广西桂林市2024—2025学年上学期八年级数学期末考试卷（解析版）-A4

这是一份广西桂林市2024—2025学年上学期八年级数学期末考试卷（解析版）-A4
1．试卷分为试题卷和答题卡两部分，请在答题卡上作答，在本试题卷上作答无效．
2．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
3．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项．
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1. 下列实数中，是有理数的是（ ）
A. B. C. πD. 0
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了实数的定义，算术平方根；根据有理数是有限小数或无限不循环小数，即可求解．
【详解】解： ，，π无理数，0是有理数．
故选D．
2. 27的立方根是（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查立方根，根据，得出27的立方根是3即可．
【详解】解：∵，
∴27的立方根是3．
故选：B．
3. 据传，古希腊哲学家泰勒斯在铺地砖时，通过观察等边三角形地砖的拼接首次发现了三角形内角和定理．三角形内角和是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和为，进行求解即可．
【详解】解：三角形内角和是．
故选：C．
4. 如图，若，则与相等的角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应角相等，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选：A．
5. 如图，在中，，，垂足为D，，则（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，掌握此性质是关键；由，得，则即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴；
故选：D．
6. 计算：（ ）
A. 12B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握二次根式乘法法则．
根据二次根式的乘法法则：计算即可．
【详解】解：,
故选：D．
7. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，根据不等式的解集即可求解，掌握不等式解集在数轴上的表示方法是解题的关键．
【详解】解：在数轴上表示不等式的解集为：，
故选：．
8. 随着我国科技迅猛发展，中国在芯片制造技术领域取得了显著的进步，成功自研出达到5纳米（）工艺制造技术的手机芯片．已知，将数据0.000000005用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选：B．
9. 若分式的值为0，则x的值是（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式的值等于0的条件：分子为零，分母不为零，解题的关键是掌握分式的值等于0的条件．由分式的值等于0的条件进行计算，即可得到答案．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，
解得；
故选：C．
10. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了整数指数幂的运算，涉及同底数幂的乘法、除法、幂的乘方运算，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据同底数幂的乘法、除法、幂的乘方运算判断各选项．
【详解】解：A、，原说法错误，不符合题意；
B、，正确，符合题意；
C、，原说法错误，不符合题意；
D、，原说法错误，不符合题意，
故选：B．
11. 如图，把电阻值分别为的两电阻并联后接入某电路中，已知其总电阻值（单位：），满足，若R的电阻值是的电阻值是，则的电阻值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意代入数据，列出方程，解分式方程即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
即的电阻值是．
故选：C．
12. 定义新运算“※”如下：当时，；当时，．例如，，，若则x的取值范围是（ ）
A. B. 或C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了解不等式，新定义运算，解题的关键是根据题意列出不等式，注意进行分类讨论．先根据题意分两种情况：当时，当时，列出不等式，解不等式即可得出答案．
【详解】解：当时，，
解不等式得：，
解不等式得：
∴；
当时，，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴此时无解；
综上分析可知：x的取值范围是．
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题2分，共12分，请将答案填在答题卡上）
13. ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，根据平方根定义，进行求解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
14. 命题“三角形的三个内角中至少有一个内角大于等于”是______（填“真命题”或“假命题”）．
【答案】真命题
【解析】
【分析】本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法证明方法，先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立．
【详解】解：假设三个内角都小于，
∴三个内角的和小于，，
这与三角形的三内角和为相矛盾．
∴假设不成立，
∴三角形的三个内角中至少有一个内角大于等于．
故答案为：真命题
15. 如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长是______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查全等三角形性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．利用全等三角形的对应边相等，得出，然后求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：3．
16. 写出一个x的值使得二次根式有意义，可以是______．
【答案】0（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：，
∴x的值可以是0．
故答案为：0．（答案不唯一）
17. 若关于x的分式方程的根是正数，则m的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】此题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式，要熟练掌握；解答此题的关键是正确得出分母不为0．首先求出关于的分式方程的解，然后根据解为正数，解不等式，求出的取值范围即可．
【详解】解：，
去分母得：，
移项，合并同类项得：，
