2详解】
样本的推荐算法有效的群体中抽到为31-50岁用户年龄段的率为，
以频率估计概率，即推荐算法有效的群体中抽到为31-50岁用户年龄段的概率为，
则3人中恰有2人为31-50岁用户年龄段的概率为：.
16. 某市共有10所重点大学可供考生选择，其中3所为985高校，5所为211高校，另外2所为特色专业高校．一位考生准备从这10所高校中随机选择4所进行志愿填报，每所高校被选中的概率相同．
（1）求该考生恰好选到2所985高校的概率；
（2）若该考生选到985高校的数量为，求随机变量的分布列和数学期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）先求出从10所高校中任取4所的总数，再求出恰有2所985高校的取法，再用古典概型的概率公式计算即可；
（2）先分析出该考生选到985高校的个数取值为0，1，2，3，再利用超几何分布计算出取不同值时的概率，进而列出分布列，求出数学期望.
【小问1详解】
从10所高校中，任取4所，共有种取法，
恰有2所985高校的取法为：，
该考生恰好选到2所985高校的概率为；
【小问2详解】
设为该考生选到985高校个数，则的取值为0，1，2，3．
，
，
，
，
则
.
17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，.
（1）证明：平面ABCD.
（2）若，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）通过证明平面，可得，结合可完成证明；
（2）如图建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，由空间向量知识可得答案.
【小问1详解】
证明：因为底面为正方形，所以.
又因为，，平面，所以平面PBD；
因为平面，所以.
因为，与相交，平面.
所以平面.
【小问2详解】
解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，，，则，，.
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以平面的一个法向量为.
，
易知二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.
18. 记为等比数列的前项和，已知，，数列是公差为1的等差数列，且．
（1）求数列和的通项公式．
（2）求数列的前项和．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意，列出方程组求得和，得到数列的通项公式，再由，且公差，求得，得到数列的通项公式；
（2）由（1）得到，利用乘公比错位相减法求和，即可得到答案
【小问1详解】
解：设等比数列的公比为，由，可得，
因为，可得，
可得，即，
整理得，解得或，
当时，，不合题意，舍去；
当，可得，所以数列的通项公式为，则.
又由，且数列是公差为1的等差数列，
可得，即，解得，
所以故数列的通项公式为．
【小问2详解】
解：由（1）知：，，可得，
因为数列的前项和为，
可得，
则，
两式相减，可得，
所以．
19. 已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）讨论的单调性；
（3）若有两个零点，求的取值范围.
【答案】（1）极小值为，无极大值.
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）求导，判断单调性根据极值的定义判断求解；
（2）求导，对按､进行讨论，写出函数的单调区间；
（3）根据（2）的单调区间，对进行分类讨论，结合单调性和极值，零点存在性定理，即可得到的取值范围.
【小问1详解】
当时，.
.
令，即.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
在处取得极小值为，无极大值.
【小问2详解】
①当时， 在上递减；
②当时，令，，
当时，，当时，，
在上递减，在上递增.
【小问3详解】
由（1）知，当时，在上递减；至多有1个零点，不合题意.
当时，有两个零点，则，即，
令，单调递增，.
，
，，
由零点存在定理知，在存在一个零点.
又，
，由零点存在定理知，在存在一个零点.
综上：时，有两个零点.
月份
2024年9月
2024年10月
2024年11月
2024年12月
2025年1月
月份代码
1
2
3
4
5
月销量/千辆
21
52
109
效果
18-30岁用户人数
31-50岁用户人数
有效
120
无效
70
总计
150
150
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
0
1
2
3