∵分式方程的根是正数，
∴，
解得：，
，即，
∴，
解得：，
∴且．
故答案为：且．
18. 在等边中，点P是上一点，过点P作，分别交于点D，E，连接，若的面积是，，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，角直角三角形的性质，勾股定理，利用转化思想是解题的关键．
根据勾股定理和角直角三角形的性质将转化为，即问题转化为求最小值，那么当时，取最小值，再由面积法求解即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴由勾股定理得，，
∴，，
∴
∴，
∴有最小值时，即取最小值，
∴当时，取最小值，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8题，共72分，请将解答过程写在答题卡上）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的减法运算，掌握运算法则和正确化简是解题的关键．
先化简二次根式，再合并同类二次根式．
【详解】解：
．
20. 解分式方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程的方法，准确计算．先去分母，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解．
21. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了解不等式组，求不等式组的解集要根据以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．求出每个不等式的解集，再求其解集的公共部分即可．
【详解】解：
由①得，，
由②得，，
原不等式组的解集为：．
22 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可．
【详解】解：
当时，原式．
23. 如图，，E为上一点，，并且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，熟知全等三角形对应角相等是解题的关键．
（1）先证明，再利用证明即可；
（2）根据等腰三角形的性质得出，，根据等腰三角形的性质得出，从而得出，求出，再根据三角形内角和定理求出结果即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，即，
又∵，，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
24. 操作与实践
（1）学习了尺规作图之后，小桂按以下步骤进行了尺规作图的练习：
第一步：分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点C和点D；
第二步：过点C，D作直线．
根据以上作图，可知小桂作的直线是线段的______．
（2）小桂的尺规作图笔记里有这么一道题目：
如图，已知线段a，h，求作，使，且，高．
请你帮助小桂完成尺规作图（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．
（3）在（2）所作的图中，已知的边上的高为，根据题意补全图形，并证明：．
【答案】（1）垂直平分线；（2）作图见解析；（3）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图：垂线，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）由作图作法即可判断；
（2）先作射线，在射线上截取，作的垂直平分线交于点，在垂直平分线上截取，连接即可；
（3）根据三线合一得到，由互余关系得到，那么．
【详解】解：（1）由作图可知直线是线段的垂直平分线，
故答案为：垂直平分线；
（2）如图，即为所作，
（3）如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
25. 综合与实践
【问题情景】2024年10月26日至11月3日，桂林成功举办了艺术节，推出了多款以桂林艺术节为主题的文创产品，推动了桂林本地文旅产品经济的发展．某商店老板购进冰箱贴和手提包两种文创产品进行销售．已知用750元购进手提包的数量比用500元购进冰箱贴的数量少20个，且手提包进价是冰箱贴进价的倍．求冰箱贴和手提包的进价各是多少元？
【问题解决】（1）根据题意，小林同学列出如下方程：
小林同学：，解得，经检验是原方程解，且符合题意．
小林同学所列方程中的x表示______；
【方法迁移】（2）小桂同学有不同的解法，若他设冰箱贴的进价是y元，请你帮他完成解答．
【拓展应用】（3）由于文创产品销售火爆，该老板再次以同样的价格进购商品．若购进冰箱贴的数量比手提包的数量的2倍少3个，且购进冰箱贴，手提包两种文创品的总资金不超过1320元，则最多可以购进手提包多少个？
【答案】（1）购进冰箱贴的数量；（2）见解析；（3）最多可以购进手提包30个
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式．
（1）根据列出的方程，确定x表示的意义即可；
（2）设冰箱贴的进价是y元，则手提包进价是元，根据用750元购进手提包的数量比用500元购进冰箱贴的数量少20个，列出方程，解方程即可；
（3）设购进手提包m个，则购进冰箱贴个，根据购进冰箱贴，手提包两种文创品的总资金不超过1320元，列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：（1）∵小林同学列出的方程，
∴x表示购进冰箱贴的数量；
（2）设冰箱贴的进价是y元，则手提包进价是元，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程解，且符合题意；
则（元），
答：冰箱贴的进价为10元/个，手提包的进价为25元/个．
（3）设购进手提包m个，则购进冰箱贴个，根据题意得：
，
解得：，
答：最多可以购进手提包30个．
26. 综合与应用
【阅读材料】小桂和小林在学习了三角形之后，两人对“已知三边长的三角形的面积问题”进行了探究．他们首先各自查找了相关问题的资料．
小桂找到的资料如下：
《数书九章》是我国南宋著名数学家秦九韶的著作，书中记载了：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则这个三角形的面积公式为：
小林找到的资料如下：
古希腊数学家海伦在他的《测地术》著作中记载了：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，则三角形的面积为：
根据以上信息，回答以下问题：
【学以致用】（1）已知一个三角形的三边长分别为3，4，5．
①若利用小林提供的资料求这个三角形的面积，请直接写出p和S的值；
②请利用小桂提供的资料求这个三角形的面积．
【拓展应用】（2）在中，，点M是中点，N是边上的一个三等分点，连接，请求的面积．
【答案】（1）①，②；（2）或
【解析】
【分析】本题考查了三角形的中线求面积，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）①先求出p，再代入求出面积；②直接代入计算即可；
（2）先利用求出的面积，再由三角形的中线等分面积求出，再由三等分点分类利用共高三角形面积比等于底之比求解．
【详解】解（1）①由题意得，，
∴；
②
；
（2）如图，连接
∵在中，，
∴
∴，
∵点M是中点，N是边上的一个三等分点，
∴，或
∴或，